5.3 Trigonometrische Berechnungen

Baumhöhe: doppelter Abstand, doppelte Höhe

1. 0:00In der Animation stehst du im Abstand d vor einem Baum und peilst die Spitze unter dem Winkel alpha an. Welcher der beiden Regler ändert das Verhältnis von Höhe zu Abstand?
2. 0:11Zehn Meter vom Stamm, Sehwinkel vierzig Grad: Die Höhe ist zehn mal Tangens vierzig Grad, rund acht Komma drei neun Meter. Das Verhältnis h durch d ist null Komma acht vier.
3. 0:22Doppelter Abstand bei gleichem Winkel: Der Baum ist doppelt so hoch, rund sechzehn Komma sieben acht Meter. Das Verhältnis bleibt null Komma acht vier.
4. 0:32Zurück auf zehn Meter, aber jetzt fünfundfünfzig Grad. Die Höhe wird rund vierzehn Komma zwei acht Meter, und das Verhältnis springt auf eins Komma vier drei.
5. 0:41Merke: Das Verhältnis h durch d ist der Tangens des Sehwinkels. Es hängt nur vom Winkel ab, darum ist h gleich d mal Tangens alpha.

Ähnliche Dreiecke: andere Grösse, gleicher Quotient

1. 0:00Drei rechtwinklige Dreiecke mit demselben Winkel alpha, aber verschieden gross. Ändert sich der Quotient a durch c, wenn das Dreieck wächst?
2. 0:09Streckfaktor eins Komma sechs, Winkel fünfunddreissig Grad. Die drei Dreiecke sind verschieden gross, aber jedes Mal ist a durch c rund null Komma fünf sieben.
3. 0:19Mit Streckfaktor zwei werden die Seiten länger. Der Quotient bleibt null Komma fünf sieben, ebenso b durch c und a durch b.
4. 0:29Erst wenn der Winkel sich ändert, ändert sich der Quotient: Bei fünfundzwanzig Grad ist a durch c rund null Komma vier zwei, das ist der Sinus von fünfundzwanzig Grad.
5. 0:39Merke: In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken hängen die Quotienten nur vom Winkel ab. Sie heissen Sinus, Cosinus und Tangens von alpha.

Gegenkathete: vom Winkel aus benannt

1. 0:00Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Aber welche Kathete ist die Gegenkathete? Hängt das davon ab, wo der Winkel x liegt?
2. 0:09Der Winkel x liegt bei A und misst fünfunddreissig Grad. Gegenüber liegt die senkrechte Seite, fünf Komma sieben vier lang. Der Sinus ist null Komma fünf sieben vier.
3. 0:19Jetzt liegt x bei B. Gegenüber liegt nun die waagrechte Seite. Die Katheten tauschen die Rollen, die Hypotenuse bleibt. Der Sinus ist wieder null Komma fünf sieben vier.
4. 0:29Wird der Winkel x grösser, hier sechzig Grad, wächst die Gegenkathete auf acht Komma sechs sechs. Der Sinus wird null Komma acht sechs sechs.
5. 0:38Merke: Gegenkathete und Ankathete benennt man vom Winkel x aus. Nur die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Der Funktionswert hängt nur vom Winkel ab.

Spezialwinkel: Wurzeln aus zwei Figuren

1. 0:00Für dreissig, fünfundvierzig und sechzig Grad kennt man die Werte exakt, mit Wurzeln. Woher kommen genau diese Werte?
2. 0:09Die Diagonale halbiert ein Quadrat mit Seite eins. Pythagoras gibt die Hypotenuse Wurzel zwei. Der Sinus von fünfundvierzig Grad ist eins durch Wurzel zwei, also Wurzel zwei halbe.
3. 0:21Die Höhe halbiert ein gleichseitiges Dreieck mit Seite eins. Die kurze Kathete ist ein halb, Pythagoras gibt die lange Kathete Wurzel drei halbe. Das ist der Sinus von sechzig Grad.
4. 0:33Beim Winkel beta von dreissig Grad liegt die kurze Kathete gegenüber. Darum ist der Sinus von dreissig Grad ein halb und der Cosinus Wurzel drei halbe.
5. 0:43Merke: Halbes Quadrat und halbes gleichseitiges Dreieck liefern mit Pythagoras die exakten Werte. Sinus dreissig Grad ist ein halb, Sinus fünfundvierzig Grad Wurzel zwei halbe, Sinus sechzig Grad Wurzel drei halbe.

