1.1 Grundlagen
Wer einen Term umformen will, muss ihn zuerst lesen: Ist \((a+b)^2\) eine Summe oder eine Potenz? Entscheidend ist der zuletzt ausgeführte Rechenschritt — er bestimmt die Struktur, und die Struktur bestimmt das erlaubte Werkzeug. Dieser Struktur-Blick ist die Grundkompetenz des ganzen Schwerpunktfachs: Er verhindert die klassischen Fehlumformungen und macht Kopfrechen-Tricks wie \(17 \cdot 23 = 400 - 9\) überhaupt erst sichtbar.
- Strukturen von algebraischen Ausdrücken erkennen und beim Berechnen sowie Umformen entsprechend berücksichtigen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Struktur eines Terms bestimmen: Summe, Differenz, Produkt, Quotient oder Potenz — nach dem zuletzt ausgeführten Rechenschritt.
- Ich kenne die Umform-Werkzeuge und ihre Richtungen: Ausmultiplizieren ↔ Ausklammern/Faktorisieren, binomische Formeln in beide Richtungen.
- Ich weiss, welche Operationen nur bei welcher Struktur erlaubt sind — Kürzen nur bei Faktoren, Wurzel-/Quadrat-Regeln nur bei Produkten.
- Ich kann Termwerte strukturgerecht berechnen (Hierarchie der Operationen, Klammern zuerst).
- Ich kann Umformungen mit Zahlenproben prüfen und typische Fehlumformungen entlarven.
- Ich kann Strukturen für Rechenvorteile nutzen (dritte binomische Formel als Kopfrechen-Trick).
Einstieg — ist \((a+b)^2\) dasselbe wie \(a^2 + b^2\)?
Die verbreitetste Fehlumformung der Algebra lautet: \((a+b)^2 = a^2 + b^2\). Sie sieht harmlos aus — aber stimmt sie? Statt zu raten, machen wir die Zahlenprobe:
Das Flächenbild macht die Struktur sichtbar:
- \((a+b)^2\) ist das ganze Quadrat: \(a^2 + \mathbf{2ab} + b^2\) — die Potenz einer Summe.
- \(a^2 + b^2\) sind nur die zwei Teilquadrate — die Summe zweier Potenzen. Verschiedene Strukturen, verschiedene Werte.
✏️ Mini-Check — Einstieg
\((a+b)^2 =\) ?
- \(a^2 + b^2\)
- \(a^2 + 2ab + b^2\)
- \(2a + 2b\)
Lösung anzeigen
Eine einzige genügt, um eine falsche Umformung zu widerlegen.
Lösung anzeigen
Prüfe mit \(a = 3\), \(b = 4\): \((a+b)^2\) und \(a^2 + b^2\).
Lösung anzeigen
Gilt \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)? Prüfe mit dem 3-4-5-Beispiel.
Lösungsweg anzeigen
Definition — die Struktur eines Terms
Wertet man einen Term nach der Hierarchie der Operationen aus, gibt es einen letzten Rechenschritt — er benennt die Struktur:
| Term | letzter Schritt | Struktur |
|---|---|---|
| \(a^2 + 2ab + b^2\) | Addieren | Summe |
| \(3x(x - 2)\) | Multiplizieren | Produkt |
| \((a+b)^2\) | Potenzieren | Potenz |
| \(\dfrac{x}{x+1}\) | Dividieren | Quotient |
| \(a^2 - b^2\) | Subtrahieren | Differenz |
\((a+b)^2\) ist also keine Summe, sondern eine Potenz — obwohl innen ein Plus steht. Die Klammer wird zuerst berechnet; das Potenzieren kommt zuletzt.
Jedes Umform-Werkzeug hat eine Zulassungsbedingung: Kürzen braucht ein Produkt in Zähler und Nenner, Wurzelgesetze brauchen Produkte, binomische Formeln brauchen genau die passende Bauart. Wer zuerst die Struktur bestimmt, greift automatisch zum richtigen Werkzeug.
✏️ Mini-Check — Struktur bestimmen
Welche Struktur hat \(3x(x-2)\)?
- Summe
- Produkt
- Potenz
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Der ausgeführte Rechenschritt bestimmt die Struktur eines Terms.
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Bestimme die Struktur von \(\dfrac{a+b}{2}\) und von \(\left(\dfrac{a}{2}\right)^3\).
