Acht Anwendungsaufgaben aus Vermessung, Bauwesen, Navigation und Technik. Mit ausführlichen Lösungen.
Du stehst 25 m vom Fuss eines Baumes entfernt und misst zur Baumspitze einen Sehwinkel von \(38°\) (Auge auf Bodenhöhe). Wie hoch ist der Baum?
Eine Bergbahn überwindet auf einer Schienenlänge von 1200 m eine Höhendifferenz von 360 m. Berechne den Steigungswinkel und die horizontale Distanz.
Du willst die Breite eines Flusses bestimmen, ohne ihn zu überqueren. Vom Punkt A am Ufer siehst du einen markanten Baum B am gegenüberliegenden Ufer unter dem Winkel \(90°\) zum Ufer. Du gehst 50 m am Ufer entlang zu Punkt C und misst dort den Winkel zwischen Ufer und Baum: \(\gamma = 62°\). Wie breit ist der Fluss?
Du willst die Höhe eines Kirchturms bestimmen, kannst aber den Fuss des Turms nicht direkt erreichen. Du misst den Höhenwinkel \(\alpha_1 = 28°\) zur Spitze. Du gehst 40 m näher an den Turm und misst dort \(\alpha_2 = 42°\). Wie hoch ist der Turm? (Tipp: Sinussatz im Hilfsdreieck zwischen den beiden Standorten und der Spitze.)
Ein Satteldach hat eine Spannweite von 12 m und einen Dachneigungswinkel von \(35°\) auf beiden Seiten. Berechne die Höhe des Firsts über dem Auflager und die Länge eines Sparrens (vom Auflager zum First).
Ein dreieckiges Grundstück hat die Seiten \(a = 45\) m, \(b = 60\) m, \(c = 75\) m. Berechne alle drei Innenwinkel.
Ein Schiff fährt 12 km in Richtung Norden und ändert dann den Kurs um \(50°\) nach Osten. Es fährt weitere 8 km. Wie weit ist das Schiff vom Ausgangspunkt entfernt? (Tipp: Der Innenwinkel des Dreiecks zwischen den beiden Streckenabschnitten beträgt \(180° - 50° = 130°\).)
Aus 80 m Distanz misst eine Vermesserin (Augenhöhe 1.65 m) den Höhenwinkel zur Spitze eines Antennenmastes: \(\alpha = 32°\). Wie hoch ist der Mast über dem Boden? (Achtung: Augenhöhe nicht vergessen.)
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Distanz die Ankathete und die Höhe die Gegenkathete zum Sehwinkel:
\[ \tan(38°) = \dfrac{h}{25} \;\Longrightarrow\; h = 25 \cdot \tan(38°) \approx 25 \cdot 0.7813 \approx 19.53 \text{ m} \]Plausibilität: Der Baum ist knapp doppelt so hoch wie die halbe Distanz — bei 38° passt das (etwas weniger als die Distanz selbst).
Schienenlänge 1200 m ist die Hypotenuse, Höhendifferenz 360 m die Gegenkathete:
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{360}{1200} = 0.3 \;\Longrightarrow\; \alpha \approx 17.5° \]Horizontale Distanz: \(d = 1200 \cdot \cos(17.5°) \approx 1200 \cdot 0.9537 \approx 1144.5\) m. Gegenprobe Pythagoras: \(\sqrt{1200^2 - 360^2} = \sqrt{1\,440\,000 - 129\,600} = \sqrt{1\,310\,400} \approx 1144.7\) m ✓. Die Differenz von \(0.2\) m zur Cosinus-Rechnung entsteht durch die Rundung von \(\alpha\) auf \(17.5°\); rechnet man mit dem unaufgerundeten Winkel \(\alpha = \arcsin(0.3) \approx 17.4576°\), so ergibt \(1200 \cdot \cos\alpha\) ebenfalls \(1144.7\) m.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist AC = 50 m die Ankathete zum Winkel \(\gamma = 62°\) bei C, AB die Gegenkathete (Flussbreite):
\[ \tan(62°) = \dfrac{AB}{50} \;\Longrightarrow\; AB = 50 \cdot \tan(62°) \approx 50 \cdot 1.881 \approx 94.04 \text{ m} \]Der Fluss ist also rund 94 m breit.
Im Hilfsdreieck sind die beiden Standorte und die Turmspitze die Eckpunkte. Der Aussenwinkel beim näheren Standort ist \(180° - 42° = 138°\); damit der Innenwinkel bei der Spitze: \(180° - 28° - 138° = 14°\). Die bekannte Seite ist die 40-m-Distanz zwischen den Standorten, gegenüber dem Winkel 14° an der Spitze. Sinussatz: gesuchte Strecke vom näheren Standort zur Spitze (\(s\)) liegt gegenüber dem Winkel 28° beim weiter entfernten Standort:
\[ \dfrac{s}{\sin(28°)} = \dfrac{40}{\sin(14°)} \;\Longrightarrow\; s = \dfrac{40 \cdot \sin(28°)}{\sin(14°)} \approx \dfrac{40 \cdot 0.4695}{0.2419} \approx 77.62 \text{ m} \]Im rechtwinkligen Dreieck am näheren Standort: Höhe = \(s \cdot \sin(42°) \approx 77.62 \cdot 0.6691 \approx 51.94\) m. Der Turm ist also rund 51.9 m hoch.
Halbe Spannweite \(= 6\) m ist Ankathete zum Neigungswinkel:
\[ \tan(35°) = \dfrac{h}{6} \;\Longrightarrow\; h = 6 \cdot \tan(35°) \approx 6 \cdot 0.7002 \approx 4.20 \text{ m} \]Sparrenlänge (Hypotenuse):
\[ s = \dfrac{6}{\cos(35°)} \approx \dfrac{6}{0.8192} \approx 7.32 \text{ m} \]Cosinussatz dreimal anwenden:
\[ \cos(\alpha) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{3600 + 5625 - 2025}{2 \cdot 60 \cdot 75} = \dfrac{7200}{9000} = 0.8 \;\Rightarrow\; \alpha \approx 36.9° \] \[ \cos(\beta) = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \dfrac{2025 + 5625 - 3600}{2 \cdot 45 \cdot 75} = \dfrac{4050}{6750} = 0.6 \;\Rightarrow\; \beta \approx 53.1° \]Dritter Winkel über die Winkelsumme: \(\gamma = 180° - 36.9° - 53.1° = 90°\). Das Grundstück ist ein rechtwinkliges Dreieck (3-4-5-Verhältnis: \(45 = 3\cdot 15\), \(60 = 4\cdot 15\), \(75 = 5\cdot 15\)) ✓.
Im Dreieck sind zwei Seiten (12 km, 8 km) und der eingeschlossene Winkel (130°) bekannt → SWS, also Cosinussatz:
\[ d^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos(130°) = 144 + 64 - 192 \cdot (-0.6428) \approx 208 + 123.42 \approx 331.42 \] \[ d \approx \sqrt{331.42} \approx 18.21 \text{ km} \]Plausibilität: Bei einer geraden Linie wären es 20 km, bei rückwärts 4 km — 18.2 km für eine leichte Kursabweichung passt.
Höhe des Mastes über Augenhöhe:
\[ h_{\text{oben}} = 80 \cdot \tan(32°) \approx 80 \cdot 0.6249 \approx 49.99 \text{ m} \]Gesamthöhe über Boden: \(h_{\text{ges}} = 49.99 + 1.65 \approx 51.64\) m. Die Augenhöhe der Vermesserin muss zwingend addiert werden, weil der Höhenwinkel von ihren Augen aus gemessen wurde — nicht vom Boden.