Sinussatz: jeder Quotient ist der Durchmesser

1. 0:00Die Ecken A, B und C liegen auf einem Kreis mit Radius eins. Die drei Quotienten Seite durch Sinus des Gegenwinkels sind gleich. Welche Zahl steckt dahinter?
2. 0:10Winkel sechzig, siebzig und fünfzig Grad. Jede Seite durch den Sinus ihres Gegenwinkels ergibt rund zwei.
3. 0:18Jetzt ist alpha stumpf, hundertfünf Grad. Die Quotienten sind wieder rund zwei.
4. 0:26Bei alpha gleich neunzig Grad ist der Sinus eins, und die Seite a geht durch den Mittelpunkt: Sie ist ein Durchmesser, zwei r.
5. 0:34Merke: Seite durch Sinus des Gegenwinkels ist in jedem Dreieck gleich, nämlich der Durchmesser zwei r des Umkreises.

SSW-Fall: die Höhe entscheidet über die Anzahl

1. 0:00Gegeben sind der Winkel alpha gleich fünfunddreissig Grad und die Seite c gleich sechs. Die Seite a ist ein Kreisbogen um B. Wie viele Dreiecke passen dazu?
2. 0:09Bei a gleich drei ist der Bogen kürzer als die Höhe von drei Komma vier vier. Er erreicht den Schenkel nicht, es gibt kein Dreieck.
3. 0:18Bei a gleich vier Komma fünf liegt a zwischen der Höhe und c. Der Bogen schneidet den Schenkel zweimal: zwei verschiedene Dreiecke.
4. 0:27Bei a gleich sieben ist a länger als c. Der zweite Schnittpunkt läge hinter A, es bleibt genau ein Dreieck.
5. 0:35Merke: Ist a kleiner als die Höhe, gibt es kein Dreieck, liegt a zwischen h und c, zwei, und ist a mindestens c, eines. Bei a gleich h berührt der Bogen den Schenkel: genau ein rechtwinkliges Dreieck.

Cosinussatz: der Winkelterm neben Pythagoras

1. 0:00Der Cosinussatz sieht aus wie Pythagoras mit einem Zusatzterm. Was macht dieser Term, und was geschieht bei alpha gleich neunzig Grad?
2. 0:09Mit b gleich sechs, c gleich sieben und alpha gleich sechzig Grad ist der Cosinus positiv. Es werden zweiundvierzig abgezogen, a ist rund sechs Komma fünf sechs.
3. 0:20Bei neunzig Grad ist der Cosinus null. Der Zusatzterm fällt weg, es bleibt Pythagoras: a ist rund neun Komma zwei zwei.
4. 0:28Bei hundertzwanzig Grad ist der Cosinus negativ. Minus mal minus: Es werden zweiundvierzig addiert, a wächst auf rund elf Komma zwei sieben.
5. 0:38Merke: Bei neunzig Grad fällt der Zusatzterm weg, und der Cosinussatz wird zum Satz des Pythagoras. Bei einem stumpfen Winkel ist der Cosinus negativ, und die Seite a wird länger.

