Grundlagenfach · Lerngebiet 5 · Geometrie · 50 Lektionen

5.3 Trigonometrische Berechnungen

Die Trigonometrie verbindet Winkel und Seitenlängen in Dreiecken. Wer Sinus, Cosinus und Tangens beherrscht, kann unzugängliche Höhen und Distanzen berechnen — vom Kirchturm bis zur Schiffsposition. Dieses Kapitel deckt zwei Werkzeugkästen ab: rechtwinkliges Dreieck (sin, cos, tan als Seitenverhältnisse) und allgemeines Dreieck (Sinussatz und Cosinussatz).

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 5.3

Berechnungen im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck mithilfe der trigonometrischen Funktionen durchführen

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck definieren.
Ich kann fehlende Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Ich kann die Spezialwinkel \(30°\), \(45°\), \(60°\) aus halbem Quadrat und halbem gleichseitigem Dreieck herleiten.
Ich kann Sinus- und Cosinussatz am schiefwinkligen Dreieck anwenden.
Ich kann Vermessungsaufgaben (Höhen, Distanzen) trigonometrisch lösen.

Einstieg — wie hoch ist der Baum?

Du stehst vor einem grossen Baum und möchtest seine Höhe wissen — ohne hinaufzuklettern und ohne Massband. Du gehst ein Stück vom Stamm weg, peilst die Baumspitze an und misst mit einem einfachen Winkelmesser den Sehwinkel nach oben. Mehr brauchst du nicht. Aber wie wird daraus die Höhe?

Abstand \(d\) zum Stamm: 15.0 m

Sehwinkel \(\alpha\): 52°

Gemessene Höhe19.20 m

— direkt am Bild abgelesen

Verschiebe die Person (Abstand \(d\)) und kippe ihre Blickrichtung (Sehwinkel \(\alpha\)). Die rote Linie zeigt die tatsächliche Baumhöhe, die zum gewählten Sichtstrahl und Standort passt.

Was du bemerkst: Die beiden Messgrössen \(d\) und \(\alpha\) reichen aus, um die Höhe eindeutig festzulegen. Verändere nur den Abstand, und der Sehwinkel zur Spitze ändert sich mit. Verändere nur den Winkel, und die berechnete Höhe ändert sich. Wie aus \(d\) und \(\alpha\) genau die Höhe wird — das ist die zentrale Frage dieses Kapitels.

💡 Was kann Trigonometrie?

Trigonometrie ist das Werkzeug, mit dem du in Dreiecken zwischen Winkeln und Seiten umrechnen kannst. In diesem Kapitel lernst du:

Im rechtwinkligen Dreieck: sin, cos, tan als Verhältnis zweier Seiten
Im allgemeinen Dreieck: Sinussatz und Cosinussatz
Anwendungen: Höhenmessung, Vermessung, Navigation, Konstruktion

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Aus der Ähnlichkeit (5.2d) wissen wir: vergrössert oder verkleinert man ein rechtwinkliges Dreieck mit fixem Winkel \(x\) zentrisch, bleibt seine Form erhalten — alle Seitenverhältnisse sind konstant. Diese konstanten Verhältnisse hängen nur vom Winkel \(x\) ab und sind die Winkelfunktionen \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\).

Anim 1 · Ähnlichkeit + Strahlensatz → konstante Seitenverhältnisse ↩ 5.2d

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Vergrössere mit dem Streckfaktor \(k\) die Dreiecke und vergleiche die drei Werte \(a/c\), \(a'/c'\) und \(a''/c''\) in der Legende. Ändere dann den Winkel \(\alpha\).

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Bei festem \(\alpha\) sind alle drei Verhältnisse identisch — die Grösse des Dreiecks spielt keine Rolle. Genau dieses konstante Verhältnis \(a/c\) ist \(\sin\alpha\).

Streckfaktor \(k\) für 2. und 3. Dreieck 1.6

Winkel \(\alpha\) 35°

\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{a'}{c'} = \dfrac{a''}{c''} = \sin\alpha\)

Seitenverhältnisse

\(a/c\)0.574

\(a'/c'\)0.574

\(a''/c''\)0.574

\(\sin\alpha\)0.574

Drei rechtwinklige Dreiecke mit demselben Winkel \(\alpha\), aber unterschiedlicher Grösse. Strecke \(c\) entlang einer Achse, die Hypotenusen liegen aufeinander. Egal wie gross das Dreieck ist — das Verhältnis \(a/c\) hängt nur von \(\alpha\) ab. Das ist der Sinus.

⭐ Ähnlichkeit

In zueinander ähnlichen Dreiecken sind alle sich entsprechenden Winkel gleich gross, ebenso die Verhältnisse der sich entsprechenden Seiten. In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken gilt deshalb:

\[\frac{a}{c} = \frac{a'}{c'} = \frac{a''}{c''} = \ldots = \text{const.}\]

\[\frac{b}{c} = \frac{b'}{c'} = \frac{b''}{c''} = \ldots = \text{const.}\]

\[\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} = \frac{a''}{b''} = \ldots = \text{const.}\]

Diese drei Konstanten hängen nur vom Winkel \(\alpha\) ab — und genau das nennen wir die Winkelfunktionen \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\).

✏️ Mini-Check — Rechtwinkliges Dreieck

Multiple Choice

Die Hypotenuse liegt …

am rechten Winkel an
dem rechten Winkel gegenüber
beliebig

Lösung anzeigen

B. Sie ist die längste Seite; die beiden anderen heissen Katheten.

Lückentext

Die dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegende Kathete heisst kathete.

