5.4 Einheitskreis
In Kapitel 5.3 haben wir Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck kennengelernt — gültig nur für spitze Winkel zwischen \(0°\) und \(90°\). Was aber, wenn ein Winkel grösser als \(90°\) ist? Oder gar negativ? Hier hilft der Einheitskreis: Er erweitert die trigonometrischen Funktionen auf alle Winkel und legt damit das Fundament für die Behandlung als Funktionen in Kapitel 5.5.
- die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis sowie deren Umkehroperationen erläutern
- für ausgewählte Winkel entsprechende Funktionswerte am Einheitskreis bestimmen und visualisieren
- elementare trigonometrische Beziehungen erläutern (trigonometrischer Pythagoras, Periodizität, Symmetrien, \(\sin(\frac{\pi}{2}-\varphi) = \cos(\varphi)\) usw.) auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Sinus und Cosinus am Einheitskreis als \(y\)- und \(x\)-Koordinate des Kreispunkts definieren.
- Ich kann die Definition auf beliebige Winkel (über \(90°\) hinaus, negativ) erweitern und Vorzeichen je Quadrant bestimmen.
- Ich kann den Tangens am Einheitskreis deuten und seine Polstellen erklären.
- Ich kann die Beziehungen \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) und \(\tan\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) begründen und nutzen.
- Ich kann Winkelfunktionswerte mit Symmetrien am Kreis aufeinander zurückführen.
Einstieg — ein Schiff fährt um die Boje
Ein Segelschiff umfährt eine Hafenboje auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius einer Seemeile. Die Boje liegt im Zentrum, das Schiff im Abstand 1 SM. Es startet östlich der Boje und fährt im Gegenuhrzeigersinn. Während der Fahrt ändern sich zwei Werte ständig: wie weit das Schiff nach Norden versetzt ist, und wie weit nach Osten.
Schieb den Winkel-Regler und schau, was passiert. Zwei Stellen sind besonders interessant: Bei einem Drittel der Runde (120°) ist das Schiff mehr nach Norden als nach Süden, aber westlich der Boje. Bei drei Vierteln (270°) ist es direkt südlich, der Ost-West-Versatz ist null.
Bei Winkeln zwischen 0° und 90° passt die alte Definition aus 5.3 (Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse) — das Schiff bildet mit Ost-Achse und Verbindungslinie ein rechtwinkliges Dreieck. Aber was bedeutet \(\sin(120°)\)? In diesem Bereich gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mit Innenwinkel 120°. Die Animation zeigt die Antwort schon: die Koordinaten des Schiffs sind die Werte, die der Taschenrechner ausspuckt — egal wie gross oder klein der Winkel ist.
Definition am Einheitskreis
Bisher (5.3) sind \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck definiert — also nur für spitze Winkel \(0° < \alpha < 90°\). Am Einheitskreis dehnen wir die Definition auf alle Winkel \(\varphi\) aus, auch auf stumpfe, negative oder solche grösser als \(360°\).
Am Einheitskreis gilt für einen beliebigen Punkt \(P\) auf der Kreislinie und den zugehörigen Zentriwinkel \(\varphi\):
Die \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\) ist der Sinuswert von \(\varphi\):
\[y_P = \sin\varphi\]
Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) ist der Cosinuswert von \(\varphi\):
\[x_P = \cos\varphi\]
✏️ Mini-Check — Definition am Einheitskreis
Am Einheitskreis ist \(\cos(\alpha)\) die …
- \(y\)-Koordinate des Kreispunkts
- \(x\)-Koordinate des Kreispunkts
- Bogenlänge
Lösung anzeigen
\(\sin(90°) =\) .
Lösung anzeigen
In welchem Quadranten sind Sinus positiv und Cosinus negativ?
Lösung anzeigen
Warum erweitert der Einheitskreis die Dreiecks-Definition auf beliebige Winkel?
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Tangens am Einheitskreis
Den Tangens visualisiert man am Einheitskreis als Strecke auf der rechten Tangente (die senkrechte Linie bei \(x = 1\)). Der Strahl von \(O\) durch \(P\) schneidet diese Tangente im Punkt \(S\); die \(y\)-Koordinate von \(S\) ist \(\tan\varphi\).
Liegt \(P\) im 1. oder 4. Quadranten (also \(\cos\varphi > 0\)), so trifft der vorwärtige Strahl \(OP\) die rechte Tangente direkt. Liegt \(P\) jedoch im 2. oder 3. Quadranten (\(\cos\varphi < 0\)), zeigt \(OP\) weg von der rechten Tangente — man verwendet dann die rückwärtige Verlängerung des Strahls \(OP\) durch \(O\) hindurch. Diese Verlängerung trifft die rechte Tangente, und die \(y\)-Koordinate dieses Schnittpunkts ist erneut \(\tan\varphi\). Die Konstruktion erklärt das Vorzeichen: In Q II ist \(\sin\varphi > 0\), \(\cos\varphi < 0\), also \(\tan\varphi < 0\) — und tatsächlich liegt der Schnittpunkt der rückwärtigen Verlängerung mit \(x = 1\) unter der x-Achse. Analog in Q III: \(\sin\varphi < 0\), \(\cos\varphi < 0\), \(\tan\varphi > 0\), Schnittpunkt über der x-Achse.