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Warum ist \(a^2 - b^2\) eine Differenz, \((a-b)^2\) aber eine Potenz — und warum lohnt der Unterschied?
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Die Umform-Werkzeuge — und ihre Richtungen
| Summe → Produkt | Produkt → Summe |
|---|---|
| Ausklammern: \(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\) | Ausmultiplizieren: \(3x(2x+3) = 6x^2 + 9x\) |
| Faktorisieren (Binome rückwärts): \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) | Binome vorwärts: \((x-3)(x+3) = x^2 - 9\) |
Die drei binomischen Formeln — in beide Richtungen lesbar:
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \]Welche Richtung nützt wann?
- Zum Kürzen faktorisieren: \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3\) — erst als Produkt ist Kürzen erlaubt.
- Zum Zusammenfassen ausmultiplizieren: \((x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1\).
\(\dfrac{x + 6}{6} \neq x\)! Kürzen streicht gemeinsame Faktoren, nie Summanden. Probe mit \(x = 6\): \(\tfrac{12}{6} = 2 \neq 6\). Erst ausklammern macht kürzbar: \(\dfrac{6x + 9}{3} = \dfrac{3(2x + 3)}{3} = 2x + 3\) ✓
✏️ Mini-Check — Werkzeuge
Was macht Faktorisieren aus einer Summe?
- eine grössere Summe
- ein Produkt
- einen Quotienten
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Kürzen streicht gemeinsame — niemals Summanden.
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Faktorisiere \(x^2 - 25\) und \(4x^2 + 6x\).
Lösung anzeigen
Vereinfache \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\) — und nenne den Struktur-Schritt, der das Kürzen erst erlaubt.
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Struktur-Regeln — was wann erlaubt ist
| Operation | bei Produkten ✓ | bei Summen ✗ |
|---|---|---|
| Kürzen | \(\dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}\) | \(\dfrac{a + c}{b + c} \neq \dfrac{a}{b}\) |
| Wurzel ziehen | \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) | \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) |
| Potenzieren | \((a b)^2 = a^2 b^2\) | \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) |
| Logarithmieren | \(\log(a b) = \log a + \log b\) | \(\log(a + b) \neq \log a + \log b\) |
Das Muster ist immer dasselbe: Multiplikative Strukturen verteilen sich, additive nicht. Die vierte Zeile kennst du aus ↩ 1.3, die dritte steckt hinter dem Einstiegs-Widget.
Berechne \(17 \cdot 23\) im Kopf.
Lösung: Struktur erkennen: \(17 \cdot 23 = (20 - 3)(20 + 3)\) — die dritte binomische Formel rückwärts:
\[ (20-3)(20+3) = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391 \]Ebenso: \(99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801\).
✏️ Mini-Check — Struktur-Regeln
Welche Umformung ist korrekt?
- \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
- \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
- \((a+b)^2 = a^2 + b^2\)
Lösung anzeigen
Multiplikative Strukturen verteilen sich — nicht.
Lösung anzeigen
Berechne \(51 \cdot 49\) im Kopf (3. Binom).
Lösung anzeigen
Widerlege \(\dfrac{a+c}{b+c} = \dfrac{a}{b}\) mit einer Zahlenprobe.
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Strukturgerecht berechnen und prüfen
Beim Einsetzen von Zahlen gilt die Hierarchie der Operationen (vgl. ↩ 1.2): Klammern → Potenzen → Punkt → Strich. Negative Zahlen beim Einsetzen immer in Klammern:
\[ 3x^2 - 2x + 1 \ \text{bei}\ x = -2: \qquad 3 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 1 = 12 + 4 + 1 = 17 \]- Struktur bestimmen: Was ist der letzte Rechenschritt — Summe, Produkt, Potenz, Quotient?
- Werkzeug wählen: Kürzen? Erst faktorisieren. Zusammenfassen? Erst ausmultiplizieren.
- Umformen — jede Zeile eine Umformung.
- Zahlenprobe: Einen einfachen Wert in Original und Ergebnis einsetzen — stimmen beide überein?
Vereinfache \(\dfrac{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{6}}\).
Lösung: Struktur: Quotient, dessen Zähler eine Summe ist. Also erst den Zähler zusammenfassen: \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{6}\). Dann teilen:
\[ \frac{5/6}{1/6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{1} = 5 \]Zahlenprobe überflüssig — aber die Struktur-Reihenfolge (innen vor aussen) war entscheidend.
