Grundlagenfach · Lerngebiet 5 · Geometrie · 50 Lektionen

5.5 Trigonometrische Gleichungen

In Kapitel 5.3 hast du aus einem Verhältnis einen Winkel berechnet (\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\)) — und meist nur eine Lösung erhalten. Doch der Einheitskreis aus 5.4 zeigt: Es gibt viele Winkel mit demselben Sinus-Wert. Eine Gleichung wie \(\sin(\varphi) = 0.5\) hat unendlich viele Lösungen. Dieses Kapitel klärt: Wie findet man alle?

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 5.5

elementare trigonometrische Gleichungen am Einheitskreis visualisieren und mithilfe der Arcusfunktion lösen

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann die drei Grundgleichungen \(\sin x = c\), \(\cos x = c\), \(\tan x = c\) erkennen und lösen.
Ich kann die Lösungen am Einheitskreis und an der Funktionskurve veranschaulichen.
Ich kann zur ersten Taschenrechner-Lösung die zweite Lösung im Intervall \([0°; 360°[\) bestimmen.
Ich kann Spezialfälle (\(c = 0, \pm 1, \pm 0.5\)) ohne Taschenrechner lösen.
Ich kann die vollständige Lösungsmenge mit Periodizität (\(+ k \cdot 360°\)) korrekt notieren.

Einstieg — Riesenrad: wann auf halber Höhe?

Ein Riesenrad mit Radius 20 m dreht sich gleichmässig und braucht 4 Minuten für eine volle Umdrehung. Der Mittelpunkt liegt 22 m über dem Boden; die Gondel startet ganz unten auf der Einstiegsplattform (2 m über Boden) und fährt im Gegenuhrzeigersinn nach oben.

Während der Fahrt fragt sich der Fahrgast: «Wann sitze ich genau auf halber Höhe — auf der Höhe des Riesenrad-Mittelpunkts, also 22 m über dem Boden?» Klingt nach einer einzigen Antwort, oder? Schau in der Animation, wie oft die Höhen-Kurve die 22-m-Linie kreuzt.

Riesenrad-Fahrt — Gondel-Höhe als Funktion der Zeit

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Beobachte eine volle Umdrehung: Wie oft ist die Gondel auf halber Höhe — und an welchen Stellen der Kurve liegen diese Momente?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Zweimal pro Umdrehung — einmal aufwärts, einmal abwärts. Genau das sind die zwei Grundlösungen von \(\sin x = c\); jede weitere Umdrehung wiederholt sie um \(360°\) versetzt.

Zeit \(t\) [s] 60

Zielhöhe 22 m

Live

Höhe20.0 m

Auf Zielhöhe3-mal bisher

Die Höhe der Gondel folgt einer Sinus-Kurve. Bei jeder vollen Umdrehung (240 s) erreicht sie zweimal die Mittelpunkts-Höhe 22 m.

Die Höhe folgt einer Sinus-Kurve. Die Frage «wann ist die Gondel auf Höhe \(h\)?» ist also: «Wann ist \(\sin(\)irgendetwas\() = \)irgendein Wert?» — eine trigonometrische Gleichung. In diesem Kapitel lernst du, alle Lösungen solcher Gleichungen zu finden.

Die drei Grundgleichungen

Eine elementare trigonometrische Gleichung hat eine der drei Formen:

\[ \sin(\varphi) = c \qquad \cos(\varphi) = c \qquad \tan(\varphi) = c \]

mit einer gegebenen reellen Zahl \(c\). Gesucht sind alle Winkel \(\varphi\), die die Gleichung erfüllen.

📘 Wann gibt es überhaupt Lösungen?

\(\sin(\varphi) = c\) und \(\cos(\varphi) = c\): nur lösbar für \(-1 \leq c \leq 1\). Sonst: \(\mathbb{L} = \{\,\}\) (leere Lösungsmenge).
\(\tan(\varphi) = c\): immer lösbar, für jedes \(c \in \mathbb{R}\).

Der Grund: \(\sin\) und \(\cos\) sind die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis (Radius 1) — sie können nie kleiner als \(-1\) oder grösser als \(1\) werden. Der Tangens dagegen kann beliebig gross und klein werden.