Am Einheitskreis gilt für einen beliebigen Punkt \(P\) auf der Kreislinie und den zugehörigen Zentriwinkel \(\varphi\): die \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\) des Strahls \(OP\) mit der rechten Tangente (\(x = 1\)) ist der Tangenswert von \(\varphi\):
\[y_S = \tan\varphi\]
Dies entspricht der Länge des Tangentenabschnitts \(\overline{RS}\) auf der rechten Tangente.
✏️ Mini-Check — Tangens am Einheitskreis
\(\tan(45°) = \;?\)
- \(0.5\)
- \(1\)
- \(\sqrt{2}\)
Lösung anzeigen
Der Tangens hat Polstellen bei \(90°\) und .
Lösung anzeigen
Bestimme \(\tan(0°)\) und begründe am Kreis.
Lösung anzeigen
Warum wächst \(\tan\alpha\) gegen \(90°\) über alle Grenzen?
Lösungsweg anzeigen
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke \(\triangle OQP\) und \(\triangle ORS\) folgt, dass entsprechende Seitenverhältnisse gleich sind:
\[\frac{\tan\varphi}{1} = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\]
Wenden wir den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck \(\triangle OQP\) an, so erhalten wir:
\[\overline{OQ}^2 + \overline{PQ}^2 = \overline{OP}^2 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\]
Ähnlichkeit am Einheitskreis:
\[\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\]
Pythagoras am Einheitskreis (der „trigonometrische Pythagoras"):
\[\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1\]
Umrechnung zwischen den Winkelfunktionen ↩ 5.3
Mit den beiden Beziehungen lassen sich aus jedem der drei Werte die anderen beiden berechnen — bis auf das Vorzeichen, das von Quadrant und Funktion abhängt:
| gesucht ↓ \ gegeben → | \(\sin\varphi\) | \(\cos\varphi\) | \(\tan\varphi\) |
|---|---|---|---|
| \(\sin\varphi\) | \(\sin\varphi\) | \(\sqrt{1 - \cos^2\varphi}\) | \(\dfrac{\tan\varphi}{\sqrt{1 + \tan^2\varphi}}\) |
| \(\cos\varphi\) | \(\sqrt{1 - \sin^2\varphi}\) | \(\cos\varphi\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\varphi}}\) |
| \(\tan\varphi\) | \(\dfrac{\sin\varphi}{\sqrt{1 - \sin^2\varphi}}\) | \(\dfrac{\sqrt{1 - \cos^2\varphi}}{\cos\varphi}\) | \(\tan\varphi\) |
Alle Formeln folgen aus \(\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1\) und \(\tan\varphi = \sin\varphi/\cos\varphi\). Vorzeichen je nach Quadrant separat festlegen (siehe nächste Tabelle).
Vorzeichen in den vier Quadranten
Je nachdem, in welchem Quadranten \(P\) liegt, sind \(x_P\) und \(y_P\) positiv oder negativ — und damit auch \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\):
| Quadrant | Intervall | \(\sin\varphi\) | \(\cos\varphi\) | \(\tan\varphi\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(0° < \varphi < 90°\) | + | + | + |
| II | \(90° < \varphi < 180°\) | + | − | − |
| III | \(180° < \varphi < 270°\) | − | − | + |
| IV | \(270° < \varphi < 360°\) | − | + | − |
Merkregel „All Students Take Calculus": in Quadrant I sind Alle positiv, in II nur Sinus, in III nur Tangens, in IV nur Cosinus.
