5.5 Trigonometrische Gleichungen
In Kapitel 5.3 hast du aus einem Verhältnis einen Winkel berechnet (\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\)) — und meist nur eine Lösung erhalten. Doch der Einheitskreis aus 5.4 zeigt: Es gibt viele Winkel mit demselben Sinus-Wert. Eine Gleichung wie \(\sin(\varphi) = 0.5\) hat unendlich viele Lösungen. Dieses Kapitel klärt: Wie findet man alle?
- elementare trigonometrische Gleichungen am Einheitskreis visualisieren und mithilfe der Arcusfunktion lösen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die drei Grundgleichungen \(\sin x = c\), \(\cos x = c\), \(\tan x = c\) erkennen und lösen.
- Ich kann die Lösungen am Einheitskreis und an der Funktionskurve veranschaulichen.
- Ich kann zur ersten Taschenrechner-Lösung die zweite Lösung im Intervall \([0°; 360°[\) bestimmen.
- Ich kann Spezialfälle (\(c = 0, \pm 1, \pm 0.5\)) ohne Taschenrechner lösen.
- Ich kann die vollständige Lösungsmenge mit Periodizität (\(+ k \cdot 360°\)) korrekt notieren.
Einstieg — Riesenrad: wann auf halber Höhe?
Ein Riesenrad mit Radius 20 m dreht sich gleichmässig und braucht 4 Minuten für eine volle Umdrehung. Der Mittelpunkt liegt 22 m über dem Boden; die Gondel startet ganz unten auf der Einstiegsplattform (2 m über Boden) und fährt im Gegenuhrzeigersinn nach oben.
Während der Fahrt fragt sich der Fahrgast: «Wann sitze ich genau auf halber Höhe — auf der Höhe des Riesenrad-Mittelpunkts, also 22 m über dem Boden?» Klingt nach einer einzigen Antwort, oder? Schau in der Animation, wie oft die Höhen-Kurve die 22-m-Linie kreuzt.
Die Höhe folgt einer Sinus-Kurve. Die Frage «wann ist die Gondel auf Höhe \(h\)?» ist also: «Wann ist \(\sin(\)irgendetwas\() = \)irgendein Wert?» — eine trigonometrische Gleichung. In diesem Kapitel lernst du, alle Lösungen solcher Gleichungen zu finden.
Die drei Grundgleichungen
Eine elementare trigonometrische Gleichung hat eine der drei Formen:
\[ \sin(\varphi) = c \qquad \cos(\varphi) = c \qquad \tan(\varphi) = c \]mit einer gegebenen reellen Zahl \(c\). Gesucht sind alle Winkel \(\varphi\), die die Gleichung erfüllen.
- \(\sin(\varphi) = c\) und \(\cos(\varphi) = c\): nur lösbar für \(-1 \leq c \leq 1\). Sonst: \(\mathbb{L} = \emptyset\) (leere Lösungsmenge).
- \(\tan(\varphi) = c\): immer lösbar, für jedes \(c \in \mathbb{R}\).
Der Grund: \(\sin\) und \(\cos\) sind die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis (Radius 1) — sie können nie kleiner als \(-1\) oder grösser als \(1\) werden. Der Tangens dagegen kann beliebig gross und klein werden.
Visualisierung am Einheitskreis
Hier siehst du, wie die Lösungen einer elementaren Gleichung am Einheitskreis erscheinen. Wähle Gleichungstyp und Wert \(c\) — die Lösungspunkte werden hervorgehoben.
✏️ Mini-Check — Grundgleichungen
Wie viele Lösungen hat \(\sin x = 0.5\) im Intervall \([0°; 360°[\)?
- eine
- zwei
- unendlich viele
Lösung anzeigen
Am Einheitskreis sind die Lösungen von \(\sin x = c\) die Schnittpunkte mit einer en Geraden.
