Anwendungsaufgaben — Einheitskreis

Aufgaben

1. (o. H.) Berechne exakt: \(\sin(225°)\), \(\cos(150°)\), \(\tan(120°)\).
2. (o. H.) Berechne exakt: \(\sin(330°)\), \(\cos(210°)\), \(\tan(315°)\).
3. (o. H.) Reduziere und berechne: \(\sin(540°)\), \(\cos(-120°)\), \(\tan(495°)\).
4. (o. H.) \(\cos(\varphi) = -\tfrac{12}{13}\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant III. Bestimme \(\sin(\varphi)\) und \(\tan(\varphi)\).
5. (o. H.) Vereinfache: \(\sin(180° - \varphi) - \cos(90° - \varphi)\).
6. (o. H.) Vereinfache: \(\sin^2(\varphi) \cdot \tan(\varphi) + \cos^2(\varphi) \cdot \tan(\varphi)\).
7. (o. H.) Zeige: \(\sin(180° + \varphi) = -\sin(\varphi)\), indem du den Punkt \(P'\) am Einheitskreis konstruierst.
8. (o. H.) Zeige: Die Identität \(\tan(180° - \varphi) = -\tan(\varphi)\) folgt aus der Definition \(\tan = \sin/\cos\) und den Regeln für \(\sin(180° - \varphi)\) und \(\cos(180° - \varphi)\).
9. Bestimme alle Winkel \(\varphi\) im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) mit \(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\). (Tipp: erst \(\arcsin\), dann Symmetrie.)
10. Bestimme alle Winkel \(\varphi\) im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) mit \(\cos(\varphi) = -\tfrac{1}{2}\).
11. Bestimme alle Winkel \(\varphi\) im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) mit \(\tan(\varphi) = -1\).
12. Ein Punkt \(P\) bewegt sich auf dem Einheitskreis vom Winkel \(\varphi_1 = 60°\) zum Winkel \(\varphi_2 = 210°\). Berechne den Bogen \(\widehat{P_1 P_2}\) (Bogenlänge auf dem Einheitskreis) sowohl in Grad-Anteilen als auch in Bogenmass.

Lösungen

1. \(\sin(225°) = -\sin(45°) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\); \(\cos(150°) = -\cos(30°) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\tan(120°) = -\tan(60°) = -\sqrt{3}\).
2. \(\sin(330°) = -\sin(30°) = -\tfrac{1}{2}\); \(\cos(210°) = -\cos(30°) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\tan(315°) = -\tan(45°) = -1\).
3. \(\sin(540°) = \sin(540° - 360°) = \sin(180°) = 0\). \(\cos(-120°) = \cos(120°) = -\tfrac{1}{2}\). \(\tan(495°) = \tan(495° - 360°) = \tan(135°) = -1\).
4. Trig. Pyth.: \(\sin^2(\varphi) = 1 - \tfrac{144}{169} = \tfrac{25}{169} \Rightarrow \sin(\varphi) = \pm \tfrac{5}{13}\). In Q III negativ: \(\sin(\varphi) = -\tfrac{5}{13}\). Tangens: \(\tan(\varphi) = \tfrac{-5/13}{-12/13} = \tfrac{5}{12}\) (in Q III positiv ✓).
5. \(\sin(180° - \varphi) = \sin(\varphi)\); \(\cos(90° - \varphi) = \sin(\varphi)\). Differenz: \(\sin(\varphi) - \sin(\varphi) = \mathbf{0}\).
6. Faktorisieren: \((\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi)) \cdot \tan(\varphi) = 1 \cdot \tan(\varphi) = \mathbf{\tan(\varphi)}\).
7. Spiegelung am Ursprung: Wenn \(P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)\), dann liegt \(P'\) bei \(\varphi + 180°\) gegenüber: \(P'(-\cos\varphi \mid -\sin\varphi)\). Also \(\sin(180° + \varphi) = y\)-Wert von \(P' = -\sin(\varphi)\). ✓
8. \(\tan(180° - \varphi) = \tfrac{\sin(180° - \varphi)}{\cos(180° - \varphi)} = \tfrac{\sin(\varphi)}{-\cos(\varphi)} = -\tan(\varphi)\). ✓
9. \(\arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°\). Sinus positiv in Q I und Q II. Q I: \(\varphi_1 = 30°\). Q II: \(\varphi_2 = 180° - 30° = 150°\). Lösungen: \(\mathbf{30°, 150°}\).
10. \(\arccos\left(\tfrac{1}{2}\right) = 60°\). Cosinus negativ in Q II und Q III. Q II: \(\varphi_1 = 180° - 60° = 120°\). Q III: \(\varphi_2 = 180° + 60° = 240°\). Lösungen: \(\mathbf{120°, 240°}\).
11. \(\arctan(1) = 45°\). Tangens negativ in Q II und Q IV. Q II: \(\varphi_1 = 180° - 45° = 135°\). Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 45° = 315°\). Lösungen: \(\mathbf{135°, 315°}\).
12. Bogenwinkel: \(210° - 60° = 150°\). Anteil am Vollkreis: \(\tfrac{150°}{360°} = \tfrac{5}{12}\). Bogenmass: \(150° \cdot \tfrac{\pi}{180°} = \tfrac{5\pi}{6}\). Bogenlänge: \(b = r \cdot \alpha_{\text{rad}} = 1 \cdot \tfrac{5\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6} \approx 2.62\).