Symmetrieeigenschaften
Aus der Geometrie am Einheitskreis ergeben sich direkt Beziehungen für Winkel, die zueinander an einer Achse gespiegelt sind. Sie werden oft gebraucht, um Werte für \(\varphi > 90°\) auf bekannte Werte im 1. Quadranten zurückzuführen:
| Beziehung | Sinus | Cosinus | Tangens |
|---|---|---|---|
| \(-\alpha\) (Spiegelung an x-Achse) | \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\) | \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\) | \(\tan(-\alpha) = -\tan\alpha\) |
| \(180° - \alpha\) (Q II) | \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\) | \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) | \(\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha\) |
| \(180° + \alpha\) (Q III) | \(\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha\) | \(\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha\) | \(\tan(180° + \alpha) = \tan\alpha\) |
| \(360° - \alpha\) (Q IV) | \(\sin(360° - \alpha) = -\sin\alpha\) | \(\cos(360° - \alpha) = \cos\alpha\) | \(\tan(360° - \alpha) = -\tan\alpha\) |
| \(90° - \alpha\) (Komplement) | \(\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha\) | \(\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha\) | \(\tan(90° - \alpha) = \dfrac{1}{\tan\alpha}\) |
Die (\(-\alpha\))-Zeile ist die kürzeste Form der Q-IV-Spiegelung (\(-\alpha\) und \(360° - \alpha\) bezeichnen denselben Punkt am Einheitskreis). \(\cos\) ist eine gerade Funktion (\(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)), \(\sin\) und \(\tan\) sind ungerade. Diese Beziehungen kombiniert mit der Periodizität (\(\sin\) und \(\cos\) haben Periode \(360°\), \(\tan\) hat Periode \(180°\)) lassen alle Werte auf das Intervall \([0°; 90°]\) zurückführen.
Definitions- und Wertemenge der Winkelfunktionen
Sinus und Cosinus
\[\mathbb{D} = \mathbb{R}, \qquad \mathbb{W} = [-1; 1]\]
Tangens
\[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \,:\, k \in \mathbb{Z}\right\}, \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R}\]
Sinus und Cosinus sind für jeden Winkel definiert; ihre Werte liegen stets zwischen \(-1\) und \(+1\). Der Tangens ist überall definiert ausser bei \(\varphi = 90° + k\cdot 180°\) (\(= \tfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)), wo der Cosinus null wird — und nimmt jeden reellen Wert an.
Der Ausdruck \(\tfrac{\pi}{2}\) ist das Bogenmass von \(90°\); die Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmass ist in ↩ 5.1 erklärt.
Umkehroperationen — vom Wert zurück zum Winkel
Sinus, Cosinus und Tangens machen aus einem Winkel ein Verhältnis. Die Umkehroperationen gehen den umgekehrten Weg — vom Verhältnis zurück zum Winkel:
\[ \sin\varphi = w \;\Rightarrow\; \varphi = \arcsin w, \qquad \cos\varphi = w \;\Rightarrow\; \varphi = \arccos w, \qquad \tan\varphi = w \;\Rightarrow\; \varphi = \arctan w \]Auf dem Taschenrechner heissen sie \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\). Weil die Winkelfunktionen periodisch sind, ist die Umkehrung nicht eindeutig — der Rechner liefert nur den Hauptwert in einem festen Bereich:
- \(\arcsin\) liefert \(\varphi \in [-90°;\, 90°]\),
- \(\arccos\) liefert \(\varphi \in [0°;\, 180°]\),
- \(\arctan\) liefert \(\varphi \in \,]{-90°};\, 90°[\).
Alle übrigen Winkel mit demselben Funktionswert findet man über die Symmetrie- und Periodizitätsbeziehungen von oben. Wie man daraus die vollständige Lösungsmenge einer trigonometrischen Gleichung gewinnt, lernst du in ↗ 5.5 (Trigonometrische Gleichungen).
Am Einheitskreis ist \(\cos(\varphi)\) die x-Koordinate, \(\sin(\varphi)\) die y-Koordinate des entsprechenden Punktes. Daraus folgen die Vorzeichen: im 2. Quadranten ist \(\cos\) negativ und \(\sin\) positiv; im 3. Quadranten sind beide negativ; im 4. ist nur \(\sin\) negativ. Wer aus \(\cos(120°)\) blind \(0.5\) macht (richtig wäre \(-0.5\)), übergeht den Quadranten. Eselsbrücke: x-Achse → cos, y-Achse → sin, Vorzeichen direkt am Punkt ablesen.
\(\sin\) und \(\cos\) sind periodisch mit Periode \(360°\). Aus \(\sin(\varphi) = 0.5\) folgen also unendlich viele Lösungen: \(\varphi = 30° + k \cdot 360°\) und \(\varphi = 150° + k \cdot 360°\) für jedes ganze \(k\). Wer nur \(\varphi = 30°\) angibt, übersieht die zweite Lösung im selben Hauptbereich und alle periodischen Wiederholungen. ↗ 5.5
Für die wichtigen Winkel \(0°, 30°, 45°, 60°, 90°\) und ihre Vielfachen lohnt es sich, die Werte auswendig zu lernen oder am Einheitskreis abzulesen:
- \(0°, 90°, 180°, 270°\): die Punkte liegen direkt auf den Achsen, Werte sind \(0\) oder \(\pm 1\).
- \(30°, 150°, 210°, 330°\): \(\sin = \pm \tfrac{1}{2}\), \(\cos = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Vorzeichen aus dem Quadranten.