Lösung anzeigen

Gegen- — die anliegende heisst Ankathete.

Kurze Rechnung

Katheten \(6\) und \(8\): Hypotenuse?

Lösung anzeigen

\(c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Transfer

Warum hängen die Seitenverhältnisse nur vom Winkel ab, nicht von der Dreiecksgrösse?

Lösungsweg anzeigen

Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich (WW) — ihre Seiten sind proportional, die Verhältnisse also identisch. Genau das macht \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) zu Funktionen des Winkels.

Definition — Sinus, Cosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck ↗ 5.4

Wir bezeichnen den betrachteten Winkel bewusst mit \(x\), nicht mit einem fixen Symbol — denn die drei Seiten werden relativ zu \(x\) benannt:

Gegenkathete GK — die Seite gegenüber dem betrachteten Winkel \(x\)
Ankathete AK — die Seite, die am Winkel \(x\) anliegt (und kein rechter Winkel daran)
Hypotenuse H — die Seite gegenüber dem rechten Winkel (die längste)

Anim 2 · Definition Winkelfunktionen: \(\sin/\cos/\tan\) und Winkelposition umschaltbar

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Halte den Winkel fest und ändere die Dreiecksgrösse: Was passiert mit den drei Seitenverhältnissen? Ändere dann den Winkel.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Bei festem Winkel bleiben die Verhältnisse exakt konstant (ähnliche Dreiecke) — sie ändern sich nur mit dem Winkel. Darum sind \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) reine Winkelfunktionen.

Winkelfunktion

Position von \(x\)

Winkel \(x\) 35°

\(\sin x = \dfrac{GK}{H}\)

Werte

\(x\)35°

Hypotenuse H10.00

Gegenkathete GK5.74

Ankathete AK8.19

Funktionswert0.574

Sinus: Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. \(\sin 35° = \dfrac{GK}{H} = \dfrac{5.74}{10.00} = 0.574\).

📘 Definition — Sinus, Cosinus, Tangens

Am rechtwinkligen Dreieck mit Winkel \(x\) (verschieden von 90°) gilt:

\[\sin x = \frac{GK}{H} \qquad \cos x = \frac{AK}{H} \qquad \tan x = \frac{GK}{AK}\]

Die Notation \(\sin x\) statt \(\sin\alpha\) betont: jeder spitze Winkel des Dreiecks kann der betrachtete sein — Gegen- und Ankathete benennen sich entsprechend um.

Beziehungen unter den Winkelfunktionen

Im Standarddreieck bezeichnen wir die Eckpunkte mit \(A, B, C\), wobei der rechte Winkel bei \(C\) liegt, und die Winkel bei \(A\) und \(B\) mit \(\alpha\) und \(\beta\). Aus \(\alpha + \beta = 90°\) ergeben sich automatisch Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens beider spitzer Winkel.

⭐ Beziehungen unter den Winkelfunktionen

	Im selben Dreieck	Komplementärwinkel
sin	\(\sin\alpha = \dfrac{a}{c} = \cos\beta\)	\(\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)\)
cos	\(\cos\alpha = \dfrac{b}{c} = \sin\beta\)	\(\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)\)
tan	\(\tan\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\tan\beta}\)	\(\tan\alpha = \dfrac{1}{\tan(90° - \alpha)}\)

Merkregel: Sinus eines Winkels = Cosinus seines Komplements. Daher der Name „cosinus" (Komplement-Sinus). Tangens ist immer der Quotient — und der Tangens des Komplementwinkels ist sein Kehrwert.

Spezialwinkel 30°, 45°, 60° ↩ 5.2a

Für drei besonders einfache Winkel lassen sich Sinus, Cosinus und Tangens exakt angeben — als einfache Brüche mit \(\sqrt{2}\) oder \(\sqrt{3}\). Diese Werte sollte man auswendig kennen.

Anim 3 · Spezialwinkel aus halbem Quadrat und halbem gleichseitigen Dreieck

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schalte zwischen «halbem Quadrat» (\(45°\)) und «halbem gleichseitigen Dreieck» (\(30°/60°\)) um und verfolge, wie Sinus, Cosinus und Tangens als exakte Wurzelausdrücke entstehen.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Die Spezialwerte sind keine Zufallszahlen — sie folgen direkt aus dem Satz des Pythagoras an diesen beiden einfachen Figuren. Darum gilt \(\sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 30° = \tfrac{1}{2}\) und \(\sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) exakt.

Konstruktion

Hervorgehobener Winkel

\(\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Exakte Werte

\(\sin\)√2 / 2

\(\cos\)√2 / 2

\(\tan\)1

Halbes Quadrat: Diagonale eines Einheitsquadrats halbiert es in zwei kongruente 45°-45°-90°-Dreiecke. Pythagoras: \(c^2 = 1^2 + 1^2 = 2\), also \(c = \sqrt{2}\). Sinus und Cosinus sind beide \(1/\sqrt{2}\).

⭐ Tabelle der Spezialwinkel

	Sinus	Cosinus	Tangens
30°	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
45°	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
60°	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)

Beachte die schöne Symmetrie: \(\sin 30° = \cos 60°\), \(\sin 60° = \cos 30°\), \(\tan 30° \cdot \tan 60° = 1\).

Winkel berechnen — Arcusfunktionen

Bisher haben wir aus dem Winkel das Verhältnis berechnet. Oft ist es umgekehrt: wir kennen das Seitenverhältnis und suchen den Winkel. Dazu dienen die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen — die Arcusfunktionen \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\). Früher mit Tabellen abgelesen, heute mit dem Taschenrechner (\(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\)).

