1.3 Logarithmen
Der Logarithmus beantwortet die Umkehrfrage der Potenz: «\(a\) hoch was gibt \(b\)?» Aus \(a^x = b\) wird \(x = \log_a(b)\) — damit werden Exponenten greifbar. Die Logarithmengesetze verwandeln Produkte in Summen und Potenzen in Faktoren, der Basiswechsel macht jede Basis rechenbar. Vom pH-Wert bis zur Verdopplungszeit: Wo Exponenten stecken, rechnet der Logarithmus.
- eine Exponentialgleichung in die entsprechende Logarithmusgleichung umformen und umgekehrt: \(a^x = b \Longleftrightarrow x = \log_a(b)\) mit \(a, b \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1\) auch ohne Hilfsmittel
- die Logarithmengesetze bei Berechnungen sowie bei Umformungen anwenden auch ohne Hilfsmittel
- Terme mit Logarithmen zu verschiedenen Basen umformen und berechnen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann zwischen \(a^x = b\) und \(x = \log_a(b)\) in beide Richtungen übersetzen und die Bedingungen \(a, b > 0\), \(a \neq 1\) begründen.
- Ich kenne die Spezialbasen \(\lg = \log_{10}\), \(\ln = \log_e\) und \(\log_2\) und die Sofortwerte \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\), \(\log_a a^k = k\).
- Ich kann die drei Logarithmengesetze anwenden: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor.
- Ich kann Logarithmusterme zerlegen und zusammenfassen.
- Ich kann mit dem Basiswechsel \(\log_a b = \tfrac{\lg b}{\lg a}\) Logarithmen zu beliebigen Basen berechnen.
- Ich kann Anwendungen lösen: Exponentialgleichungen, Verdopplungszeiten, pH-Werte, Stellenzahlen.
Einstieg — «10 hoch was gibt …?»
Potenzieren kennt zwei Umkehrfragen. Bei \(10^3 = 1000\) kann man nach der Basis fragen (Wurzel: \(\sqrt[3]{1000} = 10\)) — oder nach dem Exponenten: «10 hoch was gibt 1000?» Diese zweite Frage beantwortet der Logarithmus:
\[ \log_{10}(1000) = 3 \]Der Logarithmus misst Exponenten:
- \(\lg(10^k) = k\) — ganze Leiterstufen bei Zehnerpotenzen.
- Dazwischen interpoliert er: \(\lg(500) \approx 2.7\) heisst \(500 = 10^{2.7}\).
✏️ Mini-Check — Einstieg
Welche Frage beantwortet \(\log_2(32)\)?
- Was ist \(2 \cdot 32\)?
- 2 hoch was gibt 32?
- Was ist \(\sqrt{32}\)?
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Der Logarithmus ist die Umkehrfrage nach dem , die Wurzel die nach der Basis.
Lösung anzeigen
Bestimme \(\lg(100)\), \(\lg(1)\) und \(\lg(0.001)\).
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Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\lg(7000)\) — ohne Taschenrechner?
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Definition — Logarithmus und Spezialbasen
Gesprochen: «\(x\) ist der Logarithmus von \(b\) zur Basis \(a\)» — der Exponent, mit dem \(a\) potenziert werden muss, um \(b\) zu erhalten. Direkt aus der Definition:
\[ \log_a(1) = 0, \qquad \log_a(a) = 1, \qquad \log_a\!\left(a^k\right) = k, \qquad a^{\log_a(b)} = b \]| Schreibweise | Basis | Name |
|---|---|---|
| \(\lg(b) = \log_{10}(b)\) | \(10\) | Zehnerlogarithmus (dekadisch) |
| \(\ln(b) = \log_{e}(b)\) | \(e \approx 2.718\) | natürlicher Logarithmus |
| \(\log_2(b)\) | \(2\) | Zweierlogarithmus (binär, Informatik) |
\(\log_a(b)\) existiert nur für positive \(b\): «\(a\) hoch was gibt \(-5\)?» hat keine Antwort, denn Potenzen positiver Basen sind immer positiv. Ebenso braucht es \(a > 0\), \(a \neq 1\) — mit Basis 1 gäbe \(1^x\) immer 1.
✏️ Mini-Check — Definition
\(\log_3(81) =\) ?
- \(4\)
- \(27\)
- \(3\)
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Für jede zulässige Basis gilt \(\log_a(1) =\) .
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Übersetze \(2^x = 64\) in eine Logarithmusgleichung und löse.
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Berechne \(\log_5\!\left(\tfrac{1}{25}\right)\) ohne Hilfsmittel.