- \(45°, 135°, 225°, 315°\): \(|\sin| = |\cos| = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Vorzeichen aus dem Quadranten.
- \(60°, 120°, 240°, 300°\): \(\sin = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos = \pm \tfrac{1}{2}\). Vorzeichen aus dem Quadranten.
Eselsbrücke: x-Achse → \(\cos\), y-Achse → \(\sin\). Zeichne den Punkt im richtigen Quadranten, lies x und y ab — Vorzeichen ergeben sich automatisch.
✏️ Mini-Check — Beziehungen der Winkelfunktionen
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \;?\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(\tan^2\alpha\)
Lösung anzeigen
\(\tan\alpha\) ist der Quotient aus \(\sin\alpha\) und .
Lösung anzeigen
\(\sin\alpha = 0.6\) im 1. Quadranten: bestimme \(\cos\alpha\).
Lösung anzeigen
Warum braucht dieselbe Aufgabe im 2. Quadranten ein anderes Vorzeichen?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Gib die Koordinaten des Punktes \(P\) am Einheitskreis für den jeweiligen Winkel an. Verwende exakte Werte (Wurzeln, Brüche).
- \(\varphi = 90°\)
- \(\varphi = 180°\)
- \(\varphi = 270°\)
- \(\varphi = 30°\)
- \(\varphi = 135°\)
- \(\varphi = 240°\)
- \(P(0 \mid 1)\)
- \(P(-1 \mid 0)\)
- \(P(0 \mid -1)\)
- \(P\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right)\)
- Quadrant II, Referenzwinkel \(45°\): \(P\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \mid \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
- Quadrant III, Referenzwinkel \(60°\): \(P\left(-\tfrac{1}{2} \mid -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Gib das Vorzeichen (+ oder −) an, ohne den Wert auszurechnen.
- \(\sin(200°)\)
- \(\cos(200°)\)
- \(\tan(200°)\)
- \(\sin(-50°)\)
- \(\cos(310°)\)
- \(\tan(95°)\)
- \(200°\) liegt in Quadrant III → \(\sin\) negativ → \(-\)
- Quadrant III → \(\cos\) negativ → \(-\)
- Quadrant III → \(\tan\) positiv (negativ/negativ) → \(+\)
- \(-50°\) entspricht Quadrant IV (gleich \(310°\)) → \(\sin\) negativ → \(-\)
- Quadrant IV → \(\cos\) positiv → \(+\)
- Quadrant II → \(\tan\) negativ → \(-\)
Berechne exakt, ohne Taschenrechner. Strategie: Quadrant bestimmen, Referenzwinkel zur \(x\)-Achse finden, Vorzeichen festlegen.
- \(\sin(150°)\)
- \(\cos(120°)\)
- \(\sin(225°)\)
- \(\cos(330°)\)
- \(\tan(135°)\)
- \(\sin(-60°)\)
- Quadrant II, Ref. \(180° - 150° = 30°\), sin in Q II positiv: \(\sin(150°) = +\sin(30°) = \tfrac{1}{2}\)
- Quadrant II, Ref. \(180° - 120° = 60°\), cos in Q II negativ: \(\cos(120°) = -\cos(60°) = -\tfrac{1}{2}\)
- Quadrant III, Ref. \(225° - 180° = 45°\), sin in Q III negativ: \(\sin(225°) = -\sin(45°) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- Quadrant IV, Ref. \(360° - 330° = 30°\), cos in Q IV positiv: \(\cos(330°) = +\cos(30°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- Quadrant II, Ref. \(180° - 135° = 45°\), tan in Q II negativ: \(\tan(135°) = -\tan(45°) = -1\)
- Symmetrie: \(\sin(-60°) = -\sin(60°) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Aus einem gegebenen Funktionswert und dem Quadranten den anderen Funktionswert bestimmen.
- \(\sin(\varphi) = 0.6\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant I. Berechne \(\cos(\varphi)\).
- \(\cos(\varphi) = -\tfrac{4}{5}\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant II. Berechne \(\sin(\varphi)\).
- \(\sin(\varphi) = -\tfrac{3}{5}\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant III. Berechne \(\cos(\varphi)\) und \(\tan(\varphi)\).
- \(\cos^2(\varphi) = 1 - 0.36 = 0.64 \Rightarrow \cos(\varphi) = \pm 0.8\). In Q I positiv: \(\cos(\varphi) = 0.8\).
- \(\sin^2(\varphi) = 1 - \tfrac{16}{25} = \tfrac{9}{25} \Rightarrow \sin(\varphi) = \pm \tfrac{3}{5}\). In Q II positiv: \(\sin(\varphi) = \tfrac{3}{5}\).