Visualisierung am Einheitskreis

Hier siehst du, wie die Lösungen einer elementaren Gleichung am Einheitskreis erscheinen. Wähle Gleichungstyp und Wert \(c\) — die Lösungspunkte werden hervorgehoben.

Wert c: 0.50

Hauptlösungen im Bereich 0° ≤ φ < 360°

φ₁ = 30°; φ₂ = 150°

Allgemeine Lösungsmenge

φ = 30° + k·360° oder φ = 150° + k·360°, k ∈ ℤ

✏️ Mini-Check — Grundgleichungen

Multiple Choice

Wie viele Lösungen hat \(\sin x = 0.5\) im Intervall \([0°; 360°[\)?

eine
zwei
unendlich viele

Lösung anzeigen

B. \(x_1 = 30°\) und \(x_2 = 150°\) — die Höhe 0.5 wird zweimal pro Umlauf erreicht.

Lückentext

Am Einheitskreis sind die Lösungen von \(\sin x = c\) die Schnittpunkte mit einer en Geraden.

Lösung anzeigen

waagrecht- — der Sinus ist die \(y\)-Koordinate; bei \(\cos x = c\) wäre die Gerade senkrecht.

Kurze Rechnung

Nenne beide Lösungen von \(\sin x = 0.5\) in \([0°; 360°[\).

Lösung anzeigen

\(x_1 = 30°\), \(x_2 = 180° - 30° = 150°\).

Transfer

Warum hat \(\sin x = 1.2\) keine Lösung?

Lösungsweg anzeigen

Der Sinus ist eine Koordinate auf dem Einheitskreis: \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Die Gerade \(y = 1.2\) verfehlt den Kreis — \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

Lösungsschemata für die drei Typen

Für jeden der drei Grundtypen gibt es ein festes Vorgehen. Die Hauptlösung liefert der Taschenrechner über die Arcusfunktion; die zweite Lösung folgt aus den Symmetrien des Einheitskreises (5.4); alle weiteren Lösungen entstehen durch Periodizität.

Typ 1: \(\sin(\varphi) = c\)

Schritt 1: Hauptlösung

\(\varphi_1 = \arcsin(c)\)

Schritt 2: Zweite Lösung (Supplement)

\(\varphi_2 = 180° - \varphi_1\)

Schritt 3: Periodizität (\(360°\))

\(\varphi = \varphi_1 + k \cdot 360°\)
\(\varphi = \varphi_2 + k \cdot 360°\)

Lösbar nur, wenn \(-1 \leq c \leq 1\). Sonst leer.

Typ 2: \(\cos(\varphi) = c\)

Schritt 1: Hauptlösung

\(\varphi_1 = \arccos(c)\)

Schritt 2: Zweite Lösung (Symmetrie)

\(\varphi_2 = -\varphi_1\)
(oder \(360° - \varphi_1\))

Schritt 3: Periodizität (\(360°\))

\(\varphi = \pm\varphi_1 + k \cdot 360°\)

Lösbar nur, wenn \(-1 \leq c \leq 1\). Sonst leer.

Typ 3: \(\tan(\varphi) = c\)

Schritt 1: Hauptlösung

\(\varphi_1 = \arctan(c)\)

Schritt 2: Periodizität (\(180°\)!)

\(\varphi = \varphi_1 + k \cdot 180°\)

Hier nur eine Lösungsfamilie — der Tangens hat Periode \(180°\), nicht \(360°\). Immer lösbar für jedes \(c\). Hinweis: Im Hauptintervall \([0°;\,360°[\) liefert das trotzdem zwei Lösungen — den Taschenrechner-Wert \(\varphi_1\) (in Q I oder IV) und den um \(180°\) verschobenen Wert \(\varphi_1 + 180°\) (in Q III oder II). Beide gehören zur selben Lösungsfamilie, sind aber im Intervall \([0°;\,360°[\) getrennt anzugeben.

⚠ Achtung — Wertemenge der Arcusfunktionen

Der Taschenrechner gibt nur den Hauptwert zurück:

\(\arcsin\): liefert \(\varphi \in [-90°;\, 90°]\) — also nur Quadrant I oder IV
\(\arccos\): liefert \(\varphi \in [0°;\, 180°]\) — also nur Quadrant I oder II
\(\arctan\): liefert \(\varphi \in (-90°;\, 90°)\) — also nur Quadrant I oder IV

Die zweite Lösung in einem anderen Quadranten musst du immer manuell bestimmen — verlass dich niemals allein auf den Taschenrechner!