Dreiecksfläche: die Höhe steckt im Sinus

1. 0:00Zwei Seiten p und q schliessen den Winkel phi ein. Die Höhe auf q ist p mal Sinus phi. Wie ändert sich die Fläche mit dem Winkel?
2. 0:09Mit p gleich sechs, q gleich sieben und phi gleich dreissig Grad ist die Höhe sechs mal ein halb, also drei. Die Fläche ist zehn Komma fünf.
3. 0:18Bei neunzig Grad ist der Sinus eins. Die Höhe ist die Seite p selbst, und die Fläche ist mit einundzwanzig am grössten.
4. 0:26Bei hundertfünfzig Grad liegt der Fusspunkt der Höhe ausserhalb. Der Sinus ist wieder ein halb, Höhe und Fläche sind gleich wie bei dreissig Grad.
5. 0:36Merke: Die Höhe ist p mal Sinus phi. In die Flächenformel eingesetzt gibt das p mal q halbe mal Sinus phi, mit dem Winkel phi zwischen den beiden Seiten.

Trigonometrie: Sinus, Cosinus und Tangens am Dreieck

1. 0:00Sinus, Cosinus und Tangens sind keine geheimnisvollen Tasten. Es sind drei Brüche aus je zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.
2. 0:08Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Cosinus Ankathete durch Hypotenuse, Tangens Gegenkathete durch Ankathete.
3. 0:17Am Drei-vier-fünf-Dreieck: Sinus drei Fünftel gleich null Komma sechs, Cosinus vier Fünftel gleich null Komma acht, Tangens drei Viertel gleich null Komma fünfundsiebzig.
4. 0:28Und das Entscheidende: Vergrössert man das Dreieck, wachsen alle Seiten um denselben Faktor — der Bruch bleibt gleich. Darum hängt der Wert nur am Winkel, nicht an der Grösse.
5. 0:38Zwei Dinge folgen daraus: Sinus und Cosinus sind im rechtwinkligen Dreieck immer kleiner als eins, weil die Hypotenuse die längste Seite ist. Der Tangens dagegen kann jeden Wert annehmen.
6. 0:49Zum Mitnehmen: Erst die Seiten benennen, dann den Bruch bilden. Der Wert gehört dem Winkel, nicht dem Dreieck.

Trigonometrie: welche Winkelfunktion?

1. 0:00Sinus, Cosinus oder Tangens. Die Wahl ist einfacher, als sie aussieht.
2. 0:09Schritt eins: die Seiten benennen — immer vom betrachteten Winkel aus.
3. 0:19Schritt zwei: jede Funktion ist ein Bruch aus zwei dieser Seiten.
4. 0:25Gegeben Hypotenuse und Winkel, gesucht die Gegenkathete. Beteiligt sind GK und HY — also Sinus.
5. 0:35Jetzt umgekehrt: zwei Seiten gegeben, der Winkel gesucht. Ohne Hypotenuse — also Tangens.
6. 0:44Erst fragen, welche zwei Seiten vorkommen. Dann steht die Funktion schon fest.

Trigonometrie: den Winkel zurückrechnen

1. 0:00Bisher war der Winkel bekannt und die Seite gesucht. Jetzt umgekehrt: Das Verhältnis ist bekannt, der Winkel gesucht.
2. 0:08Sie heissen Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens — auf dem Rechner die zweite Belegung der drei Tasten. Sie machen die Winkelfunktion rückgängig.
3. 0:17Und hier die Falle: Die hochgestellte minus eins bedeutet Umkehrfunktion, nicht Kehrwert. Sinus hoch minus eins von null Komma sechs ist nicht eins durch null Komma sechs.
4. 0:28Ein Beispiel: Gegenkathete vier, Ankathete sieben. Ohne Hypotenuse also Tangens — Tangens hoch minus eins von vier Siebteln ergibt rund neunundzwanzig Komma sieben Grad.
5. 0:40Und eine Grenze: Der Rechner gibt immer nur einen Winkel zurück. Bei Sinus null Komma sechs gibt es aber auch hundertdreiundvierzig Komma eins Grad — im Dreieck ist das die stumpfe Möglichkeit.
6. 0:51Zum Mitnehmen: hoch minus eins heisst Umkehrung. Der Rechner liefert einen Winkel — ob es der gesuchte ist, prüft man an der Figur.