📘 Definition — Arcusfunktionen

Für den Winkel \(\alpha\) eines rechtwinkligen Dreiecks (mit Hypotenuse \(c\), Gegenkathete \(a\), Ankathete \(b\)):

\[\alpha = \arcsin\frac{GK}{H} = \arcsin\frac{a}{c}\]

\[\alpha = \arccos\frac{AK}{H} = \arccos\frac{b}{c}\]

\[\alpha = \arctan\frac{GK}{AK} = \arctan\frac{a}{b}\]

Eingabe am Taschenrechner: Modus auf DEG (oder RAD je nach Aufgabe), dann sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ drücken. Probe: \(\sin(\arcsin x) = x\).

✏️ Mini-Check — Sinus, Cosinus, Tangens

Multiple Choice

\(\sin(\alpha)\) ist das Verhältnis …

Gegenkathete zu Hypotenuse
Ankathete zu Hypotenuse
Gegenkathete zu Ankathete

Lösung anzeigen

A. GAGA-Merkhilfe: \(\sin\) = GK/Hyp, \(\cos\) = AK/Hyp, \(\tan\) = GK/AK.

Lückentext

\(\sin(30°) =\) .

Lösung anzeigen

\(0.5\) — aus dem halben gleichseitigen Dreieck.

Kurze Rechnung

Baum: Distanz \(20\) m, Höhenwinkel \(35°\) (Augenhöhe vernachlässigt). Höhe?

Lösung anzeigen

\(h = 20 \cdot \tan(35°) \approx 20 \cdot 0.7002 \approx 14.0\) m.

Transfer

Du kennst die Hypotenuse und einen spitzen Winkel. Mit welcher Funktion findest du die Ankathete?

Lösungsweg anzeigen

Mit dem Cosinus: \(\cos(\alpha) = \tfrac{AK}{Hyp}\), also \(AK = Hyp \cdot \cos(\alpha)\). Die Wahl der Funktion folgt immer aus «welche zwei Seiten sind im Spiel».

Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck

Was, wenn das Dreieck keinen rechten Winkel hat? Dann hilft sin/cos/tan im Dreieck nicht direkt. Die Lösung sind zwei Sätze, die in jedem Dreieck gelten: der Sinussatz und der Cosinussatz.

📘 Bezeichnungs-Konvention

In einem allgemeinen Dreieck heissen die Eckpunkte \(A, B, C\), die Winkel an diesen Ecken \(\alpha, \beta, \gamma\), und die gegenüberliegenden Seiten \(a, b, c\). Seite \(a\) liegt der Ecke \(A\) gegenüber, usw. Winkelsumme: \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\).

Sinussatz ↩ 5.2a

Der Sinussatz hat eine geometrische Anschauung: Der Quotient aus einer Seite und dem Sinus ihres Gegenwinkels ist gleich dem Durchmesser des Umkreises. Das Dreieck im Umkreis zeigt diesen Zusammenhang direkt:

Anim 4 · Sinussatz im Umkreis

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Verschiebe die drei Punkte \(A\), \(B\), \(C\) auf dem festen Umkreis und vergleiche die vier Werte \(a/\sin\alpha\), \(b/\sin\beta\), \(c/\sin\gamma\) und \(2r\) in der Legende.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Alle vier Quotienten sind stets gleich und entsprechen dem Umkreisdurchmesser \(2r\). Das ist der Sinussatz: eine Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels ist im Dreieck konstant.

Winkel zu A (auf Umkreis) 220°

Winkel zu B (auf Umkreis) 320°

Winkel zu C (auf Umkreis) 80°

\(\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2r\)

Probe (Umkreisradius \(r\) = const.)

\(a/\sin\alpha\)5.20

\(b/\sin\beta\)5.20

\(c/\sin\gamma\)5.20

\(2r\)5.20

Drei Punkte \(A, B, C\) auf einem festen Umkreis. Verändere ihre Positionen — die Quotienten bleiben gleich und sind alle \(2r\) (Durchmesser des Umkreises).

⭐ Sinussatz

In jedem beliebigen Dreieck \(\triangle ABC\) ist das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich dem Durchmesser des Umkreises:

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r\]

💡 Wann anwenden?

Den Sinussatz können wir verwenden, wenn wir zwei Winkel und eine Seite kennen (Fälle wsw und wws) — oder wenn zwei Seiten und der einer Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind (Fall ssw).

Anim · SSW — 0, 1 oder 2 Dreiecke?

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Fest sind der Winkel \(\alpha\) bei \(A\) und die Seite \(c = AB\). Ziehe die Seite \(a\) (Kreisbogen um \(B\)): Wie oft trifft der Bogen den Schenkel des Winkels — bei welchen \(a\) gibt es zwei, ein oder gar kein Dreieck?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Entscheidend ist die Höhe \(h = c\sin\alpha\): Für \(a < h\) kein Dreieck, für \(a = h\) genau eines (rechtwinklig), für \(h < a < c\) zwei Dreiecke (der mehrdeutige SSW-Fall), für \(a \ge c\) wieder genau eines.

Seite \(a\) (Gegenseite zu \(\alpha\)) 4.5

fest: \(\alpha = 35°\),\; \(c = AB = 6\)

Fallunterscheidung

Höhe \(h = c\sin\alpha\)3.44

Seite \(a\)4.5

Anzahl Dreiecke2

Zwei Dreiecke: der mehrdeutige SSW-Fall (\(h < a < c\)).