Lösungen entlang der Sinus-Kurve

Wenn man \(\sin(\varphi)\) als Funktion gegen \(\varphi\) zeichnet, entsteht eine Wellenkurve. Eine Gleichung \(\sin(\varphi) = c\) entspricht dem Schnitt dieser Kurve mit der waagrechten Linie \(y = c\). Die Schnittpunkte sind die Lösungen — und sie wiederholen sich periodisch.

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Zähle bei sin und cos die Schnittpunkte pro \(360°\). Wechsle dann zu tan: Wie viele Schnittpunkte liegen zwischen zwei gestrichelten Polstellen — und wie weit sind zwei benachbarte Lösungen voneinander entfernt?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

sin und cos haben die Periode \(360°\) und treffen jede Höhe \(-1 < c < 1\) zweimal pro Periode — darum braucht es zwei Lösungen, je \(+ k \cdot 360°\). Der tan hat die Periode \(180°\): Zwischen zwei Polstellen \(90° + k \cdot 180°\) nimmt er jeden Wert \(c\) genau einmal an. Eine Lösung genügt: \(\varphi = \varphi_1 + k \cdot 180°\), also \(\varphi_2 = \varphi_1 + 180°\).

Wert c: 0.50

Lösungen im Bereich 0° ≤ φ < 720°

30°, 150°, 390°, 510°

Kreis und Kurve nebeneinander — wo die zweite Lösung sitzt

Der Taschenrechner liefert immer nur einen Winkel. Warum es im Intervall \([0°;\ 360°[\) fast immer zwei sind, zeigt sich am besten, wenn man Kreis und Kurve gleichzeitig ansieht: Dieselbe Höhe \(c\) trifft den Kreis an zwei Stellen — und die Kurve genau darum ebenfalls zweimal.

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schiebe \(c\) langsam gegen \(1\) (bzw. \(-1\)). Die beiden Lösungspunkte wandern aufeinander zu — wo genau fallen sie zusammen, und was passiert danach?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der Rechner gibt nur den Hauptwert zurück — bei \(\arcsin\) einen Winkel zwischen \(-90°\) und \(90°\). Die zweite Lösung liest man am Kreis ab: Bei \(\sin\) liegt sie spiegelbildlich zur senkrechten Achse (\(180° - \varphi_1\)), bei \(\cos\) spiegelbildlich zur waagrechten (\(360° - \varphi_1\)). Nur in den Scheitelpunkten \(c = \pm 1\) fallen beide zu einer einzigen Lösung zusammen.

Wert c: 0.50

Lösungen im Bereich 0° ≤ φ < 360°

φ₁ = 30°; φ₂ = 150° (= 180° − φ₁)

✏️ Mini-Check — Zweite Lösung finden

Multiple Choice

Die zweite Lösung von \(\sin x = c\) (zu \(x_1\)) liegt bei …

\(360° - x_1\)
\(180° - x_1\)
\(x_1 + 90°\)

Lösung anzeigen

B. Spiegelung an der senkrechten Achse; bei \(\cos x = c\) wäre es \(360° - x_1\).

Lückentext

Bei \(\cos x = c\) lautet die zweite Lösung \(x_2 =\) \(- \,x_1\).

Lösung anzeigen

\(360°\) — Spiegelung an der waagrechten Achse.

Kurze Rechnung

Bestimme beide Lösungen von \(\cos x = 0.5\) in \([0°; 360°[\).

Lösung anzeigen

\(x_1 = 60°\), \(x_2 = 360° - 60° = 300°\).

Transfer

Der Taschenrechner liefert für \(\sin x = -0.4\) den Wert \(x \approx -23.6°\). Wie kommst du auf die Lösungen in \([0°; 360°[\)?

Lösungsweg anzeigen

Erst \(+360°\): \(x_1 \approx 336.4°\). Zweite Lösung: \(180° - (-23.6°) = 203.6°\). Beide liegen im 3./4. Quadranten — dort ist der Sinus negativ, was die Plausibilitätsprüfung bestätigt.

