1.2 Potenzen

Falt-Labor: mit 42 Faltungen bis zum Mond

1. 0:00Ein Blatt Papier ist null Komma eins Millimeter dünn, und jedes Falten verdoppelt die Dicke. Wie oft musst du falten, bis der Stapel den Mond erreicht?
2. 0:09Nach vierzehn Faltungen ist der Stapel eins Komma sechs vier Meter dick, mehr als ein Meter. Mit dreizehn Faltungen wären es erst null Komma acht zwei Meter.
3. 0:19Acht Faltungen mehr, und der Stapel ist rund vierhundertneunzehn Meter hoch, höher als der Eiffelturm. Acht Mal verdoppeln heisst mal zweihundertsechsundfünfzig.
4. 0:29Nach zweiundvierzig Faltungen sind es fast vierhundertvierzigtausend Kilometer, mehr als der Weg zum Mond. Mit einundvierzig Faltungen wäre es erst die Hälfte davon.
5. 0:40Merke: Jede Faltung verdoppelt die Dicke, auf der Leiter ist das immer derselbe Schritt. Rechnerisch führen schon zweiundvierzig Verdopplungen von einem Blatt Papier bis über den Mond hinaus.

Exponenten-Treppe: Wurzeln sind die halben Schritte

1. 0:00Die Treppe zeigt sechzehn hoch x, für Exponenten von minus zwei bis zwei. Was ergibt ein halber Schritt im Exponenten?
2. 0:09Beim Exponenten null hat die Potenz den Wert eins. Eine ganze Stufe höher liegt sechzehn, eine ganze Stufe tiefer ein Sechzehntel.
3. 0:19Ein halber Schritt ergibt vier, die Wurzel aus sechzehn. Auf der logarithmischen Skala liegt der Punkt genau in der Mitte zwischen eins und sechzehn. Denn zwei halbe Schritte geben einen ganzen: vier mal vier ist sechzehn.
4. 0:31Bei minus einem halben kommt der Kehrwert dazu: eins durch die Wurzel aus sechzehn, also null Komma zwei fünf.
5. 0:41Merke: Die Treppe hat keine Lücken. Ganze Exponenten geben Potenzen und Kehrwerte, halbe Exponenten die Wurzeln. A hoch ein halb ist die Wurzel aus a, für a grösser null.

Zehnerpotenzen-Umwandler: der Exponent zählt die Stellen

1. 0:00Im Umwandler steht eine Zahl als Mantisse mal Zehnerpotenz. Was macht der Exponent k mit dem Dezimalpunkt?
2. 0:09Mit k gleich zwei wandert der Dezimalpunkt zwei Stellen nach rechts: Aus fünf Komma vier zwei wird fünfhundertzweiundvierzig. Die Ziffern bleiben dieselben.
3. 0:19Erhöhst du k um eins, wandert der Punkt eine Stelle weiter. Die neue Stelle füllt eine Null: fünftausendvierhundertzwanzig.
4. 0:28Bei k gleich minus vier wandert der Punkt vier Stellen nach links. Vorne füllen Nullen auf: null Komma null null null fünf vier zwei.
5. 0:38Merke: Der Exponent zählt, um wie viele Stellen der Dezimalpunkt wandert, nach rechts bei positivem, nach links bei negativem k. Die Mantisse bleibt, darum rechnet man sie getrennt: zwei mal drei gibt sechs, drei plus fünf gibt acht.

Potenzen: die Rangordnung, der Potenzturm und das Vorzeichen

1. 0:00Zwei Ausdrücke, die harmlos aussehen. Bei beiden greifen die meisten daneben — und beide Male entscheidet allein die Rangordnung.
2. 0:08Zuerst die Rangordnung, in vier Stufen. Klammern von innen nach aussen. Dann Potenzen und Wurzeln. Dann Punktrechnung. Zuletzt Strichrechnung.
3. 0:17Der Potenzturm wird von oben ausgewertet, nicht von links. Drei hoch zwei ist neun, also zwei hoch neun, also fünfhundertzwölf. Wer von links rechnet, bekommt zwei hoch drei ist acht, hoch zwei ist vierundsechzig — und liegt um das Achtfache daneben.
4. 0:33Und das Vorzeichen. Minus drei zum Quadrat heisst: erst quadrieren, dann das Minus davor. Also minus neun. Nur mit Klammer wird die minus drei selbst quadriert — dann sind es plus neun.
5. 0:44Zum Mitnehmen: Die Potenz bindet stärker als Punkt und Strich — und im Turm stärker als das, was links davon steht. Wer etwas anderes meint, setzt eine Klammer.