Lösung anzeigen
Nenne beide Lösungen von \(\sin x = 0.5\) in \([0°; 360°[\).
Lösung anzeigen
Warum hat \(\sin x = 1.2\) keine Lösung?
Lösungsweg anzeigen
Lösungsschemata für die drei Typen
Für jeden der drei Grundtypen gibt es ein festes Vorgehen. Die Hauptlösung liefert der Taschenrechner über die Arcusfunktion; die zweite Lösung folgt aus den Symmetrien des Einheitskreises (5.4); alle weiteren Lösungen entstehen durch Periodizität.
Typ 1: \(\sin(\varphi) = c\)
\(\varphi = \varphi_2 + k \cdot 360°\)
Lösbar nur, wenn \(-1 \leq c \leq 1\). Sonst leer.
Typ 2: \(\cos(\varphi) = c\)
(oder \(360° - \varphi_1\))
Lösbar nur, wenn \(-1 \leq c \leq 1\). Sonst leer.
Typ 3: \(\tan(\varphi) = c\)
Hier nur eine Lösungsfamilie — der Tangens hat Periode \(180°\), nicht \(360°\). Immer lösbar für jedes \(c\). Hinweis: Im Hauptintervall \([0°;\,360°[\) liefert das trotzdem zwei Lösungen — den Taschenrechner-Wert \(\varphi_1\) (in Q I oder IV) und den um \(180°\) verschobenen Wert \(\varphi_1 + 180°\) (in Q III oder II). Beide gehören zur selben Lösungsfamilie, sind aber im Intervall \([0°;\,360°[\) getrennt anzugeben.
Der Taschenrechner gibt nur den Hauptwert zurück:
- \(\arcsin\): liefert \(\varphi \in [-90°;\, 90°]\) — also nur Quadrant I oder IV
- \(\arccos\): liefert \(\varphi \in [0°;\, 180°]\) — also nur Quadrant I oder II
- \(\arctan\): liefert \(\varphi \in (-90°;\, 90°)\) — also nur Quadrant I oder IV
Die zweite Lösung in einem anderen Quadranten musst du immer manuell bestimmen — verlass dich niemals allein auf den Taschenrechner!
Lösungen entlang der Sinus-Kurve
Wenn man \(\sin(\varphi)\) als Funktion gegen \(\varphi\) zeichnet, entsteht eine Wellenkurve. Eine Gleichung \(\sin(\varphi) = c\) entspricht dem Schnitt dieser Kurve mit der waagrechten Linie \(y = c\). Die Schnittpunkte sind die Lösungen — und sie wiederholen sich periodisch.
Kreis und Kurve nebeneinander — wo die zweite Lösung sitzt
Der Taschenrechner liefert immer nur einen Winkel. Warum es im Intervall \([0°;\ 360°[\) fast immer zwei sind, zeigt sich am besten, wenn man Kreis und Kurve gleichzeitig ansieht: Dieselbe Höhe \(c\) trifft den Kreis an zwei Stellen — und die Kurve genau darum ebenfalls zweimal.
✏️ Mini-Check — Zweite Lösung finden
Die zweite Lösung von \(\sin x = c\) (zu \(x_1\)) liegt bei …
- \(360° - x_1\)
- \(180° - x_1\)
- \(x_1 + 90°\)
Lösung anzeigen
Bei \(\cos x = c\) lautet die zweite Lösung \(x_2 =\) \(- \,x_1\).
Lösung anzeigen
Bestimme beide Lösungen von \(\cos x = 0.5\) in \([0°; 360°[\).
Lösung anzeigen
Der Taschenrechner liefert für \(\sin x = -0.4\) den Wert \(x \approx -23.6°\). Wie kommst du auf die Lösungen in \([0°; 360°[\)?