- \(\cos^2(\varphi) = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25} \Rightarrow \cos(\varphi) = \pm \tfrac{4}{5}\). In Q III negativ: \(\cos(\varphi) = -\tfrac{4}{5}\). Damit \(\tan(\varphi) = \tfrac{-3/5}{-4/5} = \tfrac{3}{4}\) (in Q III positiv ✓).
Reduziere auf einen Winkel im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) und gib den Wert an.
- \(\sin(420°)\)
- \(\cos(-150°)\)
- \(\sin(750°)\)
- \(\tan(-45°)\)
- \(\cos(810°)\)
- \(420° - 360° = 60°\); \(\sin(420°) = \sin(60°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos(-150°) = \cos(150°)\) (Symmetrie); \(\cos(150°) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(750° - 2 \cdot 360° = 30°\); \(\sin(750°) = \sin(30°) = \tfrac{1}{2}\)
- \(\tan(-45°) = -\tan(45°) = -1\)
- \(810° - 2 \cdot 360° = 90°\); \(\cos(810°) = \cos(90°) = 0\)
Vereinfache durch Anwendung der Beziehungen am Einheitskreis.
- Vereinfache: \(\sin(180° - \varphi) + \sin(180° + \varphi)\)
- Vereinfache: \(\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) + 2\sin^2(\varphi)\)
- Drücke \(\sin(60°)\) durch \(\cos\) eines anderen Winkels aus.
- Wahr oder falsch? \(\sin(\varphi) = \sin(180° - \varphi)\) für jeden Winkel \(\varphi\). Begründe am Einheitskreis.
- \(\sin(180° - \varphi) = \sin(\varphi)\) (Supplement). \(\sin(180° + \varphi) = -\sin(\varphi)\) (Q III, Ref. \(\varphi\), sin negativ). Summe: \(\sin(\varphi) + (-\sin(\varphi)) = \mathbf{0}\).
- \(\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) + 2\sin^2(\varphi) = \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = \mathbf{1}\) (trigonometrischer Pythagoras).
- Komplement: \(\sin(60°) = \cos(90° - 60°) = \cos(30°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓
- Wahr. Am Einheitskreis: \(\varphi\) und \(180° - \varphi\) sind spiegelbildlich zur \(y\)-Achse. Beide Punkte haben dieselbe \(y\)-Koordinate (= sin), aber entgegengesetzte \(x\)-Koordinaten (cos wechselt das Vorzeichen).
An einem klaren Sommertag schwankt die Lufttemperatur in Lugano zwischen \(15\,°\text{C}\) (kühlster Punkt um 5 Uhr morgens) und \(29\,°\text{C}\) (wärmster Punkt um 17 Uhr nachmittags). Die Temperaturkurve lässt sich näherungsweise mit einer Sinusfunktion beschreiben.
- Bestimme den Mittelwert \(T_0\) und die Amplitude \(A\) der Schwankung.
- Welche Periode \(P\) hat die Funktion, und welcher Winkel-Argument-Faktor entspricht dem?
- Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(T(t) = T_0 + A \cdot \sin(\ldots)\) auf, mit \(t\) in Stunden ab 0 Uhr.
- Mittelwert \(T_0 = \tfrac{15 + 29}{2} = 22\,°\text{C}\). Amplitude \(A = \tfrac{29 - 15}{2} = 7\,°\text{C}\).
- Periode \(P = 24\) Stunden. Damit \(\sin\) sich um \(360°\) ändert, wenn \(t\) sich um 24 ändert, braucht das Argument den Faktor \(\tfrac{360°}{24} = 15°\) pro Stunde.
- Maximum bei \(t = 17\). Der Sinus erreicht sein Maximum bei Argument \(90°\). Also \(15° \cdot (17 - t_0) = 90° \Rightarrow t_0 = 11\). Damit: \(T(t) = 22 + 7 \cdot \sin\bigl(15° \cdot (t - 11)\bigr)\). Probe: \(T(17) = 22 + 7 \cdot \sin(90°) = 29\) ✓, \(T(5) = 22 + 7 \cdot \sin(-90°) = 22 - 7 = 15\) ✓. ↗ 5.5
Zusammenfassung
Am Einheitskreis sind die Koordinaten eines Punktes \(P\) zum Winkel \(\varphi\) die trigonometrischen Funktionswerte: \(P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)\). Alles andere — Vorzeichen, Periodizität, Symmetrien — folgt aus der Geometrie des Kreises.
