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Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 5.5 Trigonometrische Gleichungen

Handout — Theorie

1. Die drei Grundgleichungen

📘 Form

Eine elementare trigonometrische Gleichung hat eine der drei Formen:

\[ \sin(\varphi) = c, \qquad \cos(\varphi) = c, \qquad \tan(\varphi) = c \]

mit einer reellen Zahl \(c\). Gesucht: alle Winkel \(\varphi\), die die Gleichung erfüllen.

📘 Lösbarkeit

2. Lösungsschemata

📘 Typ 1: \(\sin(\varphi) = c\)
  1. Hauptlösung: \(\varphi_1 = \arcsin(c)\)
  2. Zweite Lösung (Supplement, Q II): \(\varphi_2 = 180° - \varphi_1\)
  3. Periodizität (\(360°\)):
\[ \varphi = \varphi_1 + k \cdot 360° \quad\text{oder}\quad \varphi = (180° - \varphi_1) + k \cdot 360°,\quad k \in \mathbb{Z} \]
📘 Typ 2: \(\cos(\varphi) = c\)
  1. Hauptlösung: \(\varphi_1 = \arccos(c)\)
  2. Zweite Lösung (Symmetrie an \(x\)-Achse): \(\varphi_2 = -\varphi_1\) (oder \(360° - \varphi_1\))
  3. Periodizität (\(360°\)):
\[ \varphi = \pm \varphi_1 + k \cdot 360°,\quad k \in \mathbb{Z} \]
📘 Typ 3: \(\tan(\varphi) = c\)
  1. Hauptlösung: \(\varphi_1 = \arctan(c)\)
  2. Periodizität (\(180°\)!):
\[ \varphi = \varphi_1 + k \cdot 180°,\quad k \in \mathbb{Z} \]

Beim Tangens gibt es nur eine Lösungsfamilie pro \(180°\)-Schritt.

⚠ Wertebereich der Arcusfunktionen

Der Taschenrechner liefert nur den Hauptwert:

Die zweite Lösung in einem anderen Quadranten muss manuell konstruiert werden!

3. Spezialfälle ohne Taschenrechner

GleichungLösungen in [0°; 360°[Allgemein (\(k \in \mathbb{Z}\))
\(\sin(\varphi) = 0\)0°, 180°\(k \cdot 180°\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)30°, 150°\(30° + k \cdot 360°\); \(150° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)45°, 135°\(45° + k \cdot 360°\); \(135° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)60°, 120°\(60° + k \cdot 360°\); \(120° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = 1\)90°\(90° + k \cdot 360°\)
\(\sin(\varphi) = -1\)270°\(270° + k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = 0\)90°, 270°\(90° + k \cdot 180°\)
\(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)60°, 300°\(\pm 60° + k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = -\tfrac{1}{2}\)120°, 240°\(\pm 120° + k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = 1\)0°\(k \cdot 360°\)
\(\cos(\varphi) = -1\)180°\(180° + k \cdot 360°\)
\(\tan(\varphi) = 0\)0°, 180°\(k \cdot 180°\)
\(\tan(\varphi) = 1\)45°, 225°\(45° + k \cdot 180°\)
\(\tan(\varphi) = -1\)135°, 315°\(135° + k \cdot 180°\)
\(\tan(\varphi) = \sqrt{3}\)60°, 240°\(60° + k \cdot 180°\)

4. Vorgehen kompakt

⭐ 5 Schritte
  1. Existenz prüfen: bei sin/cos den Wertebereich kontrollieren.
  2. Hauptlösung via Arcusfunktion (Taschenrechner oder Spezialwerte).
  3. Zweite Lösung aus Symmetrie am Einheitskreis (5.4) ableiten.
  4. Periodizität anwenden: \(360°\) (sin/cos) bzw. \(180°\) (tan).
  5. Bereich beachten: nur Lösungen im verlangten Intervall angeben.

5. Lösungsmenge — Schreibweise

„Bestimme alle Lösungen":

\[ \varphi = \varphi_1 + k \cdot 360° \quad\text{oder}\quad \varphi = \varphi_2 + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z} \]

„Bestimme alle Lösungen im Bereich \(0° \leq \varphi < 360°\)":

\[ \mathbb{L} = \{\varphi_1,\ \varphi_2\} \]

Lösungen werden konventionell aufsteigend sortiert.