Lösungsweg anzeigen
Spezialfälle — ohne Taschenrechner
Für die Standard-Werte aus 5.4 (\(0, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1\)) lassen sich alle Lösungen exakt angeben — ohne Taschenrechner. Hier eine Übersicht:
| Gleichung | Lösungen in [0°; 360°[ | Allgemein (\(k \in \mathbb{Z}\)) |
|---|---|---|
| \(\sin(\varphi) = 0\) | 0°, 180° | \(\varphi = k \cdot 180°\) |
| \(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\) | 30°, 150° | \(30° + k \cdot 360°\); \(150° + k \cdot 360°\) |
| \(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 45°, 135° | \(45° + k \cdot 360°\); \(135° + k \cdot 360°\) |
| \(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 60°, 120° | \(60° + k \cdot 360°\); \(120° + k \cdot 360°\) |
| \(\sin(\varphi) = 1\) | 90° | \(90° + k \cdot 360°\) |
| \(\sin(\varphi) = -1\) | 270° | \(270° + k \cdot 360°\) |
| \(\cos(\varphi) = 0\) | 90°, 270° | \(90° + k \cdot 180°\) |
| \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\) | 60°, 300° | \(\pm 60° + k \cdot 360°\) |
| \(\cos(\varphi) = -\tfrac{1}{2}\) | 120°, 240° | \(\pm 120° + k \cdot 360°\) |
| \(\cos(\varphi) = 1\) | 0° | \(k \cdot 360°\) |
| \(\cos(\varphi) = -1\) | 180° | \(180° + k \cdot 360°\) |
| \(\tan(\varphi) = 0\) | 0°, 180° | \(\varphi = k \cdot 180°\) |
| \(\tan(\varphi) = 1\) | 45°, 225° | \(45° + k \cdot 180°\) |
| \(\tan(\varphi) = -1\) | 135°, 315° | \(135° + k \cdot 180°\) |
| \(\tan(\varphi) = \sqrt{3}\) | 60°, 240° | \(60° + k \cdot 180°\) |
Löse \(\cos(\varphi) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\).
Schritt 1 — Hauptlösung: \(\arccos\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150°\) (Q II, weil cos negativ).
Schritt 2 — zweite Lösung: \(\varphi_2 = -150° = 210°\) (oder \(360° - 150° = 210°\), Q III).
Schritt 3 — Bereich anwenden: Beide liegen im Bereich \([0°; 360°[\). Lösungsmenge:
\[ \mathbb{L} = \{150°,\ 210°\} \]Lösungsmenge angeben
Wie eine trigonometrische Gleichung beantwortet wird, hängt davon ab, ob ein Intervall vorgegeben ist:
- „Bestimme alle Lösungen": allgemeine Lösung mit \(k \in \mathbb{Z}\) angeben: \[ \varphi = \varphi_1 + k \cdot 360° \quad \text{oder} \quad \varphi = \varphi_2 + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z} \]
- „Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\)": nur die Hauptlösung und die zweite Lösung im Periodenintervall: \[ \mathbb{L} = \{\varphi_1,\ \varphi_2\} \]
- „Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi \leq 720°\)": Periodizität anwenden — Hauptlösungen plus jeweils \(+360°\): \[ \mathbb{L} = \{\varphi_1,\ \varphi_2,\ \varphi_1 + 360°,\ \varphi_2 + 360°\} \]
Lösungen werden konventionell aufsteigend sortiert in der Lösungsmenge angegeben. Beispiel: \(\{30°, 150°\}\), nicht \(\{150°, 30°\}\).
Die Gleichung \(\sin(\varphi) = 0.5\) hat im Hauptintervall \([0°; 360°[\) zwei Lösungen: \(\varphi_1 = 30°\) (Taschenrechner-Wert \(\arcsin(0.5)\)) und \(\varphi_2 = 180° - 30° = 150°\) (Symmetrie der Sinuskurve). Wer nur den Taschenrechner-Wert nimmt, übersieht die zweite. Analog hat \(\cos(\varphi) = c\) im selben Intervall zwei Lösungen \(\varphi\) und \(360° - \varphi\) (jeweils für \(-1 < c < 1\); bei \(c = \pm 1\) gibt es nur eine), \(\tan(\varphi) = t\) hat zwei Lösungen \(\varphi\) und \(\varphi + 180°\).
