Teste dich selbst

Aufgaben

1. \(\sin(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
2. \(\sin(\varphi) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\)
4. \(\cos(\varphi) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
5. \(\tan(\varphi) = 1\)
6. \(\tan(\varphi) = -\sqrt{3}\)
7. \(\sin(\varphi) = 0\)
8. \(\cos(\varphi) = -1\)
9. \(\sin(\varphi) = 0.4\) (Taschenrechner)
10. \(\cos(\varphi) = -0.5\) (Taschenrechner — exakte Lösungsangabe)
11. \(\tan(\varphi) = 2\) (Taschenrechner)
12. Hat \(\sin(\varphi) = 1.4\) Lösungen? Begründe.
13. Gib die allgemeine Lösungsmenge zu \(\tan(\varphi) = 0\) an.
14. Gib die allgemeine Lösungsmenge zu \(\sin(\varphi) = 1\) an.
15. Bestimme alle Lösungen von \(\cos(\varphi) = \tfrac{1}{2}\) im Bereich \(0° \leq \varphi < 720°\).

Lösungen

1. \(\mathbb{L} = \{30°,\ 150°\}\)
2. \(\mathbb{L} = \{60°,\ 120°\}\)
3. \(\mathbb{L} = \{60°,\ 300°\}\)
4. \(\mathbb{L} = \{135°,\ 225°\}\)
5. \(\mathbb{L} = \{45°,\ 225°\}\) (Periode \(180°\))
6. \(\arctan(-\sqrt{3}) = -60°\). Im Bereich: \(\varphi_1 = 120°\) (Q II), \(\varphi_2 = 300°\) (Q IV). \(\mathbb{L} = \{120°,\ 300°\}\)
7. \(\mathbb{L} = \{0°,\ 180°\}\)
8. \(\mathbb{L} = \{180°\}\)
9. \(\arcsin(0.4) \approx 23.6°\); zweite Lösung \(180° - 23.6° = 156.4°\). \(\mathbb{L} \approx \{23.6°,\ 156.4°\}\)
10. \(\arccos(-0.5) = 120°\); zweite Lösung \(360° - 120° = 240°\). \(\mathbb{L} = \{120°,\ 240°\}\)
11. \(\arctan(2) \approx 63.4°\); plus \(180°\): \(243.4°\). \(\mathbb{L} \approx \{63.4°,\ 243.4°\}\)
12. Nein, keine Lösung. \(\sin(\varphi) \in [-1; 1]\) für jedes \(\varphi\). \(1.4 > 1\). \(\mathbb{L} = \{\}\)
13. \(\varphi = k \cdot 180°,\ k \in \mathbb{Z}\)
14. \(\varphi = 90° + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z}\) (nur eine Lösung pro Periode, weil 1 das Maximum von sin ist)
15. Im ersten Periodenintervall: 60°, 300°. Plus \(360°\): 420°, 660°. \(\mathbb{L} = \{60°,\ 300°,\ 420°,\ 660°\}\)