Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Vor jeder Rechnung: Plausibilitäts-Fenster mit ganzen Potenzen notieren!
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Finanzen | Verdopplungszeit | ●●○ |
| 2 | Chemie | pH-Werte | ●●○ |
| 3 | Seismologie | Richter-Skala | ●●○ |
| 4 | Biologie | Bakterien rückwärts | ●●● |
| 5 | Akustik | Dezibel | ●●● |
| 6 | Zahlentheorie | Stellen von Riesenzahlen | ●●● |
Ein Kapital wächst mit 3 % pro Jahr.
(a) Stelle die Gleichung für die Verdopplung auf.
(b) Löse mit dem Logarithmus.
(c) Prüfe die 70er-Faustregel (70 : Prozentsatz).
Definition: \( \text{pH} = -\lg[\text{H}^+] \).
(a) Berechne den pH-Wert für \( [\text{H}^+] = 3.2 \cdot 10^{-5} \) mol/l.
(b) Welche Konzentration gehört zu pH 7 (neutral)?
(c) Um welchen Faktor unterscheiden sich pH 4 und pH 6?
Die Magnitude ist der Zehnerlogarithmus des (normierten) Ausschlags.
(a) Beben A: Magnitude 6, Beben B: Magnitude 4 — Faktor im Ausschlag?
(b) Ein Beben hat den 500-fachen Ausschlag eines Magnitude-3-Bebens. Welche Magnitude?
Eine Kultur (100 Zellen) verdoppelt sich alle 20 Minuten: \( N = 100 \cdot 2^{t/20} \) (\(t\) in Minuten).
(a) Nach welcher Zeit sind es 6400 Zellen?
(b) Nach welcher Zeit über eine Million? (Logarithmieren!)
Pegel: \( L = 10 \cdot \lg(I / I_0) \) dB (Intensität \(I\), Hörschwelle \(I_0\)).
(a) Ein Presslufthammer hat \( I = 10^{-2} \) W/m², \( I_0 = 10^{-12} \) W/m². Berechne den Pegel.
(b) Um wie viele dB steigt der Pegel bei Verdopplung der Intensität (\( \lg 2 \approx 0.301 \))?
Stellenzahl von \(N\): \( \lfloor \lg N \rfloor + 1 \); \( \lg 2 \approx 0.30103 \).
(a) Wie viele Stellen hat \( 2^{100} \)?
(b) Wie viele Stellen hat \( 2^{1000} \)?
(c) Begründe die Stellenformel.
(a) \( 1.03^n = 2 \).
(b) \( n = \lg 2 / \lg 1.03 \approx 23.45 \) Jahre.
(c) \( 70/3 \approx 23.3 \) ✓ — die Regel steckt im Logarithmus.
(a) \( \approx 4.49 \).
(b) \( 10^{-7} \) mol/l.
(c) Faktor \( 10^2 = 100 \).
(a) Zwei Stufen: Faktor 100.
(b) \( 3 + \lg 500 \approx 3 + 2.7 = 5.7 \).
(a) \( 2^{t/20} = 64 \Rightarrow t/20 = 6 \Rightarrow t = 120 \) min.
(b) \( 2^{t/20} = 10^4 \Rightarrow t = 20 \cdot \tfrac{4}{\lg 2} \approx 266 \) min (\( \approx 4.4 \) h).
(a) \( L = 10 \lg(10^{10}) = 100 \) dB.
(b) \( 10 \lg 2 \approx 3 \) dB — «+3 dB = doppelte Intensität».
(a) \( \lfloor 30.103 \rfloor + 1 = 31 \).
(b) \( \lfloor 301.03 \rfloor + 1 = 302 \).
(c) \(k\)-stellig heisst \( 10^{k-1} \leq N < 10^k \), also \( k - 1 \leq \lg N < k \).