5.4 Einheitskreis
In Kapitel 5.3 haben wir Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck kennengelernt — gültig nur für spitze Winkel zwischen \(0°\) und \(90°\). Was aber, wenn ein Winkel grösser als \(90°\) ist? Oder gar negativ? Hier hilft der Einheitskreis: Er erweitert die trigonometrischen Funktionen auf alle Winkel und legt damit das Fundament für die Behandlung als Funktionen in Kapitel 5.5.
- die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis sowie deren Umkehroperationen erläutern
- für ausgewählte Winkel entsprechende Funktionswerte am Einheitskreis bestimmen und visualisieren
- elementare trigonometrische Beziehungen erläutern (trigonometrischer Pythagoras, Periodizität, Symmetrien, \(\sin(\frac{\pi}{2}-\varphi) = \cos(\varphi)\) usw.) auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Sinus und Cosinus am Einheitskreis als \(y\)- und \(x\)-Koordinate des Kreispunkts definieren.
- Ich kann die Definition auf beliebige Winkel (über \(90°\) hinaus, negativ) erweitern und Vorzeichen je Quadrant bestimmen.
- Ich kann den Tangens am Einheitskreis deuten und seine Polstellen erklären.
- Ich kann die Beziehungen \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) und \(\tan\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) begründen und nutzen.
- Ich kann Winkelfunktionswerte mit Symmetrien am Kreis aufeinander zurückführen.
Einstieg — ein Schiff fährt um die Boje
Ein Segelschiff umfährt eine Hafenboje auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius einer Seemeile. Die Boje liegt im Zentrum, das Schiff im Abstand 1 SM. Es startet östlich der Boje und fährt im Gegenuhrzeigersinn. Während der Fahrt ändern sich zwei Werte ständig: wie weit das Schiff nach Norden versetzt ist, und wie weit nach Osten.
Schieb den Winkel-Regler und schau, was passiert. Zwei Stellen sind besonders interessant: Bei einem Drittel der Runde (120°) ist das Schiff mehr nach Norden als nach Süden, aber westlich der Boje. Bei drei Vierteln (270°) ist es direkt südlich, der Ost-West-Versatz ist null.
Bei Winkeln zwischen 0° und 90° passt die alte Definition aus 5.3 (Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse) — das Schiff bildet mit Ost-Achse und Verbindungslinie ein rechtwinkliges Dreieck. Aber was bedeutet \(\sin(120°)\)? In diesem Bereich gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mit Innenwinkel 120°. Die Animation zeigt die Antwort schon: die Koordinaten des Schiffs sind die Werte, die der Taschenrechner ausspuckt — egal wie gross oder klein der Winkel ist.
Definition am Einheitskreis
Bisher (5.3) sind \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck definiert — also nur für spitze Winkel \(0° < \alpha < 90°\). Am Einheitskreis dehnen wir die Definition auf alle Winkel \(\varphi\) aus, auch auf stumpfe, negative oder solche grösser als \(360°\).
Am Einheitskreis gilt für einen beliebigen Punkt \(P\) auf der Kreislinie und den zugehörigen Zentriwinkel \(\varphi\):
Die \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\) ist der Sinuswert von \(\varphi\):
\[y_P = \sin\varphi\]
Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) ist der Cosinuswert von \(\varphi\):
\[x_P = \cos\varphi\]
✏️ Mini-Check — Definition am Einheitskreis
Am Einheitskreis ist \(\cos(\alpha)\) die …
- \(y\)-Koordinate des Kreispunkts
- \(x\)-Koordinate des Kreispunkts
- Bogenlänge
Lösung anzeigen
\(\sin(90°) =\) .
Lösung anzeigen
In welchem Quadranten sind Sinus positiv und Cosinus negativ?
Lösung anzeigen
Warum erweitert der Einheitskreis die Dreiecks-Definition auf beliebige Winkel?
Lösungsweg anzeigen
Tangens am Einheitskreis
Den Tangens visualisiert man am Einheitskreis als Strecke auf der rechten Tangente (die senkrechte Linie bei \(x = 1\)). Der Strahl von \(O\) durch \(P\) schneidet diese Tangente im Punkt \(S\); die \(y\)-Koordinate von \(S\) ist \(\tan\varphi\).