✏️ Mini-Check — Berechnen und Prüfen
Wie setzt man \(x = -3\) in \(x^2\) ein?
- \(-3^2 = -9\)
- \((-3)^2 = 9\)
- beides gleich
Lösung anzeigen
Der letzte Schritt des Fahrplans ist die mit einem einfachen Wert.
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Berechne \(25 \cdot 16 + 25 \cdot 4\) geschickt.
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Jemand hat \(x^2 + x\) zu \(x \cdot (x + 1)\) umgeformt. Prüfe mit \(x = 9\) — und erkläre, warum eine gelungene Probe die Umformung nicht beweist.
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Aufgaben
Wähle einen Term — welche Struktur hat er (letzter Rechenschritt)?
Welche Struktur?
Forme um — und benenne jeweils die Richtung (Summe → Produkt oder umgekehrt):
- \(8x^2 - 12x\) (ausklammern)
- \((2x + 5)^2\) (ausmultiplizieren)
- \(x^2 - 49\) (faktorisieren)
- \(9a^2 - 12ab + 4b^2\) (als Binom schreiben)
- \(4x(2x - 3)\) — Summe → Produkt.
- \(4x^2 + 20x + 25\) — Potenz → Summe (1. Binom).
- \((x - 7)(x + 7)\) — Differenz → Produkt (3. Binom).
- \((3a - 2b)^2\) — Summe → Potenz (2. Binom rückwärts; Kontrolle des Mittelglieds: \(2 \cdot 3a \cdot 2b = 12ab\) ✓).
Berechne \(3x^2 - 2x + 1\) für \(x = -2\).
Berechne für \(a = 3\), \(b = 4\) die Differenz \((a+b)^2 - (a^2 + b^2)\).
Berechne \(x^2 - 9\) für \(x = 13\) — über die faktorisierte Form.
Vereinfache \(\dfrac{6x + 9}{3}\) und berechne den Wert für \(x = 5\).
Berechne \(\dfrac{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{6}}\).
Nutze \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) rückwärts:
- \(17 \cdot 23\)
- \(96 \cdot 104\)
- \((20-3)(20+3) = 400 - 9 = 391\).
- \((100-4)(100+4) = 10000 - 16 = 9984\).
Alle vier Umformungen sind falsch. Widerlege jede mit einer Zahlenprobe und benenne den Struktur-Fehler:
- \(\dfrac{x + 6}{6} = x\)
- \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)
- \((2x)^3 = 2x^3\)
- \(\dfrac{a + c}{b + c} = \dfrac{a}{b}\)
- \(x = 6\): \(\tfrac{12}{6} = 2 \neq 6\) — aus einer Summe gekürzt.
- \(a = 3, b = 4\): \(\sqrt{25} = 5 \neq 7\) — Wurzel auf Summanden verteilt.
- \(x = 1\): \(8 \neq 2\) — der Faktor 2 muss mitpotenziert werden: \((2x)^3 = 8x^3\).
- \(a{=}1, b{=}2, c{=}2\): \(\tfrac{3}{4} \neq \tfrac{1}{2}\) — Summanden «gekürzt».
Ein quadratischer Spiegel (Seite \(b = 0.8\) m) sitzt in einem quadratischen Rahmen (Aussenseite \(a = 1.2\) m). Gesucht ist die sichtbare Rahmenfläche \(a^2 - b^2\).
- Berechne die Rahmenfläche direkt.
- Berechne sie über die faktorisierte Form \((a+b)(a-b)\) — welche Rechnung ist kopfrechenfreundlicher?
- \(1.44 - 0.64 = 0.8\ \text{m}^2\).
- \((1.2 + 0.8)(1.2 - 0.8) = 2 \cdot 0.4 = 0.8\ \text{m}^2\) — die faktorisierte Form ist reine Kopfrechnung: Die Struktur-Umformung ist der Rechenvorteil.
Behauptung: «Das Produkt der Nachbarzahlen einer Zahl \(n\) ist immer \(n^2 - 1\).»
- Prüfe die Behauptung an \(n = 7\) und \(n = 20\).
- Beweise sie allgemein mit einer binomischen Formel.
- Berechne damit \(29 \cdot 31\) und \(199 \cdot 201\) im Kopf.
