1.2 Potenzen
Eine Potenz ist eine abgekürzte Multiplikation — und aus dieser einen Idee folgen die fünf Potenzgesetze, die das halbe Schwerpunktfach tragen: von Zehnerpotenzen über rationale Exponenten (Wurzeln!) bis zu Exponentialfunktionen und Logarithmen. Dazu gehört die Hierarchie der Operationen: Wer zuerst potenziert und dann multipliziert, rechnet richtig.
- die Potenzgesetze mit ganzzahligen und rationalen Exponenten verstehen und anwenden auch ohne Hilfsmittel
- die Hierarchie der Operationen erkennen und anwenden
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten deuten — inklusive \(a^0 = 1\) und \(a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}\).
- Ich kann die fünf Potenzgesetze anwenden: gleiche Basis (multiplizieren, dividieren, potenzieren) und gleicher Exponent (multiplizieren, dividieren).
- Ich kann Wurzeln als Potenzen schreiben (\(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\), \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\)) und damit rechnen.
- Ich kann die Hierarchie der Operationen anwenden: Klammern → Potenzen → Punkt → Strich, und weiss, dass \(-3^2 \neq (-3)^2\).
- Ich kann Zahlen in der Exponentenschreibweise \(m \cdot 10^k\) darstellen und damit überschlagen.
- Ich kann exponentielles Wachstum von linearem unterscheiden — und seine Wucht abschätzen.
Einstieg — Papier bis zum Mond falten
Ein Blatt Papier ist \(0.1\) mm dünn. Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke: nach einem Falten \(0.2\) mm, nach zweien \(0.4\) mm — nach \(n\) Faltungen
\[ d = 0.1\ \text{mm} \cdot 2^n \]Wie oft musst du falten, bis der Stapel den Mond erreicht (\(384\,400\) km)? Schätze zuerst!
Die Potenz packt wiederholtes Multiplizieren in eine kompakte Schreibweise:
- \(2^{42}\) heisst «42-mal den Faktor 2» — niemand will das ausschreiben.
- Auf der logarithmischen Leiter wird aus der Explosion eine Gerade: Jede Faltung ein gleicher Schritt.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was bedeutet \(2^{5}\)?
- \(2 \cdot 5\)
- \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)
- \(5 \cdot 5\)
Lösung anzeigen
In \(a^n\) heisst \(a\) die und \(n\) der Exponent.
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Wie dick ist der Papierstapel nach 10 Faltungen (\(0.1\) mm Ausgangsdicke)?
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Warum ist \(2^{10} \approx 10^3\) eine nützliche Faustregel (Informatik: Kibi vs. Kilo)?
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Definition — vom natürlichen zum ganzzahligen Exponenten
\(a\) heisst Basis, \(n\) Exponent, \(a^n\) die Potenz. Spezialfälle: \(a^1 = a\); \(a^2\) «Quadrat», \(a^3\) «Kubik».
Damit die Potenzgesetze lückenlos gelten, definiert man (für \(a \neq 0\)):
\[ a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]Plausibel über die Divisions-Treppe: \(2^3 = 8 \to 2^2 = 4 \to 2^1 = 2 \to 2^0 = 1 \to 2^{-1} = \tfrac{1}{2}\) — jeder Schritt teilt durch die Basis.
\(-3^2 = -(3^2) = -9\), aber \((-3)^2 = 9\): Potenzieren bindet stärker als das Vorzeichen. Ohne Klammer gehört das Minus nicht zur Basis. Ebenso: \(2a^3\) heisst \(2 \cdot (a^3)\), nicht \((2a)^3\).
✏️ Mini-Check — Definition
Was ist \(5^0\)?
- \(0\)
- \(1\)
- \(5\)
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\(a^{-n}\) ist der von \(a^n\): \(a^{-n} = 1/a^n\).
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Berechne \(10^{-3}\) und \(2^{-4}\).
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Berechne \(-2^4\) und \((-2)^4\) — und erkläre den Unterschied.
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Die fünf Potenzgesetze
| Nr. | Gesetz | Merkregel |
|---|---|---|
| 1 | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | gleiche Basis: Exponenten addieren |
| 2 | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | gleiche Basis: Exponenten subtrahieren |
| 3 | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | Potenz der Potenz: Exponenten multiplizieren |
| 4 | \(a^n \cdot b^n = (a b)^n\) | gleicher Exponent: Basen multiplizieren |
| 5 | \(\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\) | gleicher Exponent: Basen dividieren |
Sie gelten für alle ganzzahligen Exponenten (Basis \(a \neq 0\)) und — für rationale Exponenten (Wurzeln) — sofern die Basis \(a > 0\) ist. Kein Gesetz gibt es für \(a^m + a^n\) — Summen von Potenzen lassen sich höchstens ausklammern.