Cosinussatz ↩ 5.2a

Der Cosinussatz ist die Verallgemeinerung des Pythagoras: er gilt für jedes Dreieck, nicht nur für rechtwinklige. Bei einem rechten Winkel (\(\gamma = 90°\), also \(\cos\gamma = 0\)) wird er zu \(c^2 = a^2 + b^2\).

Anim 5 · Cosinussatz dynamisch

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Stelle den Winkel \(\alpha\) auf \(90°\) und beobachte den Term \(2bc\cos\alpha\); vergrössere \(\alpha\) darüber hinaus und verfolge, wie die Seite \(a\) wächst.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Bei \(\alpha = 90°\) wird \(\cos\alpha = 0\), und der Cosinussatz wird zum Satz des Pythagoras \(a^2 = b^2 + c^2\). Für stumpfe Winkel wird \(\cos\alpha\) negativ und \(a\) länger.

Seite \(b\) 6

Seite \(c\) 7

Winkel \(\alpha\) (zwischen b und c) 60°

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\)

Berechnung

\(b^2\)36.00

\(c^2\)49.00

\(2bc\cos\alpha\)42.00

\(a^2\)43.00

\(a\)6.56

Verändere \(\alpha\): bei \(\alpha = 90°\) wird \(\cos\alpha = 0\), und der Cosinussatz reduziert sich auf den Satz des Pythagoras \(a^2 = b^2 + c^2\). Bei \(\alpha > 90°\) (stumpfer Winkel) wird \(\cos\alpha\) negativ, und \(a\) wird grösser als bei 90°.

⭐ Cosinussatz

In jedem beliebigen Dreieck \(\triangle ABC\) ist das Quadrat der Länge einer Seite aus dem gegenüberliegenden Winkel und den anliegenden Seiten berechenbar:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\]

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\]

💡 Wann anwenden?

Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel bekannt sind (Fall sws).
Wenn drei Seiten gegeben sind (Fall sss) und ein Winkel gesucht wird (auflösen nach \(\cos\alpha\)).
Bei ssw ist der Cosinussatz auch möglich, aber der Sinussatz ist einfacher.

Vorzeichen-Hinweis: Für stumpfe Winkel (\(\alpha > 90°\)) ist \(\cos\alpha < 0\), und der Term \(-2bc\cos\alpha\) wird positiv — die gegenüberliegende Seite \(a\) wird also länger als bei \(\alpha = 90°\) (Pythagoras-Fall \(\cos\alpha = 0\)). Beim Auflösen nach \(\cos\alpha\) im sss-Fall: ein negatives Resultat zeigt direkt einen stumpfen Winkel an — also nicht etwa als Vorzeichen-Fehler missdeuten.

Welcher Satz wann?

⭐ Strategie-Übersicht

Wir können in einem beliebigen Dreieck alle Teile berechnen, wenn drei Teile gegeben sind, die den Kongruenzsätzen entsprechen.
Für die Fälle wsw, wws und ssw verwenden wir den Sinussatz.
Für sws und sss verwenden wir den Cosinussatz.
Beim Berechnen stumpfer Winkel mit dem Sinussatz muss der Winkel allenfalls als \(180° - \arcsin(\ldots)\) bestimmt werden — sonst entgeht uns die zweite Lösung im ssw-Fall.

Berechnung der Dreiecksfläche

Kennt man von einem Dreieck zwei Seiten \(p\), \(q\) und den zwischen ihnen liegenden Winkel \(\varphi\), so lässt sich der Flächeninhalt direkt berechnen — denn die Höhe auf \(q\) ist gerade \(h = p \cdot \sin\varphi\).

Anim 6 · Dreiecksfläche aus zwei Seiten und Zwischenwinkel

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Blende die Höhe \(h = p\sin\varphi\) ein und beobachte, wie sie sich mit dem Zwischenwinkel \(\varphi\) ändert — und mit ihr der Flächeninhalt \(A\).

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Die Höhe auf die Grundseite \(q\) ist gerade \(h = p\sin\varphi\). Eingesetzt in \(A = \tfrac{1}{2}q\,h\) ergibt das \(A = \tfrac{p\,q}{2}\sin\varphi\).

Seite \(p\) 6

Seite \(q\) 7

Zwischenwinkel \(\varphi\) 55°

Höhe \(h = p\sin\varphi\) zeigen

\(A = \dfrac{p \cdot q}{2}\sin\varphi\)

Werte

\(p\)6.00

\(q\)7.00

\(\varphi\)55°

\(h = p\sin\varphi\)4.91

\(A = \tfrac{q\cdot h}{2}\)17.20

Die übliche Flächenformel \(A = \tfrac{1}{2}\cdot \text{Grundseite}\cdot \text{Höhe}\) wird hier mit \(q\) als Grundseite und \(h = p\sin\varphi\) als Höhe geschrieben — daraus folgt \(A = \tfrac{p\cdot q}{2}\sin\varphi\).

⭐ Berechnung der Dreiecksfläche

Kennt man von einem Dreieck die beiden Seiten \(p\) und \(q\) sowie den dazwischen liegenden Winkel \(\varphi\), so ist der Flächeninhalt \(A\) gegeben durch:

\[A = \frac{p \cdot q}{2}\sin\varphi\]

Pythagoras-Spezialfall (\(\varphi = 90°\)): \(A = \tfrac{p\cdot q}{2}\) — die übliche Formel für rechtwinklige Dreiecke.

