12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Berechne \( 2^3, 2^2, 2^1, 2^0, 2^{-1}, 2^{-2} \) — was passiert bei jedem Schritt?
Berechne \( -3^2 \), \( (-3)^2 \) und \( (-2)^3 \).
Vereinfache: (a) \( x^4 \cdot x^{-7} \cdot x^5 \) (b) \( \dfrac{(a^3)^2 b}{a^4 b^{-2}} \)
Berechne ohne Rechner: \( \dfrac{15^4}{5^4} \) und \( 5^3 \cdot 2^3 \).
Prüfe mit einer Probe: Gilt \( a^2 + a^2 = a^4 \)? Korrigiere gegebenenfalls.
Berechne: (a) \( 8^{2/3} \) (b) \( 16^{-1/2} \) (c) \( 4^{3/2} \)
Schreibe \( \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x} \) als eine Potenz und als eine Wurzel.
Für welchen Exponenten \(x\) gilt \( 27^x = 9 \)? (Beide Seiten als Dreierpotenzen!)
Berechne \( 5 + 3 \cdot 2^4 - (4 - 6)^2 \) Schritt für Schritt.
Berechne \( 2^{3^2} \) und \( (2^3)^2 \) — und erkläre den Unterschied.
Schreibe \( 0.00047 \) und \( 5\,420\,000 \) in Exponentenschreibweise und überschlage ihr Produkt.
addiert · multipliziert · kein.
\( 8, 4, 2, 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4} \) — jeder Schritt teilt durch die Basis 2; darum \( 2^0 = 1 \).
\( -9 \) (Potenz vor Vorzeichen), \( +9 \), \( -8 \) (ungerader Exponent erhält das Minus).
(a) \( x^{4-7+5} = x^2 \). (b) \( a^{6-4} b^{1+2} = a^2 b^3 \).
\( 3^4 = 81 \) und \( 10^3 = 1000 \) — Gesetz 5 bzw. 4.
\( a = 3 \): \( 9 + 9 = 18 \neq 81 \). Richtig: \( a^2 + a^2 = 2a^2 \).
(a) \( (\sqrt[3]{8})^2 = 4 \). (b) \( \tfrac{1}{\sqrt{16}} = 0.25 \). (c) \( (\sqrt{4})^3 = 8 \).
\( x^{1/2+1/4} = x^{3/4} = \sqrt[4]{x^3} \).
\( (3^3)^x = 3^2 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \tfrac{2}{3} \).
\( 5 + 3 \cdot 16 - (-2)^2 = 5 + 48 - 4 = 49 \).
\( 2^9 = 512 \) vs. \( 8^2 = 64 \) — ohne Klammer von oben (Konvention); Gesetz 3 gilt nur mit Klammer.
\( 4.7 \cdot 10^{-4} \) und \( 5.42 \cdot 10^6 \); Produkt \( \approx 25 \cdot 10^2 = 2.5 \cdot 10^3 \).