Liegt \(P\) im 1. oder 4. Quadranten (also \(\cos\varphi > 0\)), so trifft der vorwärtige Strahl \(OP\) die rechte Tangente direkt. Liegt \(P\) jedoch im 2. oder 3. Quadranten (\(\cos\varphi < 0\)), zeigt \(OP\) weg von der rechten Tangente — man verwendet dann die rückwärtige Verlängerung des Strahls \(OP\) durch \(O\) hindurch. Diese Verlängerung trifft die rechte Tangente, und die \(y\)-Koordinate dieses Schnittpunkts ist erneut \(\tan\varphi\). Die Konstruktion erklärt das Vorzeichen: In Q II ist \(\sin\varphi > 0\), \(\cos\varphi < 0\), also \(\tan\varphi < 0\) — und tatsächlich liegt der Schnittpunkt der rückwärtigen Verlängerung mit \(x = 1\) unter der x-Achse. Analog in Q III: \(\sin\varphi < 0\), \(\cos\varphi < 0\), \(\tan\varphi > 0\), Schnittpunkt über der x-Achse.
Am Einheitskreis gilt für einen beliebigen Punkt \(P\) auf der Kreislinie und den zugehörigen Zentriwinkel \(\varphi\): die \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\) des Strahls \(OP\) mit der rechten Tangente (\(x = 1\)) ist der Tangenswert von \(\varphi\):
\[y_S = \tan\varphi\]
Dies entspricht der Länge des Tangentenabschnitts \(\overline{RS}\) auf der rechten Tangente.
✏️ Mini-Check — Tangens am Einheitskreis
\(\tan(45°) = \;?\)
- \(0.5\)
- \(1\)
- \(\sqrt{2}\)
Lösung anzeigen
Der Tangens hat Polstellen bei \(90°\) und .
Lösung anzeigen
Bestimme \(\tan(0°)\) und begründe am Kreis.
Lösung anzeigen
Warum wächst \(\tan\alpha\) gegen \(90°\) über alle Grenzen?
Lösungsweg anzeigen
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke \(\triangle OQP\) und \(\triangle ORS\) folgt, dass entsprechende Seitenverhältnisse gleich sind:
\[\frac{\tan\varphi}{1} = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\]
Wenden wir den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck \(\triangle OQP\) an, so erhalten wir:
\[\overline{OQ}^2 + \overline{PQ}^2 = \overline{OP}^2 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\]
Ähnlichkeit am Einheitskreis:
\[\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\]
Pythagoras am Einheitskreis (der „trigonometrische Pythagoras"):
\[\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1\]
Umrechnung zwischen den Winkelfunktionen ↩ 5.3
Mit den beiden Beziehungen lassen sich aus jedem der drei Werte die anderen beiden berechnen — bis auf das Vorzeichen, das von Quadrant und Funktion abhängt:
| gesucht ↓ \ gegeben → | \(\sin\varphi\) | \(\cos\varphi\) | \(\tan\varphi\) |
|---|---|---|---|
| \(\sin\varphi\) | \(\sin\varphi\) | \(\sqrt{1 - \cos^2\varphi}\) | \(\dfrac{\tan\varphi}{\sqrt{1 + \tan^2\varphi}}\) |
| \(\cos\varphi\) | \(\sqrt{1 - \sin^2\varphi}\) | \(\cos\varphi\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\varphi}}\) |
| \(\tan\varphi\) | \(\dfrac{\sin\varphi}{\sqrt{1 - \sin^2\varphi}}\) | \(\dfrac{\sqrt{1 - \cos^2\varphi}}{\cos\varphi}\) | \(\tan\varphi\) |
Alle Formeln folgen aus \(\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1\) und \(\tan\varphi = \sin\varphi/\cos\varphi\). Vorzeichen je nach Quadrant separat festlegen (siehe nächste Tabelle).
