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Aufgaben

1. Gib die Koordinaten des Punktes \(P\) am Einheitskreis für \(\varphi = 90°\) an.
2. Gib die Koordinaten des Punktes \(P\) am Einheitskreis für \(\varphi = 180°\) an.
3. Gib die Koordinaten des Punktes \(P\) am Einheitskreis für \(\varphi = 30°\) an (exakte Werte).
4. In welchem Quadranten liegt \(\varphi = 200°\)? Welche Vorzeichen haben sin, cos und tan dort?
5. In welchem Quadranten liegt \(\varphi = 310°\)? Welche Vorzeichen haben sin, cos und tan dort?
6. Bestimme den Referenzwinkel zur \(x\)-Achse für \(\varphi = 150°\), \(\varphi = 225°\) und \(\varphi = 300°\).
7. Berechne ohne Taschenrechner: \(\sin(150°)\).
8. Berechne ohne Taschenrechner: \(\cos(120°)\).
9. Berechne ohne Taschenrechner: \(\tan(225°)\).
10. Berechne ohne Taschenrechner: \(\sin(-30°)\) (Symmetrie nutzen).
11. Reduziere mithilfe der Periodizität: \(\sin(420°)\).
12. \(\sin(\varphi) = 0.6\) und \(\varphi\) liegt in Quadrant I. Berechne \(\cos(\varphi)\) (trigonometrischer Pythagoras).
13. Welche Beziehung steckt hinter \(\sin(60°) = \cos(30°)\)? Nenne den Namen.
14. Vereinfache: \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) - 1\).
15. Wandle \(135°\) ins Bogenmass um.

Lösungen

1. \(P(0 \mid 1)\)
2. \(P(-1 \mid 0)\)
3. \(P\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right)\)
4. Quadrant III. sin: \(-\); cos: \(-\); tan: \(+\) (negativ/negativ).
5. Quadrant IV. sin: \(-\); cos: \(+\); tan: \(-\).
6. \(150°\): Ref. \(180°-150° = 30°\); \(225°\): Ref. \(225°-180° = 45°\); \(300°\): Ref. \(360°-300° = 60°\).
7. Q II, Ref. \(30°\), sin in Q II positiv: \(\sin(150°) = +\sin(30°) = \tfrac{1}{2}\).
8. Q II, Ref. \(60°\), cos in Q II negativ: \(\cos(120°) = -\cos(60°) = -\tfrac{1}{2}\).
9. Q III, Ref. \(45°\), tan in Q III positiv: \(\tan(225°) = +\tan(45°) = 1\).
10. Sinus ist ungerade: \(\sin(-30°) = -\sin(30°) = -\tfrac{1}{2}\).
11. \(420° - 360° = 60°\); \(\sin(420°) = \sin(60°) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\).
12. \(\cos^2(\varphi) = 1 - 0.36 = 0.64 \Rightarrow \cos(\varphi) = \pm 0.8\). In Q I positiv: \(\cos(\varphi) = 0.8\).
13. Komplement: \(\sin(\varphi) = \cos(90° - \varphi)\). Hier \(90° - 60° = 30°\).
14. Trigonometrischer Pythagoras: \(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\), also Ergebnis \(= 0\).
15. \(135° = 135 \cdot \tfrac{\pi}{180°} = \tfrac{3\pi}{4}\).