⚠ Häufiger Fehler — Sinus mit Winkel verwechseln

\(\sin(\alpha)\) ist eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\) (im rechtwinkligen Dreieck) — das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Es ist nicht der Winkel selbst. Aus \(\sin(\alpha) = 0.5\) folgt \(\alpha = 30°\) (nach Anwendung von \(\arcsin\) bzw. \(\sin^{-1}\)). Wer „\(\sin(\alpha) = 30\)" oder „\(\alpha = 0.5\)" hinschreibt, vermischt zwei verschiedene Grössen.

⚠ Häufiger Fehler — SSW-Mehrdeutigkeit übersehen

Beim Sinussatz mit gegebener Seite, gegenüberliegendem Winkel und einer zweiten Seite (SSW-Fall) gibt es manchmal zwei Lösungen — den spitzen Winkel \(\arcsin(\ldots)\) und den stumpfen Winkel \(180° - \arcsin(\ldots)\). Beide musst du prüfen: passt der zweite Winkel mit \(\alpha + \beta < 180°\), ist er eine echte zweite Lösung. Wer nur den Taschenrechner-Wert nimmt, übersieht die zweite Konfiguration.

✏️ Mini-Check — Schiefwinkliges Dreieck

Multiple Choice

Der Sinussatz lautet …

\(\tfrac{a}{\sin\alpha} = \tfrac{b}{\sin\beta} = \tfrac{c}{\sin\gamma}\)
\(a^2 = b^2 + c^2\)
\(\sin\alpha + \sin\beta = \sin\gamma\)

Lösung anzeigen

A. Seite zu Sinus des Gegenwinkels — in jedem Dreieck konstant (Umkreisdurchmesser).

Lückentext

Der Cosinussatz \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\) wird für \(\gamma = 90°\) zum Satz des .

Lösung anzeigen

Pythagoras — denn \(\cos(90°) = 0\).

Kurze Rechnung

Wann brauchst du den Cosinussatz statt des Sinussatzes?

Lösung anzeigen

Bei SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel) und SSS (drei Seiten) — dort fehlt jedes Seite-Gegenwinkel-Paar.

Transfer

Gegeben \(a = 7\), \(\alpha = 40°\), \(\beta = 60°\): Skizziere den Lösungsweg für \(b\).

Lösungsweg anzeigen

Sinussatz: \(\tfrac{b}{\sin 60°} = \tfrac{7}{\sin 40°}\) → \(b = 7 \cdot \tfrac{\sin 60°}{\sin 40°} \approx 9.4\). Danach \(\gamma = 80°\) und \(c\) analog.

Aufgaben

🟠 A1Welches Werkzeug? \(\sin/\cos/\tan\), Sinussatz oder Cosinussatz?

Welche Methode löst die Aufgabe am direktesten?

Im Dreieck gilt \(\gamma = 90°\), \(a = 5\), \(b = 12\) — gesucht ist \(c\).
Im Dreieck sind \(\alpha = 40°\), \(\beta = 70°\), \(c = 10\) bekannt — gesucht ist \(a\).
Im Dreieck sind \(a = 8\), \(b = 6\) und der eingeschlossene Winkel \(\gamma = 50°\) bekannt — gesucht ist \(c\).
Im Dreieck sind alle drei Seiten \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 9\) bekannt — gesucht sind die Winkel.
Rampe: Höhe 30 cm, Länge waagrecht 4.50 m — gesucht ist der Steigungswinkel.
Im Dreieck sind \(a = 12\), \(\alpha = 35°\) und \(b = 9\) bekannt — gesucht ist \(\beta\).

🟢 Lösung

Pythagoras (rechtwinkliges Dreieck, zwei Katheten gegeben): \(c = \sqrt{5^2+12^2} = 13\).
Sinussatz (WSW: zwei Winkel und die von ihnen eingeschlossene Seite \(c\)). Erst \(\gamma = 180° - 110° = 70°\), dann \(a = c\cdot\sin(\alpha)/\sin(\gamma) = 10\cdot\sin(40°)/\sin(70°) \approx 6.84\).
Cosinussatz (SWS: zwei Seiten + eingeschlossener Winkel): \(c = \sqrt{8^2 + 6^2 - 2\cdot 8\cdot 6\cdot\cos(50°)} \approx 6.19\).
Cosinussatz (SSS: drei Seiten gegeben), z.B. für \(\gamma\): \(\cos(\gamma) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)\).
tan im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan(\alpha) = 0.30/4.50 = 0.0667\), \(\alpha = \arctan(0.0667) \approx 3.81°\).
Sinussatz (SSW: Seite \(a\) und ihr Gegenwinkel \(\alpha\) plus zweite Seite \(b\)): \(\sin(\beta) = b\cdot\sin(\alpha)/a = 9\cdot\sin(35°)/12 \approx 0.4302\), also \(\beta \approx 25.5°\) (zweite Lösung \(\beta \approx 154.5°\) prüfen — hier nicht möglich, da \(\alpha + \beta\) sonst > 180° wäre).

🟠 A2Skizzieren und Beschriften

Erstelle für jede Situation eine beschriftete Skizze (Eckpunkte, Seiten, Winkel) und markiere die gegebenen sowie die gesuchten Grössen farblich (z. B. blau und rot).

Ein Schiff fährt 12 km nach Norden, dann 8 km in Richtung 70° (Ostnordost). Wie weit ist es vom Startpunkt entfernt?
Vom Boden aus peilst du eine Bergspitze unter 28°. Du gehst 200 m näher heran und peilst nun unter 41°. Wie hoch ist der Berg?
Ein Dachsparren ist 4.20 m lang und steht im Winkel von 35° zur Horizontalen. Wie hoch reicht er, wie weit ragt er waagrecht?

