Anwendungsaufgaben — Trigonometrische Gleichungen

Aufgaben

1. Bestimme die allgemeine Lösungsmenge: \(2 \sin(\varphi) - 1 = 0\). (Tipp: zuerst nach \(\sin(\varphi)\) auflösen.)
2. Bestimme die allgemeine Lösungsmenge: \(\cos(\varphi) + 0.5 = 0\).
3. Eine Schwingung hat die Form \(y(t) = 4 \sin(60° \cdot t)\) (\(t\) in Sekunden, \(y\) in cm). Wann hat \(y\) den Wert \(2\) cm zum ersten Mal? (Lösungen für \(t \geq 0\).)
4. Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\): \(\sin^2(\varphi) = \tfrac{1}{4}\). (Tipp: Wurzel ziehen — beide Vorzeichen!)
5. Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\): \(\cos(\varphi) \cdot \sin(\varphi) = 0\). (Tipp: Produkt = 0 wenn ein Faktor = 0.)
6. Eine Wechselspannung hat den zeitlichen Verlauf \(U(t) = 230 \cdot \sin(360° \cdot 50 \cdot t)\) Volt (\(t\) in Sekunden). In welchen Zeitpunkten \(t\) im ersten Halbzyklus (\(0 \leq t \leq 0.01\)) ist \(U(t) = 115\) V?
7. Wann gilt im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) die Gleichung \(\sin(\varphi) = \cos(\varphi)\)? (Tipp: \(\tan(\varphi) = ?\))
8. Im Riesenrad-Modell aus Aufgabe A6 der Themenseite: \(h(t) = 35 - 30 \cos(90° \cdot t)\). Zu welchem Zeitpunkt \(t\) erreicht die Gondel zum ersten Mal die Höhe \(20\) m?
9. Bestimme alle Lösungen im Bereich \(-360° \leq \varphi < 360°\): \(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\).
10. Begründe am Einheitskreis: Warum hat \(\tan(\varphi) = c\) nur eine Lösungsfamilie pro \(180°\)-Schritt, während \(\sin(\varphi) = c\) zwei pro \(360°\) hat?

Lösungen

1. \(2 \sin(\varphi) = 1 \Rightarrow \sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\). Hauptlösung \(30°\), zweite \(150°\). \(\varphi = 30° + k \cdot 360°\) oder \(\varphi = 150° + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z}\).
2. \(\cos(\varphi) = -\tfrac{1}{2}\). Hauptlösung \(120°\), zweite \(240°\). \(\varphi = \pm 120° + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z}\) (oder explizit \(\{120°, 240°\} + k \cdot 360°\)).
3. \(4 \sin(60° \cdot t) = 2 \Rightarrow \sin(60° \cdot t) = \tfrac{1}{2}\). Erste Lösung: \(60° \cdot t = 30° \Rightarrow t = 0.5\) s. (Zweite Lösung wäre \(60° \cdot t = 150° \Rightarrow t = 2.5\) s.) Erste Mal: \(t = 0.5\) s.
4. \(\sin(\varphi) = \pm \tfrac{1}{2}\). Für \(+ \tfrac{1}{2}\): 30°, 150°. Für \(- \tfrac{1}{2}\): 210°, 330°. \(\mathbb{L} = \{30°,\ 150°,\ 210°,\ 330°\}\).
5. \(\cos(\varphi) = 0\) liefert 90°, 270°. \(\sin(\varphi) = 0\) liefert 0°, 180°. \(\mathbb{L} = \{0°,\ 90°,\ 180°,\ 270°\}\) — alle vier Achsenpunkte des Einheitskreises.
6. \(230 \cdot \sin(360° \cdot 50 \cdot t) = 115 \Rightarrow \sin(18000° \cdot t) = 0.5\). Setze \(\varphi = 18000° \cdot t\). Erste Lösung: \(\varphi_1 = 30° \Rightarrow t = 30°/18000° = \tfrac{1}{600}\) s \(\approx 1.67\) ms. Zweite Lösung im Halbzyklus: \(\varphi_2 = 150° \Rightarrow t = 150°/18000° = \tfrac{1}{120}\) s \(\approx 8.33\) ms. \(\mathbb{L} \approx \{1.67,\ 8.33\}\) ms.
7. \(\sin(\varphi) = \cos(\varphi)\) — beide Seiten durch \(\cos(\varphi)\) dividieren (sofern \(\neq 0\)): \(\tan(\varphi) = 1\). Lösungen: \(\varphi_1 = 45°\) (Q I), \(\varphi_2 = 225°\) (Q III). \(\mathbb{L} = \{45°,\ 225°\}\).
8. \(20 = 35 - 30 \cos(90° \cdot t) \Rightarrow \cos(90° \cdot t) = \tfrac{15}{30} = 0.5\). Hauptlösung: \(90° \cdot t = 60° \Rightarrow t = \tfrac{2}{3}\) min \(\approx 40\) Sek. (Zweite Lösung wäre \(90° \cdot t = 300° \Rightarrow t = \tfrac{10}{3}\) min — später.) Erstes Mal: \(t \approx 0.67\) min \(= 40\) s.
9. Im Bereich \([0°; 360°[\): 60° und 120°. Im Bereich \([-360°; 0°[\): \(60° - 360° = -300°\) und \(120° - 360° = -240°\). \(\mathbb{L} = \{-300°,\ -240°,\ 60°,\ 120°\}\).
10. Am Einheitskreis: \(\sin(\varphi) = c\) entspricht der horizontalen Linie \(y = c\), die den Kreis (für \(|c| < 1\)) an zwei Stellen schneidet. \(\tan(\varphi)\) ist die Steigung der Geraden \(OP\). Eine Gerade durch den Ursprung mit gegebener Steigung trifft den Kreis aber an genau zwei diametral gegenüberliegenden Punkten — und diese Punkte unterscheiden sich um \(180°\). Deshalb wiederholen sich die Tangens-Lösungen alle \(180°\), während die Sinus-Lösungen erst nach \(360°\) wiederkehren.