Potenzen: exponentiell wächst anders als linear

1. 0:00Ein Blatt Papier, ein Zehntelmillimeter dünn. Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke. Wie oft musst du falten, bis der Stapel den Mond erreicht? Schätze zuerst.
2. 0:09Die meisten schätzen viel zu hoch, weil sie linear denken: jedes Mal ein Blatt dazu. Dann wären es nach vierzig Faltungen vier Millimeter. Verdoppeln heisst aber etwas anderes.
3. 0:20Rechnen wir es aus. Der Mond ist rund vierhundert Millionen Meter weit, das sind drei Komma acht mal zehn hoch zwölf Millimeter. Geteilt durch ein Zehntel: zwei hoch n muss knapp vier Billionen erreichen.
4. 0:33Einundvierzig Faltungen ergeben zweihundertzwanzigtausend Kilometer — zu wenig. Zweiundvierzig ergeben vierhundertvierzigtausend. Also zweiundvierzig Mal falten, und der Stapel überholt den Mond.
5. 0:44Zum Mitnehmen: Lineares Wachstum legt jedes Mal dasselbe dazu, exponentielles vervielfacht jedes Mal. Darum versagt die Schätzung aus dem Bauch — und darum steht der Exponent im Zentrum.

Potenzen: Wachstum Schritt für Schritt durchdrücken

1. 0:00Exponentielles Wachstum heisst: jedes Jahr mal denselben Faktor. Lineares Wachstum heisst: jedes Jahr plus denselben Betrag. Der Rechner kann genau eine solche Operation speichern und auf Tastendruck wiederholen — damit sieht man den Unterschied entstehen, statt ihn zu behaupten.
2. 0:16Zweit-Taste, set op. Dort tippst du die Operation ein, die wiederholt werden soll — mal eins Komma null fünf — und bestätigst mit enter. Ab jetzt liegt sie auf der op-Taste.
3. 0:27Jetzt tausend eintippen und op drücken: tausendfünfzig. Nochmal op: tausendhundertzwei Komma fünf. Nochmal: tausendhundertsiebenundfünfzig Komma sechs zwei fünf. Jeder Druck ist ein Jahr — und der Rechner zählt mit, das n in der Anzeige ist die Anzahl der Drücke.
4. 0:43Dann die Operation neu definieren: plus fünfzig. Wieder bei tausend anfangen und durchdrücken — tausendfünfzig, tausendhundert, tausendhundertfünfzig. Im ersten Jahr sind beide gleich. Ab dem zweiten zieht das Prozentwachstum davon.
5. 0:57Was man dabei sieht, ist der ganze Unterschied. Beim Plus kommt jedes Jahr derselbe Betrag dazu. Beim Mal kommt jedes Jahr fünf Prozent von einer grösseren Zahl dazu — der Zuwachs wächst mit. Darum überholt jede Exponentialfunktion jede lineare, egal wie klein der Faktor ist.
6. 1:14Und die Grenze der Taste: Sie zählt hoch, sie löst nichts. Willst du wissen, nach wie vielen Jahren sich das Kapital verdoppelt, drückst du nicht vierzehnmal — dann rechnest du den Logarithmus. Die op-Taste ist zum Sehen da, nicht zum Lösen.
7. 1:27Plus fünfzig bleibt plus fünfzig. Mal eins null fünf wird jedes Jahr mehr.

Potenzen: die fünf Gesetze, je an einem Beispiel

1. 0:00Fünf Potenzgesetze — und kein einziges muss man auswendig lernen. Sie folgen alle daraus, dass ein Exponent nichts anderes tut als Faktoren zählen.
2. 0:10Erstes Gesetz: gleiche Basis multiplizieren. Drei Faktoren mal vier Faktoren sind zusammen sieben Faktoren. Also werden die Exponenten addiert.
3. 0:19Zweites Gesetz: gleiche Basis dividieren. Von sieben Faktoren fallen drei weg, es bleiben vier. Also werden die Exponenten subtrahiert.
4. 0:29Drittes Gesetz: eine Potenz potenzieren. Zwei Mal drei Faktoren sind sechs Faktoren. Also werden die Exponenten multipliziert.
5. 0:38Viertes und fünftes Gesetz gehören zusammen: Steht ein Produkt oder ein Quotient in der Klammer, verteilt sich der Exponent auf beide Teile. Beim Produkt, weil man die Faktoren umsortieren darf.
6. 0:50Eine Warnung gehört dazu. Die ersten beiden Gesetze verlangen dieselbe Basis. Zwei hoch drei mal fünf hoch vier ist nicht zehn hoch sieben, sondern fünftausend — da lässt sich nichts zusammenfassen.
7. 1:01Die fünf auf einen Blick: Mal heisst plus, geteilt heisst minus, Klammer heisst mal — und ein Produkt oder Quotient in der Klammer bekommt den Exponenten auf beide Teile.