Trigonometrischer Pythagoras: \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\) — gilt für jeden Winkel und ist die wichtigste Identität.
| Konzept | Formel / Aussage |
|---|---|
| Definition | \(P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)\) auf Einheitskreis (Radius 1) |
| Tangens | \(\tan(\varphi) = \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\), nicht definiert bei \(\varphi = 90°, 270°\) |
| Vorzeichen | Q I: alle +; Q II: nur sin +; Q III: nur tan +; Q IV: nur cos + |
| Pythagoras | \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\) |
| Periodizität | \(\sin(\varphi + 360°) = \sin(\varphi)\), \(\cos(\varphi + 360°) = \cos(\varphi)\) |
| Symmetrie | \(\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)\), \(\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)\) |
| Komplement | \(\sin(90° - \varphi) = \cos(\varphi)\), \(\cos(90° - \varphi) = \sin(\varphi)\) |
| Supplement | \(\sin(180° - \varphi) = \sin(\varphi)\), \(\cos(180° - \varphi) = -\cos(\varphi)\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Schiff um die Boje: das Vorzeichen zeigt die Richtung
- 0:00Ein Schiff fährt im Abstand von einer Seemeile um die Boje. Sein Ost-Versatz ist Cosinus phi, sein Nord-Versatz Sinus phi. Was bedeutet es, wenn ein Versatz negativ wird?
- 0:11Bei hundertzwanzig Grad ist der Ost-Versatz minus null Komma fünf, der Nord-Versatz plus null Komma acht sieben. Das Minus sagt: Das Schiff liegt westlich der Boje.
- 0:21Bei zweihundertzehn Grad sind beide Versätze negativ, minus null Komma acht sieben und minus null Komma fünf. Das Schiff liegt südwestlich der Boje.
- 0:31Bei dreihundert Grad ist nur der Nord-Versatz negativ: Das Schiff liegt südöstlich. Ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel dreihundert Grad gibt es nicht, die Koordinaten aber schon.
- 0:41Merke: Der Ost-Versatz ist Cosinus, der Nord-Versatz Sinus. Das Vorzeichen ist keine Abmachung, sondern eine Richtung: negativ heisst westlich oder südlich. So bekommen Sinus und Cosinus auch über neunzig Grad einen Sinn.
Sinus und Cosinus: Koordinaten mit Vorzeichen
- 0:00In der Animation wandert der Punkt P über den Einheitskreis. Seine x-Koordinate ist Cosinus phi, seine y-Koordinate Sinus phi. Wo werden sie negativ, und wo erreichen sie plus oder minus eins?
- 0:13Bei neunzig Grad liegt P ganz oben auf der y-Achse. Der Sinus erreicht seinen grössten Wert eins, der Cosinus ist null.
- 0:22Bei hundertfünfzig Grad liegt P im zweiten Quadranten, links der y-Achse. Der Cosinus ist negativ, etwa minus null Komma acht sechs sechs; der Sinus ist plus ein halb.
- 0:34Bei zweihundertvierzig Grad liegt P im dritten Quadranten, links unten. Beide Koordinaten sind negativ: Cosinus minus ein halb, Sinus etwa minus null Komma acht sechs sechs.
- 0:45Merke: Sinus und Cosinus sind die Koordinaten des Kreispunkts. Ihr Vorzeichen folgt dem Quadranten, die Werte plus und minus eins liegen auf den Achsen. Nach dreihundertsechzig Grad ist P wieder am Start, und alle Werte wiederholen sich.
Abwickler: vom Kreispunkt zur Kurve
- 0:00Der Abwickler trägt eine Koordinate des Kreispunkts rechts über dem Winkel auf. Welche Kurven entstehen, und wo startet die Cosinuskurve?
- 0:09Im Modus Sinus wird die Höhe des Kreispunkts abgewickelt. Bei hundertzwanzig Grad liegt der Kurvenpunkt bei null Komma acht sieben, genau so hoch wie der Kreispunkt.
- 0:20Im Modus Cosinus wird die x-Koordinate um neunzig Grad auf die senkrechte Achse gedreht. Bei null Grad liegt P ganz rechts, bei x gleich eins. Darum startet die Cosinuskurve bei eins.
- 0:31Bei vierhundertzwanzig Grad ist P eine volle Runde weiter, am selben Punkt wie bei sechzig Grad. Die Kurve wiederholt sich: Der Cosinus von vierhundertzwanzig Grad ist null Komma fünf.
- 0:43Merke: Die abgewickelte Höhe ist die Sinuskurve, die abgewickelte x-Koordinate die Cosinuskurve. Die Cosinuskurve startet bei eins, die Sinuskurve bei null. Nach dreihundertsechzig Grad wiederholen sich beide.
Tangens: wenn der Strahl die Tangente verfehlt
- 0:00Der Strahl von O durch P wird bis zur Tangente bei x gleich eins verlängert. Dort, im Punkt S, liest man den Tangens ab. Warum gibt es bei neunzig Grad keinen Wert?