✏️ Mini-Check — Lösungsmenge mit Periode
Die vollständige Lösungsmenge entsteht aus den Grundlösungen durch …
- Addition von \(k \cdot 360°\)
- Multiplikation mit \(k\)
- Addition von \(k \cdot 90°\)
Lösung anzeigen
Notation: \(x = 30° + k \cdot 360°\) mit \(k \in\) .
Lösung anzeigen
Gib die Lösungsmenge von \(\sin x = 0.5\) vollständig an.
Lösung anzeigen
Riesenrad: Die Gondelhöhe erfüllt \(\sin x = 0.5\) — warum gibt es unendlich viele Zeitpunkte auf halber Höhe?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\).
- \(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
- \(\tan(\varphi) = \sqrt{3}\)
- \(\sin(\varphi) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos(\varphi) = 0\)
- \(\tan(\varphi) = 0\)
- Q I: \(\varphi_1 = 60°\); Q II (Supplement): \(\varphi_2 = 120°\). \(\mathbb{L} = \{60°, 120°\}\).
- Q I: \(\varphi_1 = 60°\); Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 60° = 300°\). \(\mathbb{L} = \{60°, 300°\}\).
- Q I: \(\varphi_1 = 60°\); Periode \(180°\): \(\varphi_2 = 240°\). \(\mathbb{L} = \{60°, 240°\}\).
- \(\arcsin\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -45°\). Im Bereich: Q III: \(\varphi_1 = 180° + 45° = 225°\); Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 45° = 315°\). \(\mathbb{L} = \{225°, 315°\}\).
- \(\mathbb{L} = \{90°, 270°\}\) (cos = 0 auf der \(y\)-Achse).
- \(\mathbb{L} = \{0°, 180°\}\) (sin = 0 auf der \(x\)-Achse, Tangens auch).
Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\). Runde auf eine Dezimale.
- \(\sin(\varphi) = 0.4\)
- \(\cos(\varphi) = -0.7\)
- \(\tan(\varphi) = 2.5\)
- \(\sin(\varphi) = -0.3\)
- \(\varphi_1 = \arcsin(0.4) \approx 23.6°\); \(\varphi_2 = 180° - 23.6° = 156.4°\). \(\mathbb{L} \approx \{23.6°,\ 156.4°\}\).
- \(\varphi_1 = \arccos(-0.7) \approx 134.4°\); \(\varphi_2 = 360° - 134.4° = 225.6°\). \(\mathbb{L} \approx \{134.4°,\ 225.6°\}\).
- \(\varphi_1 = \arctan(2.5) \approx 68.2°\); Periode \(180°\): \(\varphi_2 = 68.2° + 180° = 248.2°\). \(\mathbb{L} \approx \{68.2°,\ 248.2°\}\).
- \(\arcsin(-0.3) \approx -17.5°\) — liegt nicht im Bereich. Q III: \(\varphi_1 = 180° + 17.5° = 197.5°\); Q IV: \(\varphi_2 = 360° - 17.5° = 342.5°\). \(\mathbb{L} \approx \{197.5°,\ 342.5°\}\).
Gib die allgemeine Lösungsmenge an (mit \(k \in \mathbb{Z}\)).
- \(\sin(\varphi) = 1\)
- \(\cos(\varphi) = -1\)
- \(\tan(\varphi) = -1\)
- \(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
- Nur eine Lösung pro Periode (Maximum von sin): \(\varphi = 90° + k \cdot 360°\).
- Nur eine Lösung pro Periode (Minimum von cos): \(\varphi = 180° + k \cdot 360°\).