Spezialfälle — ohne Taschenrechner

Für die Standard-Werte aus 5.4 (\(0, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1\)) lassen sich alle Lösungen exakt angeben — ohne Taschenrechner. Hier eine Übersicht:

Gleichung	Lösungen in [0°; 360°[	Allgemein (\(k \in \mathbb{Z}\))
\(\sin(\varphi) = 0\)	0°, 180°	\(\varphi = k \cdot 180°\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)	30°, 150°	\(30° + k \cdot 360°\); \(150° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)	45°, 135°	\(45° + k \cdot 360°\); \(135° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)	60°, 120°	\(60° + k \cdot 360°\); \(120° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = 1\)	90°	\(90° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = -1\)	270°	\(270° + k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = 0\)	90°, 270°	\(90° + k \cdot 180°\)
\(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)	60°, 300°	\(\pm 60° + k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = -\tfrac{1}{2}\)	120°, 240°	\(\pm 120° + k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = 1\)	0°	\(k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = -1\)	180°	\(180° + k \cdot 360°\)
\(\tan(\varphi) = 0\)	0°, 180°	\(\varphi = k \cdot 180°\)
\(\tan(\varphi) = 1\)	45°, 225°	\(45° + k \cdot 180°\)
\(\tan(\varphi) = -1\)	135°, 315°	\(135° + k \cdot 180°\)
\(\tan(\varphi) = \sqrt{3}\)	60°, 240°	\(60° + k \cdot 180°\)

🟢 Beispiel — Lösung Schritt für Schritt

Löse \(\cos(\varphi) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\).

Schritt 1 — Hauptlösung: \(\arccos\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150°\) (Q II, weil cos negativ).

Schritt 2 — zweite Lösung: \(\varphi_2 = -150° = 210°\) (oder \(360° - 150° = 210°\), Q III).

Schritt 3 — Bereich anwenden: Beide liegen im Bereich \([0°; 360°[\). Lösungsmenge:

\[ \mathbb{L} = \{150°,\ 210°\} \]

Lösungsmenge angeben

Wie eine trigonometrische Gleichung beantwortet wird, hängt davon ab, ob ein Intervall vorgegeben ist:

📘 Drei typische Aufgabenstellungen

„Bestimme alle Lösungen": allgemeine Lösung mit \(k \in \mathbb{Z}\) angeben: \[ \varphi = \varphi_1 + k \cdot 360° \quad \text{oder} \quad \varphi = \varphi_2 + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z} \]
„Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\)": nur die Hauptlösung und die zweite Lösung im Periodenintervall: \[ \mathbb{L} = \{\varphi_1,\ \varphi_2\} \]
„Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi \leq 720°\)": Periodizität anwenden — Hauptlösungen plus jeweils \(+360°\): \[ \mathbb{L} = \{\varphi_1,\ \varphi_2,\ \varphi_1 + 360°,\ \varphi_2 + 360°\} \]

💡 Sortierung

Lösungen werden konventionell aufsteigend sortiert in der Lösungsmenge angegeben. Beispiel: \(\{30°, 150°\}\), nicht \(\{150°, 30°\}\).

⚠ Häufiger Fehler — nur eine Lösung im Hauptintervall

Die Gleichung \(\sin(\varphi) = 0.5\) hat im Hauptintervall \([0°; 360°[\) zwei Lösungen: \(\varphi_1 = 30°\) (Taschenrechner-Wert \(\arcsin(0.5)\)) und \(\varphi_2 = 180° - 30° = 150°\) (Symmetrie der Sinuskurve). Wer nur den Taschenrechner-Wert nimmt, übersieht die zweite. Analog hat \(\cos(\varphi) = c\) im selben Intervall zwei Lösungen \(\varphi\) und \(360° - \varphi\) (jeweils für \(-1 < c < 1\); bei \(c = \pm 1\) gibt es nur eine), \(\tan(\varphi) = t\) hat zwei Lösungen \(\varphi\) und \(\varphi + 180°\).

