Der zuletzt ausgeführte Rechenschritt bestimmt die Struktur: \( a^2 + 2ab + b^2 \) ist eine Summe, \( 3x(x-2) \) ein Produkt, \( (a+b)^2 \) eine Potenz, \( x/(x+1) \) ein Quotient. Die Struktur bestimmt das erlaubte Werkzeug.
| Summe → Produkt | Ausklammern (\( 6x^2 + 9x = 3x(2x+3) \)), Binome rückwärts |
| Produkt → Summe | Ausmultiplizieren, Binome vorwärts |
| binomische Formeln | \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2; \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) |
| Kürzen | \( \tfrac{ac}{bc} = \tfrac{a}{b} \), aber \( \tfrac{a+c}{b+c} \neq \tfrac{a}{b} \) |
| Wurzel | \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \), aber \( \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \) |
| Potenz | \( (ab)^2 = a^2 b^2 \), aber \( (a+b)^2 \neq a^2 + b^2 \) |
| Logarithmus | \( \log(ab) = \log a + \log b \), aber nicht für Summen |
Merksatz: Multiplikative Strukturen verteilen sich — additive nicht.
Hierarchie: Klammern → Potenzen → Punkt → Strich. Negative Zahlen beim Einsetzen in Klammern: \( 3(-2)^2 - 2(-2) + 1 = 17 \). Struktur als Rechenvorteil: \( 17 \cdot 23 = (20-3)(20+3) = 391 \); \( 99^2 = (100-1)^2 = 9801 \).
Ein einfacher Wert, in Original und Ergebnis eingesetzt, widerlegt jede falsche Umformung (z.B. \( (3+4)^2 = 49 \neq 25 \)) — beweisen kann nur die Algebra.
Erst die Struktur lesen (letzter Rechenschritt), dann das Werkzeug wählen: Kürzen nur bei Faktoren, Verteilen nur über Produkte — und jede Umformung verträgt eine Zahlenprobe.