- 0:11Bei sechzig Grad trifft der Strahl die Tangente in der Höhe Wurzel drei, etwa eins Komma sieben drei zwei. Das ist der Tangens, und es ist Sinus durch Cosinus.
- 0:21Bei fünfundachtzig Grad ist der Strahl fast senkrecht. Er trifft die Tangente erst in der Höhe elf Komma vier drei, weit ausserhalb des Bildes. Der Cosinus im Nenner ist fast null.
- 0:32Bei neunzig Grad ist der Strahl parallel zur Tangente und trifft sie nie. Gleichzeitig ist der Cosinus null, und durch null lässt sich nicht teilen. Beides beschreibt dieselbe Tatsache.
- 0:43Merke: Der Tangens ist die y-Koordinate von S auf der Tangente, und er ist Sinus durch Cosinus. Wo der Cosinus null ist, bei neunzig und zweihundertsiebzig Grad, gibt es keinen Schnittpunkt und keinen Tangens.
Eine Figur, zwei Beziehungen: Pythagoras und Ähnlichkeit
- 0:00Zwei Grundbeziehungen verbinden Sinus, Cosinus und Tangens. Die Animation zeigt, dass beide aus derselben Figur stammen. Wo steckt das rechtwinklige Dreieck?
- 0:10Im Dreieck O Q P sind die Katheten Sinus phi und Cosinus phi, die Hypotenuse ist der Radius eins. Pythagoras gibt: Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat gleich eins. Bei siebzig Grad: null Komma acht acht drei plus null Komma eins eins sieben.
- 0:26Das Tangenten-Dreieck O R S hat denselben Winkel phi und einen rechten Winkel. Es ist ähnlich zum Dreieck O Q P, darum ist Tangens durch eins gleich Sinus durch Cosinus. Bei vierzig Grad: null Komma acht drei neun.
- 0:40Merke: Pythagoras im Dreieck O Q P liefert Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat gleich eins. Die Ähnlichkeit zum Tangenten-Dreieck liefert Tangens gleich Sinus durch Cosinus. Wer die Figur vor Augen hat, muss die Formeln nicht auswendig lernen.
Symmetrie-Spiegel: kippen oder tauschen
- 0:00Der Kreispunkt A zum Winkel alpha wird gespiegelt, und es entsteht B zum Winkel beta. Welche Koordinate ändert sich dabei, und wie?
- 0:09Hundertachtzig minus alpha: Mit alpha gleich fünfunddreissig Grad ist beta hundertfünfundvierzig Grad. B liegt gleich hoch wie A, aber links. Der Sinus bleibt, der Cosinus kippt.
- 0:21Bei hundertachtzig plus alpha, also zweihundertfünfzehn Grad, ist B am Ursprung gespiegelt. Beide Koordinaten kippen. Der Tangens als Quotient behält darum sein Vorzeichen.
- 0:32Bei neunzig minus alpha, also fünfundfünfzig Grad, spiegelt die Gerade y gleich x. Kein Vorzeichen kippt, aber x und y tauschen die Plätze: Sinus fünfundfünfzig Grad ist Cosinus fünfunddreissig Grad.
- 0:46Merke: Jede Symmetrie-Regel ist eine Spiegelung des Kreispunkts. An der y-Achse kippt der Cosinus, an der x-Achse der Sinus, am Ursprung beide. An der Geraden y gleich x tauschen Sinus und Cosinus die Rollen.
Hauptwerte: welchen Winkel der Rechner liefert
- 0:00Zu einem Sinuswert gehören am Kreis meist zwei Winkel. Der Rechner gibt aber nur einen aus. Welchen?
- 0:09Den Sinuswert null Komma fünf haben dreissig und hundertfünfzig Grad. Der Rechner liefert dreissig Grad, denn der Arkussinus nimmt den Winkel aus der rechten Kreishälfte, von minus neunzig bis neunzig Grad.
- 0:22Beim Arkuscosinus ist die obere Kreishälfte eingefärbt, von null bis hundertachtzig Grad. Zu minus null Komma fünf liefert der Rechner hundertzwanzig Grad, nicht zweihundertvierzig.
- 0:34Beim Tangens ist die rechte Hälfte ohne ihre Endpunkte eingefärbt: Bei plus und minus neunzig Grad gibt es keinen Tangens. Zu eins liefert der Rechner fünfundvierzig Grad, der zweite Winkel ist zweihundertfünfundzwanzig Grad.
- 0:47Merke: Der Rechner liefert nur den Hauptwert. Den zweiten Winkel liefert die Symmetrie: hundertachtzig minus phi eins beim Sinus, dreihundertsechzig minus phi eins beim Cosinus, phi eins plus hundertachtzig beim Tangens.