✏️ Mini-Check — Lösungsmenge mit Periode

Multiple Choice

Die vollständige Lösungsmenge entsteht aus den Grundlösungen durch …

Addition von \(k \cdot 360°\)
Multiplikation mit \(k\)
Addition von \(k \cdot 90°\)

Lösung anzeigen

A. Sinus und Cosinus haben die Periode \(360°\) (der Tangens \(180°\)).

Lückentext

Notation: \(x = 30° + k \cdot 360°\) mit \(k \in\) .

Lösung anzeigen

\(\mathbb{Z}\) — ganzzahlige Vielfache, vorwärts und rückwärts.

Kurze Rechnung

Gib die Lösungsmenge von \(\sin x = 0.5\) vollständig an.

Lösung anzeigen

\(\mathbb{L} = \{30° + k \cdot 360°\} \cup \{150° + k \cdot 360°\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Transfer

Riesenrad: Die Gondelhöhe erfüllt \(\sin x = 0.5\) — warum gibt es unendlich viele Zeitpunkte auf halber Höhe?

Lösungsweg anzeigen

Das Rad dreht periodisch weiter: jede Umdrehung wiederholt beide Durchgänge (aufwärts bei \(30°\), abwärts bei \(150°\)). Genau das bildet \(+ k \cdot 360°\) ab.

Aufgaben

🟠 A1Spezialwerte ohne Taschenrechner

Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\).

\(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
\(\tan(\varphi) = \sqrt{3}\)
\(\sin(\varphi) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos(\varphi) = 0\)
\(\tan(\varphi) = 0\)

🟢 Lösung

Q I: \(\varphi_1 = 60°\); Q II (Supplement): \(\varphi_2 = 120°\). \(\mathbb{L} = \{60°, 120°\}\).
Q I: \(\varphi_1 = 60°\); Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 60° = 300°\). \(\mathbb{L} = \{60°, 300°\}\).
Q I: \(\varphi_1 = 60°\); Periode \(180°\): \(\varphi_2 = 240°\). \(\mathbb{L} = \{60°, 240°\}\).
\(\arcsin\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -45°\). Im Bereich: Q III: \(\varphi_1 = 180° + 45° = 225°\); Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 45° = 315°\). \(\mathbb{L} = \{225°, 315°\}\).
\(\mathbb{L} = \{90°, 270°\}\) (cos = 0 auf der \(y\)-Achse).
\(\mathbb{L} = \{0°, 180°\}\) (sin = 0 auf der \(x\)-Achse, Tangens auch).

🟠 A2Mit Taschenrechner — alle Lösungen finden

Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\). Runde auf eine Dezimale.

\(\sin(\varphi) = 0.4\)
\(\cos(\varphi) = -0.7\)
\(\tan(\varphi) = 2.5\)
\(\sin(\varphi) = -0.3\)

🟢 Lösung

\(\varphi_1 = \arcsin(0.4) \approx 23.6°\); \(\varphi_2 = 180° - 23.6° = 156.4°\). \(\mathbb{L} \approx \{23.6°,\ 156.4°\}\).
\(\varphi_1 = \arccos(-0.7) \approx 134.4°\); \(\varphi_2 = 360° - 134.4° = 225.6°\). \(\mathbb{L} \approx \{134.4°,\ 225.6°\}\).
\(\varphi_1 = \arctan(2.5) \approx 68.2°\); Periode \(180°\): \(\varphi_2 = 68.2° + 180° = 248.2°\). \(\mathbb{L} \approx \{68.2°,\ 248.2°\}\).
\(\arcsin(-0.3) \approx -17.5°\) — liegt nicht im Bereich. Q III: \(\varphi_1 = 180° + 17.5° = 197.5°\); Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 17.5° = 342.5°\). \(\mathbb{L} \approx \{197.5°,\ 342.5°\}\).

🟠 A3Allgemeine Lösungsmenge

Gib die allgemeine Lösungsmenge an (mit \(k \in \mathbb{Z}\)).

\(\sin(\varphi) = 1\)
\(\cos(\varphi) = -1\)
\(\tan(\varphi) = -1\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)

🟢 Lösung

Nur eine Lösung pro Periode (Maximum von sin): \(\varphi = 90° + k \cdot 360°\).
Nur eine Lösung pro Periode (Minimum von cos): \(\varphi = 180° + k \cdot 360°\).
Q II: \(\varphi_1 = 135°\); Periode \(180°\): \(\varphi = 135° + k \cdot 180°\).
Q I: \(\varphi_1 = 30°\); Q II: \(\varphi_2 = 150°\). \(\varphi = 30° + k \cdot 360°\) oder \(\varphi = 150° + k \cdot 360°\).