\(a^2 \cdot a^3 = a^5\) (addieren!), aber \((a^2)^3 = a^6\) (multiplizieren!). Und: \(a^2 + a^3\) lässt sich nicht zu \(a^5\) zusammenfassen — Probe mit \(a = 2\): \(4 + 8 = 12 \neq 32\).
✏️ Mini-Check — Potenzgesetze
\(x^4 \cdot x^5 =\) ?
- \(x^{20}\)
- \(x^9\)
- \(x^{45}\)
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Bei \((a^m)^n\) werden die Exponenten .
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Vereinfache \(\dfrac{a^3 b^2 \cdot a^{-1}}{b^{-1}}\).
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Widerlege «\(a^2 + a^2 = a^4\)» mit einer Probe und korrigiere.
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Rationale Exponenten — Wurzeln als Potenzen
Für \(a > 0\) definiert man:
\[ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m} \]Damit gelten die fünf Potenzgesetze unverändert auch für Brüche im Exponenten — Wurzelrechnung wird zur Potenzrechnung. Kontrolle der Definition mit Gesetz 3: \(\left(a^{1/n}\right)^n = a^{n/n} = a\) ✓ — genau die Wurzel-Eigenschaft.
Strategie: Erst die Wurzel (macht die Zahl klein), dann die Potenz — \(\left(\sqrt[3]{8}\right)^2\) ist leichter als \(\sqrt[3]{64}\).
✏️ Mini-Check — rationale Exponenten
\(a^{1/2}\) ist dasselbe wie…
- \(\tfrac{a}{2}\)
- \(\sqrt{a}\)
- \(\tfrac{1}{a^2}\)
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In \(a^{m/n}\) ist \(n\) der Wurzelexponent und \(m\) die .
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Berechne \(4^{3/2}\) ohne Taschenrechner.
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Schreibe \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}\) als eine einzige Potenz.
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Hierarchie der Operationen und Zehnerpotenzen
- Klammern (von innen nach aussen)
- Potenzen (und Wurzeln)
- Punktrechnung (\(\cdot\), \(:\))
- Strichrechnung (\(+\), \(-\))
Potenztürme werden von oben ausgewertet: \(2^{3^2} = 2^{(3^2)} = 2^9 = 512\) — nicht \((2^3)^2 = 64\). Und das Vorzeichen kommt nach der Potenz: \(-3^2 = -9\).
Jede Zahl lässt sich als \(m \cdot 10^k\) schreiben mit Mantisse \(1 \leq m < 10\):
\[ 5\,420\,000 = 5.42 \cdot 10^6, \qquad 0.000\,000\,000\,125 = 1.25 \cdot 10^{-10} \]Beim Rechnen trennen sich Mantissen und Zehnerpotenzen — die Potenzgesetze erledigen die Grössenordnung: \(\left(2 \cdot 10^3\right) \cdot \left(3 \cdot 10^5\right) = 6 \cdot 10^8\).
Reihenfolge: Klammer \(\to\) Potenzen \(\to\) Mal \(\to\) Plus/Minus.
✏️ Mini-Check — Hierarchie
\(2 \cdot 3^2 =\) ?
- \(36\)
- \(18\)
- \(12\)
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Potenztürme wie \(2^{3^2}\) wertet man von aus.
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Schreibe \(0.00047\) in Exponentenschreibweise.
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Überschlage \(\left(3.1 \cdot 10^4\right) \cdot \left(2.9 \cdot 10^3\right)\) im Kopf.
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Aufgaben
Wähle einen Term — welches Potenzgesetz wendet man an?
Welche Regel für die Exponenten?
Vereinfache ohne Taschenrechner (Ergebnis als eine Potenz bzw. Zahl):
- \(x^4 \cdot x^{-7} \cdot x^5\)
- \(\dfrac{(a^3)^2 \cdot b}{a^4 \cdot b^{-2}}\)
- \(\dfrac{15^4}{5^4}\)
- \(\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}\)
- \(x^{4-7+5} = x^2\).
- \(\dfrac{a^6 b}{a^4 b^{-2}} = a^2 b^3\).
- \(\left(\tfrac{15}{5}\right)^4 = 3^4 = 81\) — Gesetz 5 spart alles Ausrechnen.