Vorzeichen in den vier Quadranten
Je nachdem, in welchem Quadranten \(P\) liegt, sind \(x_P\) und \(y_P\) positiv oder negativ — und damit auch \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\):
| Quadrant | Intervall | \(\sin\varphi\) | \(\cos\varphi\) | \(\tan\varphi\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(0° < \varphi < 90°\) | + | + | + |
| II | \(90° < \varphi < 180°\) | + | − | − |
| III | \(180° < \varphi < 270°\) | − | − | + |
| IV | \(270° < \varphi < 360°\) | − | + | − |
Merkregel „All Students Take Calculus": in Quadrant I sind Alle positiv, in II nur Sinus, in III nur Tangens, in IV nur Cosinus.
Symmetrieeigenschaften
Aus der Geometrie am Einheitskreis ergeben sich direkt Beziehungen für Winkel, die zueinander an einer Achse gespiegelt sind. Sie werden oft gebraucht, um Werte für \(\varphi > 90°\) auf bekannte Werte im 1. Quadranten zurückzuführen:
| Beziehung | Sinus | Cosinus | Tangens |
|---|---|---|---|
| \(-\alpha\) (Spiegelung an x-Achse) | \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\) | \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\) | \(\tan(-\alpha) = -\tan\alpha\) |
| \(180° - \alpha\) (Q II) | \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\) | \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) | \(\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha\) |
| \(180° + \alpha\) (Q III) | \(\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha\) | \(\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha\) | \(\tan(180° + \alpha) = \tan\alpha\) |
| \(360° - \alpha\) (Q IV) | \(\sin(360° - \alpha) = -\sin\alpha\) | \(\cos(360° - \alpha) = \cos\alpha\) | \(\tan(360° - \alpha) = -\tan\alpha\) |
| \(90° - \alpha\) (Komplement) | \(\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha\) | \(\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha\) | \(\tan(90° - \alpha) = \dfrac{1}{\tan\alpha}\) |
Die (\(-\alpha\))-Zeile ist die kürzeste Form der Q-IV-Spiegelung (\(-\alpha\) und \(360° - \alpha\) bezeichnen denselben Punkt am Einheitskreis). \(\cos\) ist eine gerade Funktion (\(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)), \(\sin\) und \(\tan\) sind ungerade. Diese Beziehungen kombiniert mit der Periodizität (\(\sin\) und \(\cos\) haben Periode \(360°\), \(\tan\) hat Periode \(180°\)) lassen alle Werte auf das Intervall \([0°; 90°]\) zurückführen.
Definitions- und Wertemenge der Winkelfunktionen
Sinus und Cosinus
\[\mathbb{D} = \mathbb{R}, \qquad \mathbb{W} = [-1; 1]\]
Tangens
\[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \,:\, k \in \mathbb{Z}\right\}, \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R}\]
Sinus und Cosinus sind für jeden Winkel definiert; ihre Werte liegen stets zwischen \(-1\) und \(+1\). Der Tangens ist überall definiert ausser bei \(\varphi = 90° + k\cdot 180°\) (\(= \tfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)), wo der Cosinus null wird — und nimmt jeden reellen Wert an.
Der Ausdruck \(\tfrac{\pi}{2}\) ist das Bogenmass von \(90°\); die Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmass ist in ↩ 5.1 erklärt.
Umkehroperationen — vom Wert zurück zum Winkel
Sinus, Cosinus und Tangens machen aus einem Winkel ein Verhältnis. Die Umkehroperationen gehen den umgekehrten Weg — vom Verhältnis zurück zum Winkel:
\[ \sin\varphi = w \;\Rightarrow\; \varphi = \arcsin w, \qquad \cos\varphi = w \;\Rightarrow\; \varphi = \arccos w, \qquad \tan\varphi = w \;\Rightarrow\; \varphi = \arctan w \]Auf dem Taschenrechner heissen sie \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\). Weil die Winkelfunktionen periodisch sind, ist die Umkehrung nicht eindeutig — der Rechner liefert nur den Hauptwert in einem festen Bereich:
- \(\arcsin\) liefert \(\varphi \in [-90°;\, 90°]\),
- \(\arccos\) liefert \(\varphi \in [0°;\, 180°]\),
- \(\arctan\) liefert \(\varphi \in (-90°;\, 90°)\).