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Die drei Logarithmengesetze
Für \(a, u, v \in \mathbb{R}^+\) und \(k \in \mathbb{R}\):
| Nr. | Gesetz | Merkregel |
|---|---|---|
| 1 | \(\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)\) | Produkt → Summe |
| 2 | \(\log_a\!\left(\dfrac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)\) | Quotient → Differenz |
| 3 | \(\log_a\!\left(u^k\right) = k \cdot \log_a(u)\) | Potenz → Faktor (der Exponent «fällt herunter») |
Sie sind die Potenzgesetze in Logarithmus-Sprache: Weil sich Exponenten beim Multiplizieren addieren, wird aus dem Produkt eine Summe. Herleitung von Gesetz 1: \(u = a^x\), \(v = a^y\) → \(uv = a^{x+y}\) → \(\log_a(uv) = x + y\) ✓
Zerlegen:
\[ \lg\!\left(\frac{100 x^3}{y}\right) = \lg(100) + 3\lg(x) - \lg(y) = 2 + 3\lg(x) - \lg(y) \]Zusammenfassen:
\[ \lg(5) + \lg(2) = \lg(10) = 1, \qquad 2\ln(x) - \ln(y) = \ln\!\left(\frac{x^2}{y}\right) \]\(\log_a(u + v)\) ist nicht \(\log_a(u) + \log_a(v)\)! Die Gesetze gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen — für Summen gibt es kein Gesetz. Probe: \(\lg(10 + 90) = 2\), aber \(\lg 10 + \lg 90 \approx 2.95\).
✏️ Mini-Check — Logarithmengesetze
\(\log_a(u^k) =\) ?
- \(k \cdot \log_a(u)\)
- \(\left(\log_a u\right)^k\)
- \(\log_a(k) \cdot u\)
Lösung anzeigen
Aus dem Produkt im Logarithmus wird eine .
Lösung anzeigen
Berechne \(\lg(5) + \lg(2)\) ohne Taschenrechner.
Lösung anzeigen
Widerlege «\(\lg(u + v) = \lg u + \lg v\)» mit einem Zahlenbeispiel.
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Basiswechsel — jede Basis wird rechenbar
Der Taschenrechner kennt oft nur \(\lg\) und \(\ln\) — der Basiswechsel liefert alle anderen Basen. Herleitung: \(a^x = b\), logarithmieren mit Basis \(c\): \(x \cdot \log_c(a) = \log_c(b)\), auflösen nach \(x\).
Das zweite Beispiel geht ohne Rechner: Beide Zahlen sind Zweierpotenzen — die Gesetze kürzen \(\lg 2\) weg.
✏️ Mini-Check — Basiswechsel
\(\log_3(7)\) berechnet man am Taschenrechner als…
- \(\lg(7) / \lg(3)\)
- \(\lg(7) \cdot \lg(3)\)
- \(\lg(7 - 3)\)
Lösung anzeigen
Im Basiswechsel \(\log_a(b) = \lg(b) / \lg(a)\) steht die im Nenner.
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Berechne \(\log_4(8)\) exakt (Zweierpotenzen!).
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Zeige mit dem Basiswechsel: \(\log_a(b) \cdot \log_b(a) = 1\).
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Exponentialgleichungen und Anwendungen
Steht die Unbekannte im Exponenten (\(a^x = b\)), logarithmiert man beide Seiten — Gesetz 3 holt \(x\) als Faktor herunter:
\[ a^x = b \;\Rightarrow\; x \cdot \lg(a) = \lg(b) \;\Rightarrow\; x = \frac{\lg(b)}{\lg(a)} = \log_a(b) \]Löse \(3^x = 20\).
\[ x = \log_3(20) = \frac{\lg(20)}{\lg(3)} \approx 2.73 \]Plausibilität: \(3^2 = 9 < 20 < 27 = 3^3\), also \(2 < x < 3\) ✓
Ein Kapital wächst mit \(3\ \%\) pro Jahr. Wann hat es sich verdoppelt?
\[ 1.03^n = 2 \;\Rightarrow\; n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.03)} \approx 23.45\ \text{Jahre} \](Faustregel «70er-Regel»: \(70 / 3 \approx 23\) — sie steckt im Logarithmus.)
Wo Grössen über viele Zehnerpotenzen streuen, misst man logarithmisch: pH-Wert (\(\text{pH} = -\lg[\text{H}^+]\)), Dezibel, Richter-Magnitude. Eine Stufe bedeutet jeweils Faktor 10 — der Logarithmus macht Multiplikation zu Addition.
✏️ Mini-Check — Anwendungen
Wie löst man \(5^x = 17\)?
- \(x = 17/5\)
- \(x = \lg(17)/\lg(5)\)
- \(x = \sqrt[5]{17}\)
Lösung anzeigen
Auf einer logarithmischen Skala bedeutet eine Stufe den Faktor .
Lösung anzeigen
Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Lösung von \(2^x = 40\)?
Lösung anzeigen
Ein Erdbeben hat Magnitude 6, ein zweites Magnitude 4. Wievielmal grösser ist der Ausschlag des ersten?
