\( a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \) (\(n\) Faktoren) — Basis \(a\), Exponent \(n\). Fortsetzung nach unten (für \( a \neq 0 \)): \( a^0 = 1 \), \( a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} \) (Divisions-Treppe: jeder Schritt teilt durch die Basis). Rationale Exponenten (für \( a > 0 \)): \( a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \), \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \) — Wurzeln sind Potenzen.
| gleiche Basis, Mal | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) — Exponenten addieren |
| gleiche Basis, Geteilt | \( a^m : a^n = a^{m-n} \) — Exponenten subtrahieren |
| Potenz der Potenz | \( (a^m)^n = a^{mn} \) — Exponenten multiplizieren |
| gleicher Exponent, Mal | \( a^n b^n = (ab)^n \) |
| gleicher Exponent, Geteilt | \( a^n : b^n = (a : b)^n \) |
Kein Gesetz für Summen: \( a^2 + a^3 \neq a^5 \) (Probe \( a = 2 \): \( 12 \neq 32 \)) — Summen höchstens ausklammern.
Klammern → Potenzen → Punkt → Strich. Potenztürme von oben: \( 2^{3^2} = 2^9 = 512 \neq (2^3)^2 = 64 \). Vorzeichen nach der Potenz: \( -3^2 = -9 \), aber \( (-3)^2 = 9 \).
Jede Zahl als \( m \cdot 10^k \) mit Mantisse \( 1 \leq m < 10 \): \( 5\,420\,000 = 5.42 \cdot 10^6 \). Beim Rechnen: Mantissen und Zehnerpotenzen getrennt verarbeiten — die Potenzgesetze erledigen die Grössenordnung.
Mal bei gleicher Basis: addieren. Klammer-Potenz: multiplizieren. Bruchexponent: Wurzel. Kein Gesetz für Summen — und Türme von oben.