Alle übrigen Winkel mit demselben Funktionswert findet man über die Symmetrie- und Periodizitätsbeziehungen von oben. Wie man daraus die vollständige Lösungsmenge einer trigonometrischen Gleichung gewinnt, lernst du in ↗ 5.5 (Trigonometrische Gleichungen).
Am Einheitskreis ist \(\cos(\varphi)\) die x-Koordinate, \(\sin(\varphi)\) die y-Koordinate des entsprechenden Punktes. Daraus folgen die Vorzeichen: im 2. Quadranten ist \(\cos\) negativ und \(\sin\) positiv; im 3. Quadranten sind beide negativ; im 4. ist nur \(\sin\) negativ. Wer aus \(\cos(120°)\) blind \(0.5\) macht (richtig wäre \(-0.5\)), übergeht den Quadranten. Eselsbrücke: x-Achse → cos, y-Achse → sin, Vorzeichen direkt am Punkt ablesen.
\(\sin\) und \(\cos\) sind periodisch mit Periode \(360°\). Aus \(\sin(\varphi) = 0.5\) folgen also unendlich viele Lösungen: \(\varphi = 30° + k \cdot 360°\) und \(\varphi = 150° + k \cdot 360°\) für jedes ganze \(k\). Wer nur \(\varphi = 30°\) angibt, übersieht die zweite Lösung im selben Hauptbereich und alle periodischen Wiederholungen. ↗ 5.5
Für die wichtigen Winkel \(0°, 30°, 45°, 60°, 90°\) und ihre Vielfachen lohnt es sich, die Werte auswendig zu lernen oder am Einheitskreis abzulesen:
- \(0°, 90°, 180°, 270°\): die Punkte liegen direkt auf den Achsen, Werte sind \(0\) oder \(\pm 1\).
- \(30°, 150°, 210°, 330°\): \(\sin = \pm \tfrac{1}{2}\), \(\cos = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Vorzeichen aus dem Quadranten.
- \(45°, 135°, 225°, 315°\): \(|\sin| = |\cos| = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Vorzeichen aus dem Quadranten.
- \(60°, 120°, 240°, 300°\): \(\sin = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos = \pm \tfrac{1}{2}\). Vorzeichen aus dem Quadranten.
Eselsbrücke: x-Achse → \(\cos\), y-Achse → \(\sin\). Zeichne den Punkt im richtigen Quadranten, lies x und y ab — Vorzeichen ergeben sich automatisch.
✏️ Mini-Check — Beziehungen der Winkelfunktionen
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \;?\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(\tan^2\alpha\)
Lösung anzeigen
\(\tan\alpha\) ist der Quotient aus \(\sin\alpha\) und .
Lösung anzeigen
\(\sin\alpha = 0.6\) im 1. Quadranten: bestimme \(\cos\alpha\).
Lösung anzeigen
Warum braucht dieselbe Aufgabe im 2. Quadranten ein anderes Vorzeichen?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Gib die Koordinaten des Punktes \(P\) am Einheitskreis für den jeweiligen Winkel an. Verwende exakte Werte (Wurzeln, Brüche).
- \(\varphi = 90°\)
- \(\varphi = 180°\)
- \(\varphi = 270°\)
- \(\varphi = 30°\)
- \(\varphi = 135°\)
- \(\varphi = 240°\)
- \(P(0 \mid 1)\)
- \(P(-1 \mid 0)\)
- \(P(0 \mid -1)\)
- \(P\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right)\)
- Quadrant II, Referenzwinkel \(45°\): \(P\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \mid \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
- Quadrant III, Referenzwinkel \(60°\): \(P\left(-\tfrac{1}{2} \mid -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Gib das Vorzeichen (+ oder −) an, ohne den Wert auszurechnen.