Einheitskreis: Sinus und Cosinus als Koordinaten
- 0:00Im Dreieck gibt es nur spitze Winkel. Der Einheitskreis hebt diese Grenze auf — und macht aus Sinus und Cosinus etwas Einfacheres, nicht Schwierigeres.
- 0:10Der Trick ist der Radius eins. Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse — und wenn die Hypotenuse eins ist, bleibt nur die Ankathete stehen.
- 0:19Der Winkel wird von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Damit ist er nicht mehr an ein Dreieck gebunden — er darf über neunzig Grad hinaus, bis dreihundertsechzig und weiter.
- 0:30Und weil es Koordinaten sind, bekommen sie Vorzeichen. Im zweiten Quadranten ist x negativ und y positiv, also Cosinus negativ und Sinus positiv.
- 0:41Die vier Achsenpunkte lohnen sich auswendig: bei null Grad eins und null, bei neunzig null und eins, bei hundertachtzig minus eins und null, bei zweihundertsiebzig null und minus eins.
- 0:52Zum Mitnehmen: Cosinus ist die x-Koordinate, Sinus die y-Koordinate. Und weil der Punkt auf dem Kreis mit Radius eins liegt, bleiben beide zwischen minus eins und eins.
Einheitskreis: Gradmass und Bogenmass
- 0:00Winkel lassen sich auf zwei Arten messen. Das Gradmass kennt man, das Bogenmass kommt mit dem Einheitskreis dazu.
- 0:08Das Bogenmass misst den Winkel an der Länge des Bogens auf dem Einheitskreis. Der ganze Umfang ist zwei pi — also entspricht ein voller Umlauf zwei pi.
- 0:17Für die Umrechnung braucht man nur einen Satz: pi entspricht hundertachtzig Grad. Alles Weitere ist Dreisatz.
- 0:25Sechzig Grad sind ein Drittel von hundertachtzig, also pi durch drei. Und drei Viertel pi sind drei Viertel von hundertachtzig, also hundertfünfunddreissig Grad.
- 0:35Und der praktische Teil: Der Rechner muss wissen, in welchem Mass er arbeitet. DEG rechnet in Grad, RAD im Bogenmass — in der Kopfzeile steht, was gerade gilt.
- 0:45Zum Mitnehmen: pi ist hundertachtzig Grad. Ein Radiant sind rund siebenundfünfzig Grad — eine krumme Zahl, darum schreibt man das Bogenmass fast immer als Vielfaches von pi.
Einheitskreis: die Werte der Spezialwinkel
- 0:00Für drei Winkel gibt es exakte Werte, die man ohne Rechner hinschreiben kann: dreissig, fünfundvierzig und sechzig Grad.
- 0:08Die Werte im Überblick: Sinus dreissig ist ein Halb, Sinus fünfundvierzig Wurzel zwei durch zwei, Sinus sechzig Wurzel drei durch zwei. Beim Cosinus dieselben Zahlen rückwärts.
- 0:20Ein Muster macht die Tabelle tragbar: Schreibt man Wurzel eins, Wurzel zwei, Wurzel drei über zwei, steht die Sinuszeile da — denn Wurzel eins ist eins.
- 0:30Der Tangens folgt daraus: Sinus durch Cosinus. Bei fünfundvierzig Grad sind beide gleich, also eins. Bei sechzig Grad kommt Wurzel drei heraus.
- 0:39Die Werte sind keine Willkür: Fünfundvierzig Grad kommt aus dem halben Quadrat, dreissig und sechzig aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck. Beide Male liefert der Pythagoras die Wurzel.
- 0:50Zum Mitnehmen: Wurzel eins, zwei, drei über zwei für den Sinus — und rückwärts für den Cosinus.
Einheitskreis: der trigonometrische Pythagoras
- 0:00Eine Gleichung, die für jeden Winkel gilt: Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat ist eins.
- 0:08Sie ist der gewöhnliche Satz des Pythagoras. Der Punkt auf dem Einheitskreis bildet mit seinen Koordinaten ein rechtwinkliges Dreieck: Katheten x und y, Hypotenuse der Radius.
- 0:19Eingesetzt: Cosinus Quadrat plus Sinus Quadrat gleich eins Quadrat, also eins. Mehr ist der Beweis nicht.
- 0:26Der Nutzen: Kennt man einen der beiden Werte, bekommt man den anderen. Aus Sinus null Komma sechs folgt Cosinus Quadrat gleich null Komma vierundsechzig, also Cosinus plus oder minus null Komma acht.
- 0:38Aus ihr folgen weitere Identitäten. Teilt man alles durch Cosinus Quadrat, entsteht eins plus Tangens Quadrat gleich eins durch Cosinus Quadrat.
- 0:48Zum Mitnehmen: Es ist der Pythagoras am Einheitskreis. Und weil der Radius eins ist, steht rechts eine Eins.
Zusatzmaterial
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