Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Erst Potenzgesetze, dann Zahlen — nie umgekehrt!
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Klassiker | Papier bis zum Mond | ●●○ |
| 2 | Finanzen | Zinseszins | ●●○ |
| 3 | Informatik | Kilo oder Kibi? | ●●○ |
| 4 | Biologie | Bakterien-Verdopplung | ●●● |
| 5 | Physik | Grössenordnungen im Universum | ●●● |
| 6 | Knobelei | Potenztürme im Vergleich | ●●● |
Ein Blatt (0.1 mm) wird wiederholt gefaltet; jede Faltung verdoppelt die Dicke.
(a) Wie dick ist der Stapel nach 10 Faltungen?
(b) Wie dick nach 42 Faltungen (in km)? Vergleiche mit der Monddistanz (384 400 km).
(c) Warum scheitert das reale Falten schon bei etwa 7–8 Faltungen?
5000 Fr. werden mit 2 % pro Jahr verzinst: \( K = 5000 \cdot 1.02^n \).
(a) Kontostand nach 10 Jahren?
(b) Zuwachs im 1. Jahr und im 10. Jahr — warum sind sie verschieden?
1 KiB \( = 2^{10} \) Byte, 1 kB \( = 10^3 \) Byte.
(a) Berechne \( 2^{10} \) und die prozentuale Abweichung.
(b) Schätze \( 2^{30} \) mit der Faustregel \( 2^{10} \approx 10^3 \).
(c) Ein «500-GB»-Datenträger (\( 500 \cdot 10^9 \) Byte): Wie viele GiB (\( 2^{30} \) Byte) zeigt das Betriebssystem an?
Eine Kultur startet mit 100 Zellen und verdoppelt sich alle 20 Minuten.
(a) Wie viele Zellen nach 2 Stunden?
(b) Nach wie vielen Verdopplungen sind es über eine Million? (Nutze \( 2^{10} \approx 10^3 \).)
Wasserstoffatom \( \approx 10^{-10} \) m, Mensch \( \approx 2 \cdot 10^0 \) m, beobachtbares Universum \( \approx 8.8 \cdot 10^{26} \) m.
(a) Wie viele Zehnerpotenzen liegen zwischen Atom und Mensch?
(b) Wie viele zwischen Mensch und Universum? Wo steht der Mensch «in der Mitte»?
(a) Berechne \( 2^{3^2} \) und \( (2^3)^2 \).
(b) Welcher Turm ist grösser: \( 3^{2^3} \) oder \( 2^{3^3} \)? Erst schätzen, dann rechnen.
(c) Formuliere die Turm-Regel und grenze sie vom Potenzgesetz \( (a^m)^n \) ab.
(a) \( 0.1 \cdot 2^{10} = 102.4 \) mm.
(b) \( \approx 439\,805 \) km — am Mond vorbei.
(c) Die Fläche halbiert sich pro Faltung; nach 7–8 Faltungen ist das Blatt dicker als breit.
(a) \( \approx 6094.97 \) Fr.
(b) 1. Jahr: 100 Fr.; 10. Jahr: \( 5000 \cdot 1.02^9 \cdot 0.02 \approx 119.51 \) Fr. — der Zins wirkt auf den gewachsenen Betrag.
(a) 1024; +2.4 %.
(b) \( 2^{30} = (2^{10})^3 \approx 10^9 \).
(c) \( 500 \cdot 10^9 / 2^{30} \approx 465.7 \) GiB — daher die «fehlenden» GB.
(a) 2 h = 6 Verdopplungen: \( 100 \cdot 2^6 = 6400 \).
(b) \( 100 \cdot 2^n > 10^6 \Rightarrow 2^n > 10^4 \approx 2^{13.3} \): ab 14 Verdopplungen (\( \approx 4.7 \) h).
(a) \( \lg(2 \cdot 10^0) - \lg(10^{-10}) \approx 10.3 \) Zehnerpotenzen.
(b) \( \approx 26.6 \) — der Mensch steht näher am Atom als am Universum, aber «logarithmisch mittendrin».
(a) \( 512 \) und \( 64 \).
(b) \( 3^8 = 6561 \) vs. \( 2^{27} = 134\,217\,728 \) — der höhere Exponent schlägt die grössere Basis.
(c) Türme ohne Klammer von oben auswerten (Konvention); \( (a^m)^n = a^{mn} \) gilt nur mit Klammer.