Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Immer zuerst die Struktur bestimmen — dann das Werkzeug wählen.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Kopfrechnen | Binom-Tricks an der Kasse | ●●○ |
| 2 | Handwerk | Der quadratische Rahmen | ●●○ |
| 3 | Fehleranalyse | Vier Fehlumformungen | ●●○ |
| 4 | Geometrie | Flächenbeweis der Binome | ●●● |
| 5 | Technik | Formel strukturgerecht auswerten | ●●● |
| 6 | Zahlentheorie | Nachbarzahlen und Quadrate | ●●● |
Berechne im Kopf — mit der passenden binomischen Formel:
(a) \( 17 \cdot 23 \) (b) \( 96 \cdot 104 \) (c) \( 99^2 \)
Ein quadratischer Spiegel (\( b = 0.8 \) m) sitzt in einem quadratischen Rahmen (Aussenseite \( a = 1.2 \) m).
(a) Berechne die Rahmenfläche \( a^2 - b^2 \) direkt.
(b) Berechne sie über \( (a+b)(a-b) \) — welche Variante ist kopfrechenfreundlicher?
Widerlege jede Umformung mit einer Zahlenprobe und benenne den Struktur-Fehler:
(a) \( \tfrac{x+6}{6} = x \) (b) \( \sqrt{a^2+b^2} = a+b \) (c) \( (2x)^3 = 2x^3 \) (d) \( \tfrac{a+c}{b+c} = \tfrac{a}{b} \)
Ein Quadrat mit Seite \( a + b \) wird durch zwei Schnitte in vier Teilflächen zerlegt.
(a) Skizziere die Zerlegung und beschrifte die vier Teilflächen.
(b) Lies daraus die erste binomische Formel ab.
(c) Warum «fehlt» im falschen \( a^2 + b^2 \) genau \( 2ab \)?
Die Brennweite einer Linse erfüllt \( \tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{g} + \tfrac{1}{b} \) mit \( g = 30 \) cm und \( b = 20 \) cm.
(a) Bestimme die Struktur der rechten Seite und fasse sie zusammen.
(b) Berechne \( f \) — warum wäre «\( f = g + b = 50 \)» ein Struktur-Fehler?
(a) Beweise mit einer binomischen Formel: \( (n-1)(n+1) = n^2 - 1 \).
(b) Berechne damit \( 199 \cdot 201 \).
(c) Zeige umgekehrt: \( n^2 = (n-1)(n+1) + 1 \) — und nutze das für \( 41^2 \) (über \( 40 \cdot 42 \)).
(a) \( (20-3)(20+3) = 391 \). (b) \( (100-4)(100+4) = 9984 \). (c) \( (100-1)^2 = 9801 \).
(a) \( 1.44 - 0.64 = 0.8\ \text{m}^2 \).
(b) \( 2 \cdot 0.4 = 0.8\ \text{m}^2 \) — die faktorisierte Form ist reine Kopfrechnung.
(a) \( x=6 \): \( 2 \neq 6 \) — aus Summe gekürzt. (b) \( 3,4 \): \( 5 \neq 7 \) — Wurzel verteilt. (c) \( x=1 \): \( 8 \neq 2 \) — Faktor nicht mitpotenziert. (d) \( 1,2,2 \): \( \tfrac{3}{4} \neq \tfrac{1}{2} \) — Summanden «gekürzt».
(a) Teilflächen: \( a^2 \), \( b^2 \) und zwei Rechtecke \( ab \).
(b) Gesamtfläche \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
(c) \( a^2 + b^2 \) zählt nur die zwei Quadrate — die beiden Rechtecke \( 2ab \) fehlen.
(a) Summe von Quotienten: \( \tfrac{1}{30} + \tfrac{1}{20} = \tfrac{2+3}{60} = \tfrac{5}{60} = \tfrac{1}{12} \).
(b) \( f = 12 \) cm. «\( g + b \)» addiert die Kehrwerte falsch — die Struktur (Kehrwert einer Summe von Kehrwerten) lässt sich nicht «durchaddieren».
(a) 3. Binom mit \( b = 1 \).
(b) \( 200^2 - 1 = 39\,999 \).
(c) \( 41^2 = 40 \cdot 42 + 1 = 1680 + 1 = 1681 \).