- Q II: \(\varphi_1 = 135°\); Periode \(180°\): \(\varphi = 135° + k \cdot 180°\).
- Q I: \(\varphi_1 = 30°\); Q II: \(\varphi_2 = 150°\). \(\varphi = 30° + k \cdot 360°\) oder \(\varphi = 150° + k \cdot 360°\).
Hat die Gleichung Lösungen? Wenn ja, gib alle im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\) an (runde wo nötig auf zwei Dezimalstellen).
- \(\sin(\varphi) = 1.5\)
- \(\cos(\varphi) = -1.2\)
- \(\tan(\varphi) = 1000\)
- \(\sin(\varphi) = -1\)
- Keine Lösung: \(\sin(\varphi) \in [-1; 1]\), aber \(1.5 > 1\). \(\mathbb{L} = \emptyset\).
- Keine Lösung: \(\cos(\varphi) \in [-1; 1]\), aber \(-1.2 < -1\). \(\mathbb{L} = \emptyset\).
- Lösung existiert (Tangens ist unbeschränkt): \(\varphi_1 = \arctan(1000) \approx 89.94°\); \(\varphi_2 \approx 269.94°\). \(\mathbb{L} \approx \{89.94°,\ 269.94°\}\).
- Genau eine Lösung im Bereich: \(\mathbb{L} = \{270°\}\).
Bestimme alle Lösungen im erweiterten Bereich \(0° \leq \varphi < 720°\).
- \(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
- \(\cos(\varphi) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\tan(\varphi) = 1\)
- Im ersten Periodenintervall: \(30°, 150°\). Plus \(360°\): \(390°, 510°\). \(\mathbb{L} = \{30°,\ 150°,\ 390°,\ 510°\}\).
- Im ersten Periodenintervall: \(45°, 315°\). Plus \(360°\): \(405°, 675°\). \(\mathbb{L} = \{45°,\ 315°,\ 405°,\ 675°\}\).
- Im ersten Periodenintervall: \(45°, 225°\) (Periode \(180°\)). Plus \(360°\): \(405°, 585°\). \(\mathbb{L} = \{45°,\ 225°,\ 405°,\ 585°\}\). Auch über die Formel \(45° + k \cdot 180°\) für \(k = 0, 1, 2, 3\).
Ein Riesenrad mit Radius 30 m und Mittelpunkt 35 m über Boden dreht gleichmässig in 4 Minuten eine volle Runde. Eine Gondel startet auf der Höhe \(h_0 = 5\) m (unterster Punkt). Die Höhe nach Zeit \(t\) (in Minuten) ist:
\[ h(t) = 35 - 30 \cdot \cos\!\left(\frac{360°}{4} \cdot t\right) = 35 - 30 \cdot \cos(90° \cdot t) \]Zu welchen Zeitpunkten \(t \in [0;\ 8]\) (Minuten) befindet sich die Gondel auf einer Höhe von \(35\) m (Mittelhöhe)?
Ansatz: \(h(t) = 35 \Rightarrow 35 - 30 \cos(90° \cdot t) = 35 \Rightarrow \cos(90° \cdot t) = 0\).
Setze \(\varphi = 90° \cdot t\). Gleichung \(\cos(\varphi) = 0\) hat Lösungen \(\varphi = 90° + k \cdot 180°\).
Rückeinsetzen: \(90° \cdot t = 90° + k \cdot 180° \Rightarrow t = 1 + 2k\) (Minuten).
Im Bereich \(t \in [0; 8]\): \(k = 0\): \(t = 1\); \(k = 1\): \(t = 3\); \(k = 2\): \(t = 5\); \(k = 3\): \(t = 7\).
\(\mathbb{L} = \{1,\ 3,\ 5,\ 7\}\) Minuten — alle 2 Minuten passiert die Gondel die Mittelhöhe (zweimal pro Umdrehung: einmal beim Auf-, einmal beim Abwärts).