- \(6 \cdot 8 = 48 = 49 - 1\) ✓; \(19 \cdot 21 = 399 = 400 - 1\) ✓.
- \((n-1)(n+1) = n^2 - 1\) — die dritte binomische Formel, für jedes \(n\).
- \(29 \cdot 31 = 900 - 1 = 899\); \(199 \cdot 201 = 40000 - 1 = 39999\) — der Beweis in Teil 2 macht aus zwei Proben eine Gewissheit: Genau das leistet Algebra gegenüber der Zahlenprobe.
Zusammenfassung
Der zuletzt ausgeführte Rechenschritt bestimmt die Struktur eines Terms (Summe, Produkt, Potenz, Quotient) — und die Struktur bestimmt das Werkzeug: Kürzen nur bei Faktoren, Wurzeln und Potenzen verteilen sich nur auf Produkte, für Summen gibt es keine Verteilregel. Die Umform-Werkzeuge arbeiten in zwei Richtungen (ausmultiplizieren ↔ faktorisieren); die dritte binomische Formel liefert Kopfrechen-Tricks. Und jede Umformung verträgt eine Zahlenprobe: Sie widerlegt Falsches sofort — beweisen kann nur die Algebra.
| Frage | Antwort |
|---|---|
| Welche Struktur? | zuletzt ausgeführter Rechenschritt |
| Kürzen erlaubt? | nur gemeinsame Faktoren — vorher faktorisieren |
| Binomische Formeln | \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\); \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) |
| Verteilen erlaubt? | Wurzel/Potenz/Logarithmus nur über Produkte, nie über Summen |
| Negative einsetzen | immer in Klammern: \((-2)^2 = 4\) |
| Umformung prüfen | Zahlenprobe — widerlegt, beweist aber nicht |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Struktur-Waage: im ganzen Quadrat stecken zwei Rechtecke ab mehr
- 0:00Viele schreiben: a plus b im Quadrat gleich a Quadrat plus b Quadrat. Die Struktur-Waage legt beide Seiten als Flächen nebeneinander. Sind sie gleich gross?
- 0:10Bei a gleich drei und b gleich vier ist a plus b im Quadrat neunundvierzig, a Quadrat plus b Quadrat nur fünfundzwanzig. Das ganze Quadrat enthält zwei grüne Rechtecke a mal b mehr: vierundzwanzig, also zwei mal drei mal vier.
- 0:25Andere Werte, dasselbe Muster. Bei a gleich eins und b gleich fünf: sechsunddreissig gegen sechsundzwanzig. Die Differenz ist zehn, wieder genau zwei a b.
- 0:37Bei b gleich null verschwinden die grünen Rechtecke. Beide Seiten sind sechzehn, die Differenz ist null. Zwei a b ist nur dann null, wenn a oder b null ist.
- 0:47Merke: Die Differenz ist immer zwei a b, das Mittelglied der binomischen Formel. Gleich sind beide Seiten nur, wenn a oder b null ist. Schon die Zahlenprobe mit drei und vier widerlegt die falsche Umformung.
Regel-Prüfstand: ein Treffer beweist keine Regel
- 0:00Im Regel-Prüfstand vergleichst du die linke und die rechte Seite einer Regel. Was bedeutet es, wenn beide Seiten einmal gleich sind?
- 0:09Die falsche Logarithmus-Regel mit a gleich zwei und b gleich drei: links null Komma sechs neun neun, rechts null Komma sieben sieben acht zwei. Ein Gegenbeispiel genügt: Die Regel ist falsch.
- 0:21Jetzt a gleich b gleich zwei: Beide Balken sind gleich lang, null Komma sechs null zwei eins. Das ist Zufall, denn hier ist zwei plus zwei dasselbe wie zwei mal zwei. Die Regel bleibt falsch.
- 0:34Die Regel a mal b im Quadrat gleich a Quadrat mal b Quadrat: Beide Seiten sind sechsunddreissig. Bewiesen ist sie damit nicht. Sie gilt, weil a b mal a b dasselbe ist wie a mal a mal b mal b.
- 0:47Merke: Eine Regel muss für alle zulässigen Werte gelten. Ein Gegenbeispiel widerlegt sie, passende Beispiele beweisen sie nicht. Die richtigen Regeln respektieren die multiplikative Struktur.
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