1.3 Logarithmen

Zehnerpotenz-Leiter: lg ist die Position

1. 0:00Die Zehnerpotenz-Leiter stellt die Logarithmus-Frage: Zehn hoch was gibt b? Wann ist die Antwort eine ganze Zahl, und was gilt zwischen den Stufen?
2. 0:09Der Punkt b steht auf der Stufe tausend. Zehn hoch drei ist tausend, also ist lg von tausend gleich drei. Auf jeder Stufe ist der Logarithmus ganzzahlig.
3. 0:19Jetzt steht b bei fünfhunderteins, also fast bei fünfhundert, zwischen den Stufen hundert und tausend. Darum liegt der Logarithmus zwischen zwei und drei, bei etwa zwei Komma sieben.
4. 0:30Merke: lg von b ist die Position von b auf der Potenz-Leiter. Auf den Zehnerpotenzen ist er ganzzahlig, dazwischen liegt er zwischen den Nachbarstufen.

Rechenschieber: Längen addieren, Zahlen multiplizieren

1. 0:00Auf dem Rechenschieber stehen die Zahlen nicht in gleichen Abständen. Welche Grösse ist dort gleichmässig aufgetragen, und warum kann man damit multiplizieren?
2. 0:09Gleichmässig aufgetragen ist der Logarithmus: Die Zahl z steht an der Stelle lg z. Darum ist der Weg von eins bis zwei rund dreissig Prozent der Skala, von neun bis zehn keine fünf Prozent.
3. 0:21Jetzt u gleich zwei und v gleich vier. Die Zunge legt die Strecke lg vier an die Strecke lg zwei. Die Gesamtlänge ist lg acht: Unter der Vier steht die Acht.
4. 0:32Merke: Auf der Skala steht die Zahl z an der Stelle lg z. Legt man lg u und lg v aneinander, ergibt sich lg von u mal v. Gesetz eins ist die Bauanleitung des Rechenschiebers.

Basiswechsel-Labor: grössere Basis, weniger Schritte

1. 0:00Im Basiswechsel-Labor steht b auf vierundsechzig, und jeder Bogen bedeutet mal a. Wie viele Bögen braucht es von eins bis vierundsechzig, und was ändert sich, wenn die Basis wächst?
2. 0:11Mit Basis zwei braucht es sechs Bögen, denn zwei hoch sechs ist vierundsechzig. Also ist der Logarithmus zur Basis zwei von vierundsechzig gleich sechs.
3. 0:21Mit Basis vier ist jeder Bogen doppelt so lang. Drei davon reichen, denn vier hoch drei ist vierundsechzig.
4. 0:28Mit Basis acht genügen zwei Bögen. Die Strecke bis vierundsechzig bleibt gleich, nur die Bögen werden länger. Darum braucht es weniger davon.
5. 0:38Merke: Sind a und b grösser als eins, gilt: Je grösser die Basis, desto weniger Schritte bis b, desto kleiner der Logarithmus. Der Basiswechsel, lg b durch lg a, rechnet jeden Wert aus.

Logarithmen: der gesuchte Exponent

1. 0:00Der Logarithmus wirkt geheimnisvoll und ist es nicht. Er beantwortet eine einzige Frage: Mit welchem Exponenten komme ich von der Basis zur Zahl?
2. 0:09Log zur Basis zwei von acht ist drei — weil zwei hoch drei acht ergibt. Das ist die ganze Definition, und sie lässt sich in beide Richtungen lesen.
3. 0:19Das Übersetzen zwischen den beiden Formen ist die halbe Arbeit. Log zehn von tausend ist drei, log fünf von fünfundzwanzig ist zwei, log drei von einem Neuntel ist minus zwei.
4. 0:30Zwei Werte gelten für jede Basis: Log von eins ist null, weil jede Zahl hoch null eins ergibt. Und log von der Basis selbst ist eins.
5. 0:39Und die Grenze: Aus einer positiven Basis kommt nie null und nie etwas Negatives heraus. Darum ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.
6. 0:50Zum Mitnehmen: Der Logarithmus ist der gesuchte Exponent. Und er ist die Umkehrung des Potenzierens — so wie die Wurzel die Umkehrung des Quadrierens ist.

Logarithmen: die drei Gesetze

1. 0:00Drei Gesetze, und keines ist neu. Sie sind die Potenzgesetze — nur eine Ebene tiefer gelesen.
2. 0:08Das erste: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen. Der Grund steht im ersten Potenzgesetz — beim Malnehmen werden Exponenten addiert.
3. 0:17Das zweite entsprechend: Beim Teilen wird subtrahiert. Log zwei von acht durch vier ist drei minus zwei, also eins.
4. 0:25Das dritte ist das nützlichste: Ein Exponent im Argument wandert als Faktor nach vorn. Damit holt man die Unbekannte aus dem Exponenten heraus.
5. 0:33Dazu kommt der Basiswechsel: Jeder Logarithmus lässt sich durch zwei Logarithmen einer anderen Basis ausdrücken. Darum genügen dem Rechner zwei Tasten.
6. 0:42Zum Mitnehmen: Mal wird Plus, Geteilt wird Minus, Hoch wird Mal. Und für Summen gibt es auch hier kein Gesetz.

Logarithmen: jede Basis direkt eintippen

1. 0:00Auf der Tastatur stehen genau zwei Logarithmen: ln zur Basis e und log zur Basis zehn. Eine Taste für Logarithmus zur Basis zwei gibt es nicht. Der übliche Weg ist der Basiswechsel — und daneben gibt es einen zweiten.
2. 0:14Der Basiswechsel: Logarithmus zur Basis zwei von acht ist log acht durch log zwei. Am Rechner zwei Klammern, ein Bruchstrich, Ergebnis drei. Das ist der Weg, den du auch auf Papier hinschreibst.
3. 0:26Die log-Taste ist mehrfach belegt. Einmal gedrückt gibt sie ln, zweimal log zur Basis zehn, dreimal logBASE — den Logarithmus zu beliebiger Basis. Mit der Pfeiltaste nach rechts steigst du aus dem Durchschalten wieder aus.
4. 0:39Und hier die Falle. In der Schreibweise steht die Basis zuerst: log zwei von acht. Im Rechner steht sie zuletzt — logBASE, Klammer auf, acht, Komma, zwei. Vertauscht bekommst du log acht von zwei, also null Komma drei drei: eine plausible Zahl, und die falsche.
5. 0:56Und dort, wo es sich wirklich lohnt: Verdopplungszeit bei fünf Prozent Wachstum im Jahr. Eins Komma null fünf hoch t gleich zwei, also t gleich Logarithmus zur Basis eins Komma null fünf von zwei. Vierzehn Komma zwei Jahre — mit dem Basiswechsel dieselbe Zahl, nur zwei Eingaben mehr.
6. 1:13Beide Wege geben dieselbe Zahl. Nur: Die Taste rechnet, die Formel begründet. Beim Auflösen einer Exponentialgleichung brauchst du das Logarithmengesetz und nicht den Tastendruck — und im klassischen Modus heisst die Funktion logBASE Klammer Wert, Komma, Basis.
7. 1:29Log dreimal drücken gibt jede Basis. Wert zuerst, Basis danach.