Potenzen: woher die negativen Exponenten kommen

1. 0:00Was soll zwei hoch minus zwei bedeuten? Minus zwei Faktoren kann man nicht hinschreiben. Trotzdem ist die Antwort nicht frei wählbar.
2. 0:09Nehmen wir zwei hoch drei geteilt durch zwei hoch fünf. Nach dem zweiten Gesetz werden die Exponenten subtrahiert: drei minus fünf ist minus zwei.
3. 0:19Dieselbe Rechnung geht auch von Hand: drei Faktoren oben, fünf unten. Drei kürzen sich weg, unten bleiben zwei. Das Ergebnis ist ein Viertel. Beide Wege müssen dasselbe geben.
4. 0:30Damit ist die Bedeutung erzwungen: Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert. Und wenn die Exponenten gleich sind, steht oben und unten dasselbe — das Ergebnis ist eins. Darum ist a hoch null gleich eins.
5. 0:43Der häufigste Fehler: Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ. Zwei hoch minus drei ist ein Achtel, nicht minus acht. Das Minus wandert in den Nenner, nicht vor die Zahl.
6. 0:55Und damit reichen die Zehnerpotenzen endlich in beide Richtungen: zehn hoch drei ist tausend, zehn hoch minus drei ist ein Tausendstel. Der Exponent zählt die Verschiebungen des Punkts — nach rechts oder nach links.

Potenzen: gebrochene Exponenten sind Wurzeln

1. 0:00Ein halber Faktor ergibt keinen Sinn. Trotzdem hat a hoch ein Halb eine eindeutige Bedeutung — dieselbe Überlegung wie beim Minus liefert sie.
2. 0:09Quadrieren wir a hoch ein Halb. Nach dem dritten Gesetz werden die Exponenten multipliziert: ein Halb mal zwei ist eins. Es kommt also a heraus.
3. 0:19Die Probe an einer Zahl: neun hoch ein Halb ist die Wurzel aus neun, also drei. Und drei zum Quadrat ist wieder neun. Es geht auf.
4. 0:28Dasselbe mit einem Drittel: hoch drei genommen kommt a heraus, also ist a hoch ein Drittel die dritte Wurzel. Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelgrad.
5. 0:38Und wenn oben nicht eins steht? Zwei Drittel heisst: erst die dritte Wurzel, dann quadrieren — oder umgekehrt. Acht hoch zwei Drittel ist vier, auf beiden Wegen. Der Nenner ist der Wurzelgrad, der Zähler die Potenz.
6. 0:51Damit ist die Sache rund: Der Nenner wird zum Wurzelgrad, der Zähler bleibt die Potenz. Und der eigentliche Gewinn: Wurzeln sind keine Sonderrechnung mehr — es sind Potenzen, und alle fünf Potenzgesetze gelten für sie weiter. Eine Bedingung gehört aber dazu: Die Basis darf nicht negativ sein.

Potenzen: Wurzelgesetze mit Potenzgesetzen verstehen

1. 0:00Im Lehrmittel stehen zehn Wurzelgesetze. Die Behauptung dieses Clips: Kein einziges davon ist neu. Man braucht sie nicht zu lernen — man braucht einen einzigen Satz.
2. 0:10Das Verfahren ist immer dasselbe. Wurzel in Potenzschreibweise, dann greift ein Potenzgesetz, dann bei Bedarf zurück. Wurzel aus zwei mal Wurzel aus acht: beide sind hoch ein Halb, das vierte Gesetz zieht sie zusammen — Wurzel aus sechzehn, also vier.
3. 0:25Dasselbe beim Quotienten. Wurzel aus fünfzig durch Wurzel aus zwei: hoch ein Halb bei beiden, das fünfte Gesetz zieht sie zusammen. Wurzel aus fünfundzwanzig, also fünf.
4. 0:36Bei der Wurzel aus einer Wurzel ist die Potenzschreibweise nicht nur gleichwertig, sondern einfacher. Ein Halb mal ein Halb ist ein Viertel — man sieht sofort, dass die vierte Wurzel herauskommt. Als Wurzelregel muss man das auswendig wissen.
5. 0:50Und die Wurzel im Nenner ist kein Sonderfall mehr, sondern einfach ein negativer Exponent — dieselbe Regel wie bei ganzen Zahlen.
6. 1:00Der grösste Gewinn ist aber ein anderer. Der häufigste Wurzelfehler ist, die Wurzel in eine Summe hineinzuziehen. Wurzel aus neun plus sechzehn wäre dann drei plus vier, also sieben — tatsächlich ist es Wurzel aus fünfundzwanzig, also fünf. Wer in Potenzen denkt, macht diesen Fehler gar nicht: Für Summen gibt es auch dort kein Gesetz.
7. 1:19Zum Mitnehmen: eine Zeile statt einer Tabelle. Eines wandert allerdings nicht mit — die Voraussetzung. Dass a nicht negativ sein darf, steht in den Wurzelgesetzen dabei; in der Potenzschreibweise muss man selbst daran denken.