Trigonometrie: der Sinussatz

1. 0:00Ohne rechten Winkel helfen Sinus, Cosinus und Tangens nicht mehr direkt. Für schiefwinklige Dreiecke gibt es zwei Sätze — der erste ist der Sinussatz.
2. 0:10Entscheidend ist die Zuordnung: Über dem Bruchstrich steht eine Seite, darunter der Sinus des Winkels, der ihr gegenüberliegt. Seite a gehört zu Winkel alpha.
3. 0:19An unserem Dreieck: a ist sieben, alpha sechzig Grad. Sieben durch Sinus sechzig ist rund acht Komma null acht — und mit b gleich acht kommt derselbe Wert heraus.
4. 0:29Der Sinussatz braucht immer ein vollständiges Paar: eine Seite und den Winkel, der ihr gegenüberliegt. Dazu eine weitere Angabe.
5. 0:37Und die Falle aus der letzten Folge: Sucht man einen Winkel, gibt der Rechner den spitzen. Es könnte auch der stumpfe sein — hundertachtzig minus dem gefundenen.
6. 0:47Zum Mitnehmen: Seite durch Sinus des Gegenwinkels — dreimal derselbe Wert. Und beim gesuchten Winkel an den stumpfen Fall denken.

Trigonometrie: der Cosinussatz

1. 0:00Wenn kein Paar aus Seite und Gegenwinkel bekannt ist, versagt der Sinussatz. Dann greift der Cosinussatz.
2. 0:08Die Formel ist gebaut wie der Pythagoras — mit einem Korrekturglied am Schluss. Die gesuchte Seite steht links, ihr Gegenwinkel im Cosinus.
3. 0:16Und der schönste Teil: Bei neunzig Grad ist der Cosinus null, das Korrekturglied verschwindet — übrig bleibt genau der Satz des Pythagoras.
4. 0:24An unserem Dreieck: b ist acht, c ist fünf, alpha sechzig Grad. Vierundsechzig plus fünfundzwanzig ist neunundachtzig, minus zwei mal acht mal fünf mal ein Halb, also minus vierzig. Bleibt neunundvierzig — a ist sieben.
5. 0:39Rückwärts geht es auch: Sind alle drei Seiten bekannt, lässt sich jeder Winkel bestimmen — dafür stellt man die Formel nach dem Cosinus um.
6. 0:46Zum Mitnehmen: Pythagoras plus Korrekturglied. Die gesuchte Seite links, ihr Gegenwinkel im Cosinus — und bei neunzig Grad fällt die Korrektur weg.

Trigonometrie: Sinussatz oder Cosinussatz?

1. 0:00Zwei Sätze, und in der Prüfung muss man sich in Sekunden entscheiden. Die Entscheidung hängt an einer einzigen Frage.
2. 0:08Die Frage lautet: Kenne ich ein vollständiges Paar — eine Seite und den Winkel, der ihr gegenüberliegt? Wenn ja, Sinussatz. Wenn nein, Cosinussatz.
3. 0:18In der Praxis sind es vier Konstellationen. Bei zwei Winkeln und einer Seite und bei zwei Seiten mit Gegenwinkel geht der Sinussatz. Bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel und bei drei Seiten braucht es den Cosinussatz.
4. 0:32Und ein praktischer Hinweis: Oft braucht man beide. Der Cosinussatz liefert die erste fehlende Seite, danach ist ein Paar vollständig — und der Rest geht mit dem kürzeren Sinussatz.
5. 0:42Zum Mitnehmen: Suche das Paar aus Seite und Gegenwinkel. Findest du es, nimm den Sinussatz. Findest du keines, öffne mit dem Cosinussatz.