Die Wassertiefe \(d(t)\) in einer Hafenbucht schwankt durch die Gezeiten zwischen \(2\,\text{m}\) (Niedrigwasser) und \(8\,\text{m}\) (Hochwasser). Ein Gezeitenzyklus dauert ungefähr \(12\) Stunden. Um \(t = 0\) ist gerade Hochwasser. Die Wassertiefe lässt sich beschreiben als
\[d(t) = 5 + 3 \cdot \cos\!\left(\frac{360°}{12} \cdot t\right) = 5 + 3 \cdot \cos(30° \cdot t)\;\;\text{(t in Stunden).}\]
- Verifiziere die Formel: Was ergibt sich für \(t = 0\) (Hochwasser) und für \(t = 6\) (Niedrigwasser)?
- Ein Segelboot benötigt mindestens \(6\,\text{m}\) Wassertiefe zum Einlaufen. Zu welchen Zeitpunkten \(t \in [0; 12[\,\text{h}\) ist die Tiefe genau \(6\,\text{m}\)?
- Gib die Antwort als alle Lösungen in \([0; 12[\) und allgemein als periodische Lösung in \(\mathbb{R}\) an.
- In welchem Zeitfenster pro Zyklus kann das Boot einlaufen?
- \(d(0) = 5 + 3 \cdot \cos(0°) = 5 + 3 = 8\,\text{m}\) — Hochwasser ✓. \(d(6) = 5 + 3 \cdot \cos(180°) = 5 - 3 = 2\,\text{m}\) — Niedrigwasser ✓.
- Setze \(d(t) = 6\): \(5 + 3 \cdot \cos(30° \cdot t) = 6 \Rightarrow \cos(30° \cdot t) = \tfrac{1}{3}\). Im Hauptintervall \([0°; 360°[\) hat \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{3}\) zwei Lösungen: \(\varphi_1 = \arccos(\tfrac{1}{3}) \approx 70.53°\) und \(\varphi_2 = 360° - 70.53° \approx 289.47°\).
- Mit \(\varphi = 30° \cdot t\): \(t_1 \approx 70.53°/30° \approx 2.35\,\text{h}\) und \(t_2 \approx 289.47°/30° \approx 9.65\,\text{h}\). Allgemein (Periode 12 h): \(t = 2.35 + 12k\) und \(t = 9.65 + 12k\) für \(k \in \mathbb{Z}\).
- Pro Zyklus ist \(d(t) \geq 6\,\text{m}\) für \(t \in [0; 2.35] \cup [9.65; 12]\,\text{h}\) — also insgesamt etwa 4 Stunden 42 Minuten rund um Hochwasser (zentriert bei \(t = 0\) bzw. \(t = 12\)).
Zusammenfassung
- Existenz prüfen: bei sin/cos den Wertemenge kontrollieren.
- Hauptlösung via Arcusfunktion (Taschenrechner oder Spezialwerte-Tabelle).
- Zweite Lösung aus Symmetrie am Einheitskreis (5.4) ableiten.
- Periodizität anwenden: \(360°\) (sin/cos) bzw. \(180°\) (tan).
- Bereich beachten: nur Lösungen im verlangten Intervall angeben.
| Gleichung | Wann lösbar? | Allgemeine Lösung |
|---|---|---|
| \(\sin(\varphi) = c\) | \(-1 \leq c \leq 1\) | \(\varphi_1 + k\cdot 360°\) oder \((180° - \varphi_1) + k\cdot 360°\), wobei \(\varphi_1 = \arcsin(c)\) |
| \(\cos(\varphi) = c\) | \(-1 \leq c \leq 1\) | \(\pm \varphi_1 + k\cdot 360°\), wobei \(\varphi_1 = \arccos(c)\) |
| \(\tan(\varphi) = c\) | immer | \(\varphi_1 + k\cdot 180°\), wobei \(\varphi_1 = \arctan(c)\) |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.