🟢 Lösung

Allgemeines Dreieck. \(A\) = Start, \(B\) = nach 12 km Nord, \(C\) = nach weiteren 8 km. Beide Wegabschnitte als Dreiecksseiten zeichnen, der Winkel bei \(B\) ist nicht 70°, sondern \(180° - 70° = 110°\) (Aussenwinkelregel: man dreht um \(180°\) minus 70° aus der Geradlinie ab). Gesucht: Seite \(b\) (zwischen \(A\) und \(C\)). → Cosinussatz: \(b = \sqrt{12^2 + 8^2 - 2\cdot 12\cdot 8\cdot\cos(110°)} \approx 16.5\) km.
Zwei rechtwinklige Dreiecke mit gemeinsamer Höhe \(h\). Sei \(d\) die ursprüngliche Distanz zum Berg-Fuss. Zwei Gleichungen: \(\tan(28°) = h/(d + 200)\), \(\tan(41°) = h/d\). Auflösen → \(d \approx 315\) m, \(h \approx 274\) m.
Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 4.20 m und Winkel 35° unten. Gegenkathete (Höhe) \(= 4.20 \cdot \sin(35°) \approx 2.41\) m. Ankathete (waagrechter Auslauf) \(= 4.20 \cdot \cos(35°) \approx 3.44\) m.

🟠 A3Rechnen — Rechtwinkliges Dreieck

🟠 a) Sinus, Cosinus, Tangens

Im rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha = 35°\) und Hypotenuse \(c = 12\) cm — berechne \(a\) und \(b\).
\(\beta = 22°\), Ankathete (an \(\beta\)) \(= 8\) cm — berechne die Hypotenuse \(c\) und die Gegenkathete.
Im rechtwinkligen Dreieck mit \(a = 5\) und \(b = 12\) — berechne \(c\) und beide spitzen Winkel.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c = 25\) und die Gegenkathete zu \(\alpha\) ist \(a = 7\) — berechne \(\alpha\), \(\beta\) und die Ankathete \(b\).

🟢 Lösung

\(a = c \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(35°) \approx 6.88\) cm. \(b = c \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(35°) \approx 9.83\) cm. Probe: \(a^2 + b^2 = 47.3 + 96.6 \approx 144 = c^2\) ✓
Ankathete zu \(\beta\) \(=\) Gegenkathete zu \(\alpha\). Mit \(\cos(\beta) = b/c\): \(c = 8/\cos(22°) \approx 8.63\) cm. Gegenkathete zu \(\beta\): \(8 \cdot \tan(22°) \approx 3.23\) cm.
Pythagoras: \(c = \sqrt{25 + 144} = 13\). \(\tan(\alpha) = 5/12 \approx 0.4167\), \(\alpha = \arctan(0.4167) \approx 22.6°\). \(\beta = 90° - \alpha \approx 67.4°\).
\(\sin(\alpha) = 7/25 = 0.28\), \(\alpha = \arcsin(0.28) \approx 16.3°\). \(\beta = 90° - 16.3° \approx 73.7°\). \(b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24\).

🟠 b) Spezialwinkel ohne Hilfsmittel

Berechne ohne Taschenrechner und gib das Ergebnis als Wurzelausdruck an: \(\sin(60°) + \cos(30°)\).
Vereinfache: \(\sin^2(45°) + \cos^2(45°)\).
Berechne \(\tan(60°) \cdot \tan(30°)\).
Im rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha = 30°\) ist die Hypotenuse 10 cm. Berechne beide Katheten exakt.

🟢 Lösung

\(\sin(60°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), Summe \(= \sqrt{3}\).
\(\sin^2(45°) + \cos^2(45°) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) (gilt für jeden Winkel; hier konkret).
\(\tan(60°) \cdot \tan(30°) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1\).
Gegenkathete zu \(\alpha = 30°\): \(10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) cm. Ankathete: \(10 \cdot \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) cm \(\approx 8.66\) cm.

🟠 A4Sinussatz und Cosinussatz

🟠 a) Sinussatz

Im Dreieck gilt \(\alpha = 42°\), \(\beta = 71°\), \(c = 9.0\) cm. Berechne \(a\) und \(b\).
Im Dreieck gilt \(a = 14\), \(b = 11\), \(\alpha = 65°\). Berechne \(\beta\) und \(\gamma\).

🟢 Lösung

\(\gamma = 180° - 42° - 71° = 67°\). \(a = c \cdot \sin(\alpha)/\sin(\gamma) = 9 \cdot \sin(42°)/\sin(67°) \approx 9 \cdot 0.6691 / 0.9205 \approx 6.54\) cm. \(b = c \cdot \sin(\beta)/\sin(\gamma) \approx 9 \cdot 0.9455 / 0.9205 \approx 9.24\) cm.
Sinussatz: \(\sin(\beta) = b \cdot \sin(\alpha)/a = 11 \cdot \sin(65°)/14 \approx 0.7122\), \(\beta \approx 45.4°\). Da \(\alpha + \beta < 180°\) ✓ und der zweite Wert \(180° - 45.4° = 134.6°\) ergäbe mit \(\alpha = 65°\) bereits \(199.6° > 180°\), gibt es nur eine Lösung. \(\gamma = 180° - 65° - 45.4° = 69.6°\).

🟠 b) Cosinussatz

Im Dreieck gilt \(b = 7\), \(c = 10\), \(\alpha = 55°\). Berechne \(a\).
Im Dreieck gilt \(a = 9\), \(b = 12\), \(c = 15\). Berechne \(\gamma\).
Im Dreieck gilt \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 5\). Wie gross ist der grösste Winkel?