🟠 A4Existenz prüfen

Hat die Gleichung Lösungen? Wenn ja, gib alle im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) an (runde wo nötig auf zwei Dezimalstellen).

\(\sin(\varphi) = 1.5\)
\(\cos(\varphi) = -1.2\)
\(\tan(\varphi) = 1000\)
\(\sin(\varphi) = -1\)

🟢 Lösung

Keine Lösung: \(\sin(\varphi) \in [-1; 1]\), aber \(1.5 > 1\). \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
Keine Lösung: \(\cos(\varphi) \in [-1; 1]\), aber \(-1.2 < -1\). \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
Lösung existiert (Tangens ist unbeschränkt): \(\varphi_1 = \arctan(1000) \approx 89.94°\); \(\varphi_2 \approx 269.94°\). \(\mathbb{L} \approx \{89.94°,\ 269.94°\}\).
Genau eine Lösung im Bereich: \(\mathbb{L} = \{270°\}\).

🟠 A5Mehrere Perioden: Bereich \([0°; 720°[\)

Bestimme alle Lösungen im erweiterten Bereich \(0° \leq \varphi < 720°\).

\(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
\(\cos(\varphi) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan(\varphi) = 1\)

🟢 Lösung

Im ersten Periodenintervall: \(30°, 150°\). Plus \(360°\): \(390°, 510°\). \(\mathbb{L} = \{30°,\ 150°,\ 390°,\ 510°\}\).
Im ersten Periodenintervall: \(45°, 315°\). Plus \(360°\): \(405°, 675°\). \(\mathbb{L} = \{45°,\ 315°,\ 405°,\ 675°\}\).
Im ersten Periodenintervall: \(45°, 225°\) (Periode \(180°\)). Plus \(360°\): \(405°, 585°\). \(\mathbb{L} = \{45°,\ 225°,\ 405°,\ 585°\}\). Auch über die Formel \(45° + k \cdot 180°\) für \(k = 0, 1, 2, 3\).

🟠 A6Anwendung — Schwingung am Riesenrad

Ein Riesenrad mit Radius 30 m und Mittelpunkt 35 m über Boden dreht gleichmässig in 4 Minuten eine volle Runde. Eine Gondel startet auf der Höhe \(h_0 = 5\) m (unterster Punkt). Die Höhe nach Zeit \(t\) (in Minuten) ist:

\[ h(t) = 35 - 30 \cdot \cos\!\left(\frac{360°}{4} \cdot t\right) = 35 - 30 \cdot \cos(90° \cdot t) \]

Zu welchen Zeitpunkten \(t \in [0;\ 8]\) (Minuten) befindet sich die Gondel auf einer Höhe von \(35\) m (Mittelhöhe)?

🟢 Lösung

Ansatz: \(h(t) = 35 \Rightarrow 35 - 30 \cos(90° \cdot t) = 35 \Rightarrow \cos(90° \cdot t) = 0\).

Setze \(\varphi = 90° \cdot t\). Gleichung \(\cos(\varphi) = 0\) hat Lösungen \(\varphi = 90° + k \cdot 180°\).

Rückeinsetzen: \(90° \cdot t = 90° + k \cdot 180° \Rightarrow t = 1 + 2k\) (Minuten).

Im Bereich \(t \in [0; 8]\): \(k = 0\): \(t = 1\); \(k = 1\): \(t = 3\); \(k = 2\): \(t = 5\); \(k = 3\): \(t = 7\).

\(\mathbb{L} = \{1,\ 3,\ 5,\ 7\}\) Minuten — alle 2 Minuten passiert die Gondel die Mittelhöhe (zweimal pro Umdrehung: einmal beim Auf-, einmal beim Abwärts).