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Aufgaben
Wähle eine Gleichung — welche Übersetzung ist richtig?
Welche Form ist äquivalent?
Wende die Logarithmengesetze an:
- Zerlege \(\lg\!\left(\dfrac{1000\, a^2}{b}\right)\) so weit wie möglich.
- Fasse \(3\ln(x) + \ln(y) - 2\ln(z)\) zu einem Logarithmus zusammen.
- Berechne ohne Rechner: \(\lg(4) + \lg(25)\).
- \(\lg(1000) + 2\lg(a) - \lg(b) = 3 + 2\lg(a) - \lg(b)\).
- \(\ln\!\left(\dfrac{x^3 y}{z^2}\right)\).
- \(\lg(4 \cdot 25) = \lg(100) = 2\).
Berechne \(\log_2(32)\).
Berechne \(\log_5\!\left(\tfrac{1}{25}\right)\).
Berechne \(\lg(5) + \lg(2)\).
Berechne \(\log_4(8)\) exakt (als Dezimalzahl).
Berechne \(\log_2(5)\) (zwei Dezimalen).
Löse \(3^x = 20\).
- Gib zuerst ein Plausibilitäts-Fenster mit Dreierpotenzen an.
- Löse mit dem Logarithmus (drei Dezimalen).
- \(3^2 = 9 < 20 < 27 = 3^3\): also \(2 < x < 3\).
- \(x = \tfrac{\lg 20}{\lg 3} \approx 2.727\) ✓ im Fenster.
Ein Guthaben wächst mit \(3\ \%\) pro Jahr (\(K_n = K_0 \cdot 1.03^n\)).
- Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt (zwei Dezimalen)?
- Prüfe die 70er-Faustregel (\(70 / \text{Prozentsatz}\)).
- \(1.03^n = 2 \Rightarrow n = \tfrac{\lg 2}{\lg 1.03} \approx 23.45\) Jahre.
- \(70 / 3 \approx 23.3\) — die Faustregel trifft fast exakt.
Der pH-Wert ist definiert als \(\text{pH} = -\lg\!\left[\text{H}^+\right]\) (Konzentration in mol/l).
- Eine Lösung hat \(\left[\text{H}^+\right] = 3.2 \cdot 10^{-5}\) mol/l. Berechne den pH-Wert (zwei Dezimalen).
- Um welchen Faktor unterscheidet sich die Konzentration zwischen pH 4 und pH 6?
- \(\text{pH} = -\lg(3.2 \cdot 10^{-5}) = -( \lg 3.2 - 5) \approx 4.49\).
- Zwei pH-Stufen = Faktor \(10^2 = 100\) in der Konzentration.
Die Stellenzahl einer natürlichen Zahl \(N\) ist \(\lfloor \lg N \rfloor + 1\) (abrunden, plus 1).
- Berechne \(\lg\!\left(2^{100}\right)\) mit Gesetz 3 (\(\lg 2 \approx 0.30103\)).
- Wie viele Stellen hat \(2^{100}\) also?
- Begründe die Stellenformel: Warum liegt jede \(k\)-stellige Zahl zwischen \(10^{k-1}\) und \(10^k\)?
- \(\lg(2^{100}) = 100 \cdot \lg 2 \approx 30.103\).
- \(\lfloor 30.103 \rfloor + 1 = \mathbf{31}\) Stellen — ohne die Riesenzahl je auszurechnen.
- \(k\)-stellig heisst \(10^{k-1} \leq N < 10^k\), also \(k - 1 \leq \lg N < k\): Der abgerundete Logarithmus plus 1 ist genau \(k\).
Zusammenfassung
\(\log_a(b)\) beantwortet «\(a\) hoch was gibt \(b\)?» — die Übersetzung \(a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a(b)\) gilt in beide Richtungen (\(a, b > 0\), \(a \neq 1\)). Sofortwerte: \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\), \(\log_a a^k = k\). Die drei Gesetze: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor — für Summen gibt es keines. Der Basiswechsel \(\log_a b = \tfrac{\lg b}{\lg a}\) macht jede Basis rechenbar, und bei Exponentialgleichungen holt das Logarithmieren die Unbekannte als Faktor herunter.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Definition | \(a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a(b)\) |
| Sofortwerte | \(\log_a 1 = 0; \quad \log_a a = 1; \quad \log_a a^k = k\) |
| Produkt / Quotient | \(\log_a(uv) = \log_a u + \log_a v; \quad \log_a\!\tfrac{u}{v} = \log_a u - \log_a v\) |
| Potenz | \(\log_a(u^k) = k \log_a u\) |
| Basiswechsel | \(\log_a b = \dfrac{\lg b}{\lg a} = \dfrac{\ln b}{\ln a}\) |
| Exponentialgleichung | \(a^x = b \Rightarrow x = \log_a b\) |
Zusatzmaterial
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