🟢 Lösung

\(a^2 = 49 + 100 - 140 \cdot \cos(55°) = 149 - 140 \cdot 0.5736 \approx 149 - 80.3 \approx 68.7\). \(a \approx 8.29\).
\(\cos(\gamma) = (81 + 144 - 225)/(2 \cdot 9 \cdot 12) = 0/216 = 0\), also \(\gamma = 90°\). Das ist das berühmte 9-12-15-Dreieck (skaliertes 3-4-5-Dreieck) — pythagoreisch!
Der grösste Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, hier \(b = 8\), also \(\beta\). \(\cos(\beta) = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac) = (36 + 25 - 64)/(2\cdot 6\cdot 5) = -3/60 = -0.05\), \(\beta = \arccos(-0.05) \approx 92.87°\).

🟠 A5Anwendung — Höhen und Distanzen messen

🟠 a) Kirchturm

Aus 35 m Distanz peilt man die Spitze eines Kirchturms unter 47° und die Turmunterkante (gleiche Höhe wie der Beobachter) unter 0°. Wie hoch ist der Turm?

🟢 Lösung

Rechtwinkliges Dreieck, Ankathete = 35 m, Gegenkathete = Höhe h:

\[ h = 35 \cdot \tan(47°) \approx 35 \cdot 1.0724 \approx 37.5 \text{ m} \]

🟠 b) Berg mit unzugänglichem Fuss

Die Bergspitze \(S\) lässt sich nicht direkt vermessen — der Berg-Fuss ist unzugänglich. Von zwei Vermessungspunkten \(A\) und \(B\) (Distanz 250 m, beide auf gleicher Höhe) misst man die Höhenwinkel zur Spitze: bei \(A\) \(\alpha = 32°\), bei \(B\) \(\beta = 51°\) (B näher am Berg). Berechne die Höhe \(h\) der Bergspitze über der Beobachterebene.

🟢 Lösung

Sei \(d\) die waagrechte Distanz von \(B\) zum Bergfuss. Dann:

\[ \tan(51°) = \frac{h}{d}, \qquad \tan(32°) = \frac{h}{d + 250} \]

Aus der ersten Gleichung: \(h = d \cdot \tan(51°)\). Einsetzen in die zweite:

\[ d \cdot \tan(51°) = (d + 250) \cdot \tan(32°) \] \[ d \cdot (\tan(51°) - \tan(32°)) = 250 \cdot \tan(32°) \] \[ d = \frac{250 \cdot 0.6249}{1.2349 - 0.6249} = \frac{156.2}{0.6100} \approx 256.1 \text{ m} \] \[ h = 256.1 \cdot \tan(51°) \approx 256.1 \cdot 1.2349 \approx 316.3 \text{ m} \]

Die Bergspitze liegt rund 316 m über der Beobachterebene.

🟠 c) Vermessung über einen Fluss

Ein Punkt \(P\) auf der gegenüberliegenden Flussseite soll vermessen werden. Auf deiner Flussseite legst du eine 80-m-Basislinie zwischen \(A\) und \(B\) ab und misst die Winkel \(\angle PAB = 67°\) und \(\angle PBA = 72°\). Wie weit ist \(P\) von \(A\) und von \(B\) entfernt?

🟢 Lösung

Im Dreieck \(APB\): \(\alpha = 67°\) (bei \(A\)), \(\beta = 72°\) (bei \(B\)), Seite \(c = AB = 80\) m gegenüber \(P\). Erst der Winkel bei \(P\):

\[ \gamma = 180° - 67° - 72° = 41° \]

Sinussatz für \(AP\) (= Seite \(b\), gegenüber \(B\)) und \(BP\) (= Seite \(a\), gegenüber \(A\)):

\[ AP = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \frac{80 \cdot \sin(72°)}{\sin(41°)} \approx \frac{80 \cdot 0.9511}{0.6561} \approx 116.0 \text{ m} \] \[ BP = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{80 \cdot \sin(67°)}{\sin(41°)} \approx \frac{80 \cdot 0.9205}{0.6561} \approx 112.3 \text{ m} \]

🟠 A6Anwendung — Konstruktion und Navigation

🟠 a) Dachkonstruktion

Ein Satteldach hat eine Spannweite (Hausbreite) von 9.60 m und eine Dachneigung von 38°. Zwei gleich lange Sparren stossen am First zusammen.

Wie lang ist ein einzelner Sparren (von der Traufe bis zum First)?
Wie hoch liegt der First über der Traufe?
Welche Dachfläche entsteht insgesamt, wenn das Dach 12 m lang ist?

🟢 Lösung

Halbiere den Querschnitt: rechtwinkliges Dreieck mit Ankathete \(9.60/2 = 4.80\) m und Winkel 38° an der Traufe.

i) Sparrenlänge = Hypotenuse: \(\ell = 4.80 / \cos(38°) \approx 4.80 / 0.7880 \approx 6.09\) m.

ii) Firsthöhe = Gegenkathete: \(h = 4.80 \cdot \tan(38°) \approx 4.80 \cdot 0.7813 \approx 3.75\) m.

iii) Eine Dachfläche ist Sparrenlänge × Dachlänge = \(6.09 \cdot 12 \approx 73.1\) m². Beide Seiten zusammen: \(2 \cdot 73.1 \approx 146.2\) m².

🟠 b) Kursänderung Schiff

Ein Schiff fährt 18 km in nordwestlicher Richtung (315°). Dann ändert es den Kurs auf 030° (Nord-Nord-Ost) und fährt weitere 25 km. Wie weit ist es jetzt vom Startpunkt entfernt?

