Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 5.4 Einheitskreis

Handout — Theorie

1. Definition am Einheitskreis

📘 Punkt P am Einheitskreis

Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung mit Radius \(r = 1\). Trage einen Winkel \(\varphi\) gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven \(x\)-Achse ab. Der Schnittpunkt der Schenkellinie mit dem Kreis ist der Punkt \(P\):

\[ P(\cos(\varphi) \mid \sin(\varphi)) \]

Der \(x\)-Wert von \(P\) ist der Cosinus, der \(y\)-Wert der Sinus. Diese Definition gilt für alle Winkel — auch über \(90°\), unter \(0°\) oder über \(360°\).

📘 Tangens

\[ \tan(\varphi) = \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} = \dfrac{y}{x} \quad (\cos(\varphi) \neq 0) \]

Geometrisch ist \(\tan(\varphi)\) die Steigung der Geraden vom Ursprung durch \(P\). Nicht definiert bei \(\varphi = 90°\) und \(\varphi = 270°\).

2. Vorzeichen in den vier Quadranten

Quadrant	Winkelbereich	cos (x)	sin (y)	tan
I	0° – 90°	+	+	+
II	90° – 180°	−	+	−
III	180° – 270°	−	−	+
IV	270° – 360°	+	−	−

Eselsbrücke: „Alle Schweizer Trinken Cappuccino" — Q I: alle, Q II: nur sin, Q III: nur tan, Q IV: nur cos.

3. Spezialwinkel — exakte Werte

φ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sin	0	½	√2/2	√3/2	1	√3/2	√2/2	½	0
cos	1	√3/2	√2/2	½	0	−½	−√2/2	−√3/2	−1
tan	0	√3/3	1	√3	—	−√3	−1	−√3/3	0

φ	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
sin	0	−½	−√2/2	−√3/2	−1	−√3/2	−√2/2	−½	0
cos	−1	−√3/2	−√2/2	−½	0	½	√2/2	√3/2	1
tan	0	√3/3	1	√3	—	−√3	−1	−√3/3	0

💡 Strategie Referenzwinkel

Statt die ganze Tabelle auswendig zu lernen: nur die fünf Werte \(0°/30°/45°/60°/90°\) merken. Für jeden anderen Winkel: Quadrant bestimmen, Referenzwinkel zur \(x\)-Achse finden, Vorzeichen nach Quadrant.

Beispiel: \(\cos(225°) = -\cos(45°) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) (Q III, Ref. \(225°-180°=45°\), cos in Q III negativ).

4. Elementare Beziehungen

📘 Trigonometrischer Pythagoras

\[ \sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1 \]

Folgt aus \(x^2 + y^2 = r^2 = 1\) (Punkt \(P\) liegt auf dem Einheitskreis).

📘 Periodizität

\[ \sin(\varphi + 360°) = \sin(\varphi), \quad \cos(\varphi + 360°) = \cos(\varphi), \quad \tan(\varphi + 180°) = \tan(\varphi) \]

Eine volle Drehung führt \(P\) wieder auf denselben Punkt.

📘 Symmetrien (gerade / ungerade)

\[ \sin(-\varphi) = -\sin(\varphi), \quad \cos(-\varphi) = \cos(\varphi) \]

Negativer Winkel = Spiegelung an der \(x\)-Achse. Sinus ist ungerade, Cosinus gerade.

📘 Komplement (90° − φ)

\[ \sin(90° - \varphi) = \cos(\varphi), \quad \cos(90° - \varphi) = \sin(\varphi) \]

Im Bogenmass: \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\varphi\right) = \cos(\varphi)\). Im rechtwinkligen Dreieck: zwei spitze Winkel ergänzen sich zu 90°.

📘 Supplement (180° − φ)

\[ \sin(180° - \varphi) = \sin(\varphi), \quad \cos(180° - \varphi) = -\cos(\varphi) \]

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(y\)-Wert bleibt, \(x\)-Wert wechselt das Vorzeichen.

⭐ Pflichtwissen — auch ohne Hilfsmittel

Trigonometrischer Pythagoras: \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\)
Periodizität: \(\sin(\varphi + 360°) = \sin(\varphi)\) und analog für cos
Symmetrie: \(\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)\), \(\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)\)
Komplement: \(\sin(90° - \varphi) = \cos(\varphi)\), \(\cos(90° - \varphi) = \sin(\varphi)\)

5. Bogenmass (zur Erinnerung)

Grad	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Bogenmass	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π