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Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 5.3 Trigonometrische Berechnungen

Handout — Theorie

1. Rechtwinkliges Dreieck

📘 Bezeichnungen (bezogen auf einen spitzen Winkel α)
📘 Sinus, Cosinus, Tangens
\[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c}, \qquad \cos(\alpha) = \frac{b}{c}, \qquad \tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

SOH-CAH-TOA — Sinus = Opposite/Hypotenuse · Cosinus = Adjacent/Hypotenuse · Tangens = Opposite/Adjacent.

Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Grösse des Dreiecks (Ähnlichkeit).

📘 Umkehrfunktionen (Arcusfunktionen)
\[ \alpha = \arcsin(w), \quad \alpha = \arccos(w), \quad \alpha = \arctan(w) \]

Auf dem Taschenrechner: Tasten sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ (meist über SHIFT/2nd).

📘 Trigonometrischer Pythagoras

Für jeden Winkel α gilt:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

2. Spezialwinkel — exakte Werte

α0°30°45°60°90°
sin α0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)1
cos α1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)0
tan α0\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)1\(\sqrt{3}\)—

Herleitung: 45° aus dem Halbquadrat (Diagonale \(\sqrt{2}\)), 30° und 60° aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck (Höhe \(\sqrt{3}\)).

3. Allgemeines Dreieck

Eckpunkte \(A, B, C\); Winkel \(\alpha, \beta, \gamma\) jeweils an \(A, B, C\); Seiten \(a, b, c\) jeweils gegenüber der gleichnamigen Ecke. Winkelsumme: \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\).

⭐ Sinussatz
\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \]

Anwendung: WSW (zwei Winkel und eine Seite) oder SSW (zwei Seiten und ein Gegenwinkel).

⭐ Cosinussatz
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos(\alpha) \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos(\beta) \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(\gamma) \]

Anwendung: SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) oder SSS (alle drei Seiten).

Spezialfall: \(\gamma = 90°\) ⇒ \(\cos(\gamma) = 0\) ⇒ Pythagoras \(c^2 = a^2 + b^2\).

⭐ Cosinussatz nach Winkel
\[ \cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}, \quad \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} \]

4. Strategie-Übersicht

GegebenWerkzeugBemerkung
90°-Winkel + 2 Seiten oder 1 Seite + 1 Winkelsin/cos/tan + PythagorasDirektes Verhältnis
WSW (2 Winkel + 1 Seite)SinussatzEindeutige Lösung
SSW (2 Seiten + Gegenwinkel)Sinussatzu. U. zwei Lösungen prüfen
SWS (2 Seiten + Zwischenwinkel)CosinussatzDritte Seite direkt
SSS (3 Seiten)CosinussatzWinkel berechnen

5. Häufige Fehler vermeiden

⚠ Achtung