🟢 Lösung

Der Knickwinkel beim Kurswechsel: Aussenwinkel zwischen Kurs 315° (kommend) und Kurs 030° (gehend). Der Winkel im Dreieck am Knickpunkt ist \(180° - (030° - 315° + 360°) = 180° - 75° = 105°\).

Im Dreieck: \(b = 18\) km, \(c = 25\) km (die zwei zurückgelegten Strecken), eingeschlossener Winkel \(\alpha = 105°\). Gesucht: dritte Seite \(a\) (direkte Distanz Start–Ende).

\[ a^2 = 18^2 + 25^2 - 2 \cdot 18 \cdot 25 \cdot \cos(105°) \] \[ a^2 = 324 + 625 - 900 \cdot (-0.2588) \approx 949 + 232.9 \approx 1181.9 \] \[ a \approx \sqrt{1181.9} \approx 34.4 \text{ km} \]

🟠 c) Goldenes Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Spitzenwinkel von 36° (das ist das „goldene Dreieck" aus der Pentagrammgeometrie). Die Schenkel sind 10 cm lang.

Wie gross sind die Basiswinkel?
Wie lang ist die Basis?
Wie gross ist die Höhe (vom Spitzenwinkel zur Basis)?

🟢 Lösung

i) Basiswinkel: \((180° - 36°)/2 = 72°\) je Seite.

ii) Mit Sinussatz, oder einfacher: zerlege in zwei rechtwinklige Dreiecke an der Höhe. Halbe Basis = \(10 \cdot \sin(18°) \approx 3.090\) cm, also Basis \(\approx 6.18\) cm. (Alternativ: Cosinussatz mit \(c^2 = 10^2 + 10^2 - 2\cdot 100\cdot \cos(36°) \approx 200 - 161.8 = 38.2\), \(c \approx 6.18\) cm.)

iii) Höhe \(h = 10 \cdot \cos(18°) \approx 9.51\) cm.

Marginalie — Goldener Schnitt: Das Verhältnis Schenkel zu Basis ist \(\tfrac{10}{6.18} \approx 1.618\) — genau der goldene Schnitt \(\varphi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\,034\). Daher der Name „goldenes Dreieck". Es taucht im regelmässigen Fünfeck und Pentagramm an mehreren Stellen auf.

🟠 A7Triangulation einer Insel

Von einem Seeufer aus soll die Entfernung zu einer Insel bestimmt werden, ohne aufs Wasser zu fahren. Du markierst am Ufer zwei Standpunkte \(A\) und \(B\), die \(50\,\text{m}\) auseinander liegen. Vom Punkt \(A\) aus misst du den Winkel zur Insel-Spitze: \(\alpha = 70°\) (gegen die Verbindungslinie \(AB\)). Vom Punkt \(B\) aus misst du den entsprechenden Winkel: \(\beta = 80°\).

Berechne den dritten Winkel des Dreiecks (an der Insel-Spitze \(I\)).
Berechne mit dem Sinussatz die Strecken \(\overline{AI}\) und \(\overline{BI}\).
Bestimme die senkrechte Entfernung der Insel vom Ufer (= Höhe des Dreiecks auf die Seite \(AB\)).

🟢 Lösung

Winkelsumme: \(\gamma = 180° - 70° - 80° = 30°\).
Sinussatz \(\tfrac{c}{\sin\gamma} = \tfrac{a}{\sin\alpha} = \tfrac{b}{\sin\beta}\), wobei \(c = \overline{AB} = 50\), \(a = \overline{BI}\), \(b = \overline{AI}\).
\(\overline{BI} = a = \tfrac{50 \cdot \sin 70°}{\sin 30°} = \tfrac{50 \cdot 0.9397}{0.5} \approx 93.97\,\text{m}\).
\(\overline{AI} = b = \tfrac{50 \cdot \sin 80°}{\sin 30°} = \tfrac{50 \cdot 0.9848}{0.5} \approx 98.48\,\text{m}\).
Senkrechte Höhe vom Insel-Punkt auf die Verbindungslinie \(AB\): \(h = \overline{BI} \cdot \sin\beta = 93.97 \cdot \sin 80° \approx 92.54\,\text{m}\) (oder gleichwertig \(h = \overline{AI} \cdot \sin\alpha = 98.48 \cdot \sin 70° \approx 92.54\,\text{m}\) — die Übereinstimmung dient als Probe). Die Insel ist also rund \(92.5\,\text{m}\) vom Ufer entfernt.

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Erkenne den Dreieckstyp, dann wähle das Werkzeug:
90°-Dreieck → sin/cos/tan direkt · WSW/WWS/SSW → Sinussatz · SWS/SSS → Cosinussatz.

Eselsbrücke für sin/cos/tan: SOH-CAH-TOA.

Werkzeug	Wann?	Formel
sin/cos/tan	Rechtwinkliges Dreieck	\(\sin = \frac{\text{Geg}}{\text{Hyp}}\), \(\cos = \frac{\text{An}}{\text{Hyp}}\), \(\tan = \frac{\text{Geg}}{\text{An}}\)
arcsin/arccos/arctan	Winkel aus Verhältnis	\(\alpha = \arctan(w)\) wenn \(\tan(\alpha) = w\)
Sinussatz	WSW, WWS oder SSW	\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\)
Cosinussatz	SWS oder SSS	\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\)
Spezialwinkel	Ohne Hilfsmittel	30°, 45°, 60° → Werte als Wurzelausdrücke
Pythagoras	Spezialfall Cosinussatz bei 90°	\(a^2 + b^2 = c^2\)