- \(x^{1/2 + 1/4} = x^{3/4} = \sqrt[4]{x^3}\).
Berechne \(2^3 \cdot 2^4\).
Berechne \(16^{-1/2}\) (als Dezimalzahl).
Berechne \(27^{2/3}\).
Berechne \(5 + 3 \cdot 2^4 - (4 - 6)^2\).
Berechne \(-3^2 + (-3)^2\).
Ein Sparkonto mit \(5000\) Fr. wird mit \(2\ \%\) pro Jahr verzinst — der Kontostand nach \(n\) Jahren ist \(K = 5000 \cdot 1.02^n\).
- Berechne den Kontostand nach 10 Jahren (auf Rappen, zwei Dezimalen).
- Warum ist der Zuwachs im 10. Jahr grösser als im 1. Jahr?
- \(K = 5000 \cdot 1.02^{10} \approx 6094.97\) Fr.
- Der Zins wird jedes Jahr auf den gewachsenen Betrag gerechnet — exponentielles statt lineares Wachstum (Zinseszins-Effekt).
Zurück zum Einstieg: Ausgangsdicke \(0.1\) mm, Mond-Distanz \(384\,400\) km.
- Wie dick ist der Stapel nach 42 Faltungen (in km, gerundet)?
- Reichen 41 Faltungen?
- \(0.1\ \text{mm} \cdot 2^{42} \approx 4.4 \cdot 10^{11}\ \text{mm} \approx 439\,805\ \text{km}\) — am Mond vorbei.
- Nein: \(2^{41}\) gibt die Hälfte, rund \(219\,902\) km — eine Faltung entscheidet über \(220\,000\) km!
In der Informatik bedeutet «1 KiB» \(2^{10}\) Byte, während «1 kB» für \(10^3\) Byte steht.
- Berechne \(2^{10}\).
- Um wie viel Prozent ist das Kibibyte grösser als das Kilobyte (eine Dezimale)?
- Schätze mit der Faustregel \(2^{10} \approx 10^3\): Wie viele Byte sind \(2^{30}\) (1 GiB) ungefähr?
- \(2^{10} = 1024\).
- \(\tfrac{24}{1000} = 2.4\ \%\).
- \(2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9\) — rund eine Milliarde Byte (exakt \(1.07 \cdot 10^9\)).
Bei Potenztürmen entscheidet die Reihenfolge:
- Berechne \(2^{3^2}\) (von oben!) und \((2^3)^2\).
- Formuliere den Unterschied als Regel: Wo greift Potenzgesetz 3, wo nicht?
- Welcher Turm ist grösser: \(3^{2^3}\) oder \(2^{3^3}\)? (Erst überlegen, dann rechnen.)
- \(2^{3^2} = 2^9 = 512\); \((2^3)^2 = 8^2 = 64\).
- Gesetz 3 gilt nur mit Klammer: \((a^m)^n = a^{mn}\). Ohne Klammer wird der Turm von oben abgearbeitet — das ist Konvention, kein Potenzgesetz.
- \(3^{2^3} = 3^8 = 6561\) und \(2^{3^3} = 2^{27} = 134\,217\,728\) — der höhere Exponent gewinnt deutlich gegen die grössere Basis.
Zusammenfassung
Die Potenz \(a^n\) kürzt Multiplikation ab; \(a^0 = 1\) und \(a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}\) setzen die Treppe nach unten fort, \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) füllt die Lücken — Wurzeln sind Potenzen. Die fünf Gesetze: gleiche Basis → Exponenten addieren/subtrahieren, Potenz der Potenz → multiplizieren, gleicher Exponent → Basen verrechnen. Kein Gesetz für Summen! Hierarchie: Klammern → Potenzen → Punkt → Strich; Türme von oben, und \(-3^2 = -9\).
| Regel | Formel |
|---|---|
| Definitionen | \(a^0 = 1; \quad a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}; \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) |
| gleiche Basis | \(a^m a^n = a^{m+n}; \quad \tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) |
| Potenz der Potenz | \((a^m)^n = a^{mn}\) |
| gleicher Exponent | \(a^n b^n = (ab)^n; \quad \tfrac{a^n}{b^n} = \left(\tfrac{a}{b}\right)^n\) |
| Hierarchie | Klammern → Potenzen → Punkt → Strich; Türme von oben |
| Zehnerpotenzen | \(m \cdot 10^k\) mit \(1 \leq m < 10\) |
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