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Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 5.3 Trigonometrische Berechnungen

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15 Grundlagenaufgaben mit Lösungen. Winkelangaben auf eine Dezimale, Längen auf zwei Dezimalen runden.

Aufgaben

  1. Rechtwinkliges Dreieck mit \(\alpha = 35°\) und Hypotenuse \(c = 10\) cm: berechne Gegenkathete \(a\) und Ankathete \(b\) (zu \(\alpha\)).
  2. Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \(a = 5\) cm, \(b = 12\) cm: berechne den Winkel \(\alpha\) gegenüber von \(a\) und die Hypotenuse \(c\).
  3. Berechne ohne Taschenrechner: \(\sin(30°)\), \(\cos(60°)\), \(\tan(45°)\).
  4. Berechne ohne Taschenrechner: \(\cos(30°)\), \(\sin(60°)\), \(\tan(60°)\).
  5. Eine Leiter (\(L = 4\) m) lehnt mit Winkel \(70°\) zum Boden an einer Wand. In welcher Höhe berührt sie die Wand?
  6. Eine Rampe ist 8 m lang und überwindet 1.20 m Höhe. Welcher Steigungswinkel?
  7. \(\sin(\alpha) = 0.6\). Bestimme \(\alpha\) (im Bereich \(0° < \alpha < 90°\)).
  8. \(\tan(\alpha) = 1\). Bestimme \(\alpha\).
  9. Allgemeines Dreieck mit \(\alpha = 40°\), \(\beta = 70°\), \(c = 8\) cm: berechne \(a\) (Sinussatz).
  10. Allgemeines Dreieck mit \(b = 6\) cm, \(c = 8\) cm, \(\alpha = 60°\): berechne \(a\) (Cosinussatz).
  11. Allgemeines Dreieck mit \(a = 7\), \(b = 8\), \(c = 9\): berechne den Winkel \(\alpha\) (Cosinussatz).
  12. Welche Strategie? Drei Seiten gegeben (SSS) → Sinussatz oder Cosinussatz?
  13. Welche Strategie? Zwei Winkel und eine Seite gegeben (WSW) → Sinussatz oder Cosinussatz?
  14. Welche Strategie? Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben (SWS) → Sinussatz oder Cosinussatz?
  15. Was bedeutet die Abkürzung SOH-CAH-TOA?

Lösungen

  1. \(a = c \cdot \sin(35°) = 10 \cdot 0.5736 \approx 5.74\) cm; \(b = c \cdot \cos(35°) \approx 8.19\) cm.
  2. \(\tan(\alpha) = 5/12 \Rightarrow \alpha \approx 22.6°\); \(c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) cm.
  3. \(\sin(30°) = \tfrac{1}{2}\); \(\cos(60°) = \tfrac{1}{2}\); \(\tan(45°) = 1\).
  4. \(\cos(30°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\sin(60°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1.73\).
  5. \(h = L \cdot \sin(70°) = 4 \cdot 0.9397 \approx 3.76\) m.
  6. \(\sin(\alpha) = 1.20/8 = 0.15 \Rightarrow \alpha \approx 8.6°\).
  7. \(\alpha = \arcsin(0.6) \approx 36.9°\).
  8. \(\alpha = \arctan(1) = 45°\).
  9. Sinussatz: \(\dfrac{a}{\sin(40°)} = \dfrac{8}{\sin(70°)} \Rightarrow a = \dfrac{8 \cdot \sin(40°)}{\sin(70°)} \approx \dfrac{8 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx 5.47\) cm.
  10. Cosinussatz: \(a^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°) = 100 - 96 \cdot 0.5 = 52\); \(a = \sqrt{52} \approx 7.21\).
  11. \(\cos(\alpha) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{64 + 81 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \dfrac{96}{144} = \tfrac{2}{3} \Rightarrow \alpha \approx 48.2°\).
  12. Cosinussatz — Sinussatz braucht ein Winkel-Seite-Paar; bei SSS hat man keinen Winkel.
  13. Sinussatz — der dritte Winkel folgt aus \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\), dann ein Winkel-Seite-Paar verfügbar.
  14. Cosinussatz — die dritte Seite gegenüber dem gegebenen Winkel berechnen.
  15. Sinus = Oppositum / Hypotenuse, Cosinus = Adjacens / Hypotenuse, Tangens = Oppositum / Adjacens. Eselsbrücke für sin = Geg/Hyp, cos = Ank/Hyp, tan = Geg/Ank.