Potenzen: warum Malnehmen leicht ist und Addieren nicht

1. 0:00Zwei Terme, die fast gleich aussehen. Der eine lässt sich zu einem einzigen Symbol zusammenziehen, der andere überhaupt nicht. Der Unterschied ist ein einziges Zeichen.
2. 0:10Erste Stufe, reine Punktrechnung. Drei Faktoren mal fünf Faktoren sind acht. Und fünf Mal je drei Faktoren sind fünfzehn. Zwei Gesetze, zwei fertige Ergebnisse.
3. 0:21Zweite Stufe, mehr Faktoren und eine Klammer. Zwei x hoch drei y, das Ganze zum Quadrat: Der Exponent verteilt sich auf jeden Faktor, auch auf die Zwei. Vier x hoch sechs y Quadrat, mal drei x — zwölf x hoch sieben y Quadrat.
4. 0:37Dritte Stufe, jetzt noch ein Bruch dazu. Oben vier x hoch sechs mal x hoch vier, das gibt vier x hoch zehn. Geteilt durch vier x hoch fünf bleibt x hoch fünf. Egal wie lang der Term ist — solange nur Punktoperationen darin vorkommen, bleibt am Schluss ein einziger Term stehen.
5. 0:55Und jetzt dasselbe mit einem Plus. x hoch drei plus x hoch fünf — hier hört es auf. Es gibt kein Gesetz für Summen. Wer trotzdem x hoch acht schreibt, kann es an Zahlen prüfen: Für x gleich zwei sind es acht plus zweiunddreissig, also vierzig. Zwei hoch acht ist zweihundertsechsundfünfzig.
6. 1:12Eines geht bei Strich doch: gleichartige Glieder zusammenfassen. x hoch drei plus x hoch drei ist zwei x hoch drei — die Exponenten bleiben stehen, gezählt werden die Glieder. Wer hier x hoch sechs schreibt, verwechselt Addieren mit Malnehmen.
7. 1:26Im gemischten Term macht man beides der Reihe nach: zuerst die Punktoperationen, denn nur die vereinfachen wirklich. Zwei x hoch drei mal x hoch zwei wird zwei x hoch fünf. Erst danach sieht man, dass zwei gleichartige Glieder dastehen — zusammen sieben x hoch fünf.
8. 1:42Zum Mitnehmen: Punktoperationen ziehen jeden Potenzterm auf ein einziges Glied zusammen, egal wie lang er ist. Strichoperationen können gar nichts — ausser gleichartige Glieder zählen. Dasselbe Muster wie bei den Bruchtermen: Punkt macht Faktoren, Strich macht eine Summe.

Zehnerpotenzen: wissenschaftlich, technisch, Vorsilbe

1. 0:00Ein Widerstand von siebenundvierzigtausend Ohm. Drei Arten, das zu schreiben.
2. 0:09Wissenschaftlich: genau eine Ziffer vor dem Punkt.
3. 0:17Technisch: der Exponent muss durch drei teilbar sein. Dafür stehen vorn ein bis drei Ziffern.
4. 0:23Und die Vorsilbe ist nur ein anderer Name für dieselbe Zehnerpotenz.
5. 0:31Dasselbe nach unten: zweiundzwanzig Mikrofarad.
6. 0:41Zum Mitnehmen: Dieselbe Zahl, drei Schreibweisen. Die wissenschaftliche normiert die Mantisse, die technische wählt den Exponenten aus der Dreierreihe — und nur die trägt eine Vorsilbe.