Trigonometrie: Grad, Minuten und Sekunden eintippen

1. 0:00In der Vermessung, in der Astronomie und auf jeder Landkarte stehen Winkel in Grad, Minuten und Sekunden. Achtunddreissig Grad, zweiundvierzig Minuten, dreissig Sekunden. Von Hand umzurechnen ist unnötig — der Rechner nimmt das so.
2. 0:14Die math-Taste öffnet vier Menüs nebeneinander: MATH, NUM, DMS und R-nach-P. Zweimal nach rechts, und du bist im DMS-Menü. Dort stehen das Gradzeichen, der Minutenstrich, der Sekundenstrich, r für Bogenmass, g für Neugrad — und ganz unten die Umwandlung nach DMS.
3. 0:31Der Winkel wird Stück für Stück getippt: achtunddreissig, Gradzeichen, zweiundvierzig, Minutenstrich, dreissig, Sekundenstrich. Enter gibt achtunddreissig Komma sieben null acht drei drei Grad. Das ist derselbe Winkel — nur dezimal geschrieben.
4. 0:46Und man kann direkt damit weiterrechnen. Ein Turm, fünfundvierzig Meter entfernt, Höhenwinkel achtunddreissig Grad zweiundvierzig dreissig: fünfundvierzig mal Tangens davon gibt sechsunddreissig Komma null sechs Meter.
5. 0:59Der Weg zurück heisst ►DMS, der sechste Eintrag im Menü. Eins Komma fünf Grad wird zu einem Grad und dreissig Minuten. Damit lässt sich jedes Ergebnis, das der Arkustangens als Kommazahl ausgibt, wieder in die übliche Schreibweise bringen.
6. 1:14Ein letzter Punkt, und der rettet Prüfungen: Das Gradzeichen schlägt den Modus. Steht der Rechner auf RADIAN und du tippst Sinus von dreissig Grad mit Gradzeichen, rechnet er trotzdem in Grad — null Komma fünf. Ohne Gradzeichen liest er dreissig als Bogenmass, und dann steht dort minus null Komma neun acht.
7. 1:31Winkel mit Einheit eintippen. Das Zeichen schlägt den Modus.

Runden: was das mode-Menü an der Anzeige ändert — und was nicht

1. 0:00Die mode-Taste öffnet sechs Zeilen. Sie sehen alle gleich harmlos aus — sind es aber nicht. Zwei davon ändern nur, wie das Ergebnis aussieht. Die anderen vier ändern, welches Ergebnis herauskommt.
2. 0:12Von oben nach unten: Winkelmass, Notation, Nachkommastellen, komplexe Zahlen, Zahlensystem und die Darstellung. Hervorgehoben steht jeweils die Voreinstellung — blau markiert ist hier, womit der Rechner ab Werk arbeitet.
3. 0:26Die dritte Zeile stellt die Nachkommastellen. Mit FIX zwei zeigt ein Drittel null Komma drei drei. Rechnest du damit weiter, kommt trotzdem genau eins heraus — nicht null Komma neun neun. Intern steht der volle Wert, die Anzeige ist nur ein Fenster darauf.
4. 0:41Ganz anders die erste Zeile. Sinus von dreissig ist ein Halb, solange der Rechner in Grad steht. Steht er auf Bogenmass, kommt minus null Komma neun acht acht heraus — dreissig Bogenmass sind eben nicht dreissig Grad. Hier ändert der Modus nicht die Anzeige, sondern das Ergebnis.
5. 0:57Und die letzte Zeile entscheidet, wie Eingabe und Ergebnis aussehen. Im MathPrint-Modus steht der Bruch zweistöckig wie im Heft, im klassischen Modus einzeilig. Das ist mehr als Schönheit: Im klassischen Modus wird auch ein Potenzturm anders abgearbeitet.
6. 1:12Zum Mitnehmen: Notation und Nachkommastellen betreffen nur die Anzeige. Winkelmass, komplexe Zahlen, Zahlensystem und Darstellung greifen in die Rechnung ein. Wenn ein Ergebnis nicht passt, ist der erste Blick auf die Kopfzeile.