🟠 A7Gezeiten an einer Küste Vertiefung

Die Wassertiefe \(d(t)\) in einer Hafenbucht schwankt durch die Gezeiten zwischen \(2\,\text{m}\) (Niedrigwasser) und \(8\,\text{m}\) (Hochwasser). Ein Gezeitenzyklus dauert ungefähr \(12\) Stunden. Um \(t = 0\) ist gerade Hochwasser. Die Wassertiefe lässt sich beschreiben als

\[d(t) = 5 + 3 \cdot \cos\!\left(\frac{360°}{12} \cdot t\right) = 5 + 3 \cdot \cos(30° \cdot t)\;\;\text{(t in Stunden).}\]

Verifiziere die Formel: Was ergibt sich für \(t = 0\) (Hochwasser) und für \(t = 6\) (Niedrigwasser)?
Ein Segelboot benötigt mindestens \(6\,\text{m}\) Wassertiefe zum Einlaufen. Zu welchen Zeitpunkten \(t \in [0; 12[\,\text{h}\) ist die Tiefe genau \(6\,\text{m}\)?
Gib die Antwort als alle Lösungen in \([0; 12[\) und allgemein als periodische Lösung in \(\mathbb{R}\) an.
In welchem Zeitfenster pro Zyklus kann das Boot einlaufen?

🟢 Lösung

\(d(0) = 5 + 3 \cdot \cos(0°) = 5 + 3 = 8\,\text{m}\) — Hochwasser ✓. \(d(6) = 5 + 3 \cdot \cos(180°) = 5 - 3 = 2\,\text{m}\) — Niedrigwasser ✓.
Setze \(d(t) = 6\): \(5 + 3 \cdot \cos(30° \cdot t) = 6 \Rightarrow \cos(30° \cdot t) = \tfrac{1}{3}\). Im Hauptintervall \([0°; 360°[\) hat \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{3}\) zwei Lösungen: \(\varphi_1 = \arccos(\tfrac{1}{3}) \approx 70.53°\) und \(\varphi_2 = 360° - 70.53° \approx 289.47°\).
Mit \(\varphi = 30° \cdot t\): \(t_1 \approx 70.53°/30° \approx 2.35\,\text{h}\) und \(t_2 \approx 289.47°/30° \approx 9.65\,\text{h}\). Allgemein (Periode 12 h): \(t = 2.35 + 12k\) und \(t = 9.65 + 12k\) für \(k \in \mathbb{Z}\).
Pro Zyklus ist \(d(t) \geq 6\,\text{m}\) für \(t \in [0; 2.35] \cup [9.65; 12]\,\text{h}\) — also insgesamt etwa 4 Stunden 42 Minuten rund um Hochwasser (zentriert bei \(t = 0\) bzw. \(t = 12\)).

Zusammenfassung

⭐ Vorgehen kompakt

Existenz prüfen: bei sin/cos die Wertemenge kontrollieren.
Hauptlösung via Arcusfunktion (Taschenrechner oder Spezialwerte-Tabelle).
Zweite Lösung aus Symmetrie am Einheitskreis (5.4) ableiten.
Periodizität anwenden: \(360°\) (sin/cos) bzw. \(180°\) (tan).
Bereich beachten: nur Lösungen im verlangten Intervall angeben.

Gleichung	Wann lösbar?	Allgemeine Lösung
\(\sin(\varphi) = c\)	\(-1 \leq c \leq 1\)	\(\varphi_1 + k\cdot 360°\) oder \((180° - \varphi_1) + k\cdot 360°\), wobei \(\varphi_1 = \arcsin(c)\)
\(\cos(\varphi) = c\)	\(-1 \leq c \leq 1\)	\(\pm \varphi_1 + k\cdot 360°\), wobei \(\varphi_1 = \arccos(c)\)
\(\tan(\varphi) = c\)	immer	\(\varphi_1 + k\cdot 180°\), wobei \(\varphi_1 = \arctan(c)\)

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Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen

Riesenrad: zweimal pro Runde auf halber Höhe

0:00Ein Riesenrad braucht zweihundertvierzig Sekunden für eine Runde. Wie oft pro Runde ist die Gondel auf halber Höhe, also auf zweiundzwanzig Metern?
0:09Nach sechzig Sekunden ist die Gondel auf halber Höhe, auf dem Weg nach oben. Der Kosinus von neunzig Grad ist null, also ist h gleich zweiundzwanzig Meter.
0:19Nach hundertachtzig Sekunden ist sie wieder auf zweiundzwanzig Metern, diesmal auf dem Weg nach unten. Eine Runde, zwei Treffpunkte.
0:29In der zweiten Runde kommen zwei weitere Treffpunkte dazu: dreihundert und vierhundertzwanzig Sekunden. Das sind die ersten beiden, um eine Umdrehung verschoben.
0:39Merke: Pro Umdrehung ist die Gondel zweimal auf halber Höhe, einmal hinauf und einmal hinunter. Im Winkel sind das neunzig und zweihundertsiebzig Grad, und jede weitere Runde addiert dreihundertsechzig Grad.