- \(\sin(200°)\)
- \(\cos(200°)\)
- \(\tan(200°)\)
- \(\sin(-50°)\)
- \(\cos(310°)\)
- \(\tan(95°)\)
- \(200°\) liegt in Quadrant III → \(\sin\) negativ → \(-\)
- Quadrant III → \(\cos\) negativ → \(-\)
- Quadrant III → \(\tan\) positiv (negativ/negativ) → \(+\)
- \(-50°\) entspricht Quadrant IV (gleich \(310°\)) → \(\sin\) negativ → \(-\)
- Quadrant IV → \(\cos\) positiv → \(+\)
- Quadrant II → \(\tan\) negativ → \(-\)
Berechne exakt, ohne Taschenrechner. Strategie: Quadrant bestimmen, Referenzwinkel zur \(x\)-Achse finden, Vorzeichen festlegen.
- \(\sin(150°)\)
- \(\cos(120°)\)
- \(\sin(225°)\)
- \(\cos(330°)\)
- \(\tan(135°)\)
- \(\sin(-60°)\)
- Quadrant II, Ref. \(180° - 150° = 30°\), sin in Q II positiv: \(\sin(150°) = +\sin(30°) = \tfrac{1}{2}\)
- Quadrant II, Ref. \(180° - 120° = 60°\), cos in Q II negativ: \(\cos(120°) = -\cos(60°) = -\tfrac{1}{2}\)
- Quadrant III, Ref. \(225° - 180° = 45°\), sin in Q III negativ: \(\sin(225°) = -\sin(45°) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- Quadrant IV, Ref. \(360° - 330° = 30°\), cos in Q IV positiv: \(\cos(330°) = +\cos(30°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- Quadrant II, Ref. \(180° - 135° = 45°\), tan in Q II negativ: \(\tan(135°) = -\tan(45°) = -1\)
- Symmetrie: \(\sin(-60°) = -\sin(60°) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Aus einem gegebenen Funktionswert und dem Quadranten den anderen Funktionswert bestimmen.
- \(\sin(\varphi) = 0.6\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant I. Berechne \(\cos(\varphi)\).
- \(\cos(\varphi) = -\tfrac{4}{5}\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant II. Berechne \(\sin(\varphi)\).
- \(\sin(\varphi) = -\tfrac{3}{5}\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant III. Berechne \(\cos(\varphi)\) und \(\tan(\varphi)\).
- \(\cos^2(\varphi) = 1 - 0.36 = 0.64 \Rightarrow \cos(\varphi) = \pm 0.8\). In Q I positiv: \(\cos(\varphi) = 0.8\).
- \(\sin^2(\varphi) = 1 - \tfrac{16}{25} = \tfrac{9}{25} \Rightarrow \sin(\varphi) = \pm \tfrac{3}{5}\). In Q II positiv: \(\sin(\varphi) = \tfrac{3}{5}\).
- \(\cos^2(\varphi) = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25} \Rightarrow \cos(\varphi) = \pm \tfrac{4}{5}\). In Q III negativ: \(\cos(\varphi) = -\tfrac{4}{5}\). Damit \(\tan(\varphi) = \tfrac{-3/5}{-4/5} = \tfrac{3}{4}\) (in Q III positiv ✓).
Reduziere auf einen Winkel im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) und gib den Wert an.
- \(\sin(420°)\)
- \(\cos(-150°)\)
- \(\sin(750°)\)
- \(\tan(-45°)\)
- \(\cos(810°)\)
- \(420° - 360° = 60°\); \(\sin(420°) = \sin(60°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos(-150°) = \cos(150°)\) (Symmetrie); \(\cos(150°) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(750° - 2 \cdot 360° = 30°\); \(\sin(750°) = \sin(30°) = \tfrac{1}{2}\)
- \(\tan(-45°) = -\tan(45°) = -1\)
- \(810° - 2 \cdot 360° = 90°\); \(\cos(810°) = \cos(90°) = 0\)
Vereinfache durch Anwendung der Beziehungen am Einheitskreis.
- Vereinfache: \(\sin(180° - \varphi) + \sin(180° + \varphi)\)
- Vereinfache: \(\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) + 2\sin^2(\varphi)\)
- Drücke \(\sin(60°)\) durch \(\cos\) eines anderen Winkels aus.
- Wahr oder falsch? \(\sin(\varphi) = \sin(180° - \varphi)\) für jeden Winkel \(\varphi\). Begründe am Einheitskreis.
- \(\sin(180° - \varphi) = \sin(\varphi)\) (Supplement). \(\sin(180° + \varphi) = -\sin(\varphi)\) (Q III, Ref. \(\varphi\), sin negativ). Summe: \(\sin(\varphi) + (-\sin(\varphi)) = \mathbf{0}\).
- \(\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) + 2\sin^2(\varphi) = \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = \mathbf{1}\) (trigonometrischer Pythagoras).
- Komplement: \(\sin(60°) = \cos(90° - 60°) = \cos(30°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓
- Wahr. Am Einheitskreis: \(\varphi\) und \(180° - \varphi\) sind spiegelbildlich zur \(y\)-Achse. Beide Punkte haben dieselbe \(y\)-Koordinate (= sin), aber entgegengesetzte \(x\)-Koordinaten (cos wechselt das Vorzeichen).
An einem klaren Sommertag schwankt die Lufttemperatur in Lugano zwischen \(15\,°\text{C}\) (kühlster Punkt um 5 Uhr morgens) und \(29\,°\text{C}\) (wärmster Punkt um 17 Uhr nachmittags). Die Temperaturkurve lässt sich näherungsweise mit einer Sinusfunktion beschreiben.
- Bestimme den Mittelwert \(T_0\) und die Amplitude \(A\) der Schwankung.
- Welche Periode \(P\) hat die Funktion, und welcher Winkel-Argument-Faktor entspricht dem?
- Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(T(t) = T_0 + A \cdot \sin(\ldots)\) auf, mit \(t\) in Stunden ab 0 Uhr.
- Mittelwert \(T_0 = \tfrac{15 + 29}{2} = 22\,°\text{C}\). Amplitude \(A = \tfrac{29 - 15}{2} = 7\,°\text{C}\).
- Periode \(P = 24\) Stunden. Damit \(\sin\) sich um \(360°\) ändert, wenn \(t\) sich um 24 ändert, braucht das Argument den Faktor \(\tfrac{360°}{24} = 15°\) pro Stunde.
- Maximum bei \(t = 17\). Der Sinus erreicht sein Maximum bei Argument \(90°\). Also \(15° \cdot (17 - t_0) = 90° \Rightarrow t_0 = 11\). Damit: \(T(t) = 22 + 7 \cdot \sin\bigl(15° \cdot (t - 11)\bigr)\). Probe: \(T(17) = 22 + 7 \cdot \sin(90°) = 29\) ✓, \(T(5) = 22 + 7 \cdot \sin(-90°) = 22 - 7 = 15\) ✓. ↗ 5.5
Zusammenfassung
Am Einheitskreis sind die Koordinaten eines Punktes \(P\) zum Winkel \(\varphi\) die trigonometrischen Funktionswerte: \(P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)\). Alles andere — Vorzeichen, Periodizität, Symmetrien — folgt aus der Geometrie des Kreises.
Trigonometrischer Pythagoras: \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\) — gilt für jeden Winkel und ist die wichtigste Identität.
| Konzept | Formel / Aussage |
|---|---|
| Definition | \(P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)\) auf Einheitskreis (Radius 1) |
| Tangens | \(\tan(\varphi) = \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\), nicht definiert bei \(\varphi = 90°, 270°\) |
| Vorzeichen | Q I: alle +; Q II: nur sin +; Q III: nur tan +; Q IV: nur cos + |
| Pythagoras | \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\) |
| Periodizität | \(\sin(\varphi + 360°) = \sin(\varphi)\), \(\cos(\varphi + 360°) = \cos(\varphi)\) |
| Symmetrie | \(\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)\), \(\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)\) |
| Komplement | \(\sin(90° - \varphi) = \cos(\varphi)\), \(\cos(90° - \varphi) = \sin(\varphi)\) |
| Supplement | \(\sin(180° - \varphi) = \sin(\varphi)\), \(\cos(180° - \varphi) = -\cos(\varphi)\) |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.