Schnittpunkte zählen: zwei je 360°, einer je 180°

0:00Jede Lösung einer Gleichung sinus phi gleich c ist ein Schnittpunkt der Kurve mit der Waagrechten y gleich c. Wie viele solche Schnittpunkte liegen in einer Periode?
0:10Sinus phi gleich null Komma fünf: Von null bis dreihundertsechzig Grad liegen zwei Schnittpunkte, dreissig und hundertfünfzig Grad. In der nächsten Periode kommen beide wieder.
0:21Kosinus phi gleich null Komma fünf: sechzig und dreihundert Grad. Auch hier zwei Schnittpunkte pro Periode, und beide wiederholen sich nach dreihundertsechzig Grad.
0:31Tangens phi gleich eins: Zwischen zwei gestrichelten Polstellen liegt genau ein Schnittpunkt. Von einem zum nächsten sind es jedes Mal hundertachtzig Grad.
0:41Merke: Sinus und Kosinus haben die Periode dreihundertsechzig Grad und treffen jede Höhe zwischen minus eins und eins zweimal pro Periode. Der Tangens hat die Periode hundertachtzig Grad: Eine Lösung genügt, dazu k mal hundertachtzig Grad.

Zweite Lösung: das Spiegelbild am Einheitskreis

0:00Der Rechner sagt: Arcussinus von null Komma fünf ist dreissig Grad. Doch der Einheitskreis kennt einen zweiten Winkel mit demselben Sinus. Wo liegt er?
0:09Die Waagrechte auf Höhe null Komma fünf trifft den Kreis zweimal. Phi zwei ist das Spiegelbild von phi eins an der senkrechten Achse: hundertachtzig minus dreissig, also hundertfünfzig Grad.
0:21Beim Kosinus ist die Linie senkrecht, denn der Kosinus ist die x-Koordinate. Phi zwei ist das Spiegelbild an der waagrechten Achse: dreihundertsechzig minus sechzig, also dreihundert Grad.
0:33Schiebt man c bis eins, wandern die beiden Punkte aufeinander zu. Bei neunzig Grad fallen sie zusammen: Es bleibt genau eine Lösung.
0:43Merke: Der Rechner gibt nur den Hauptwert. Die zweite Lösung liest man am Kreis ab: beim Sinus hundertachtzig minus phi eins, beim Kosinus dreihundertsechzig minus phi eins. Nur bei c gleich plus oder minus eins fallen beide zusammen.

Trigonometrische Gleichungen: alle Lösungen finden

0:00Sinus x gleich null Komma fünf. Der Rechner gibt dreissig Grad — aber das ist nur eine von unendlich vielen Lösungen.
0:08Am Einheitskreis sieht man, warum es einen zweiten gibt: Der Sinus ist die y-Koordinate, und auf der Höhe null Komma fünf liegen zwei Punkte — einer rechts, einer links.
0:18Und dann wiederholt sich alles. Nach einer vollen Umdrehung steht man wieder am selben Punkt — also kommt zu jedem der beiden Winkel ein Vielfaches von dreihundertsechzig Grad dazu.
0:29Der Ablauf ist damit immer derselbe: Rechner fragen, den zweiten Winkel am Kreis holen, die Periode anhängen — und am Schluss auf das gefragte Intervall einschränken.
0:39Eine Ausnahme: Der Tangens wiederholt sich schon nach hundertachtzig Grad. Dort gibt es je Periode nur eine Lösung, und die Periode ist die halbe.
0:48Zum Mitnehmen: Der Rechner gibt einen Winkel, der Einheitskreis den zweiten, die Periode alle übrigen.