\( a^x = b \;\Longleftrightarrow\; x = \log_a(b), \qquad a, b \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1 \)
Die Umkehrfrage nach dem Exponenten: «\(a\) hoch was gibt \(b\)?» Sofortwerte: \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \), \( \log_a a^k = k \), \( a^{\log_a b} = b \).
Spezialbasen: \( \lg = \log_{10} \) (dekadisch), \( \ln = \log_e \) (natürlich), \( \log_2 \) (binär). Nur positive Argumente: \( \log_a(b) \) existiert nicht für \( b \leq 0 \).
| Produkt → Summe | \( \log_a(uv) = \log_a u + \log_a v \) |
| Quotient → Differenz | \( \log_a(u/v) = \log_a u - \log_a v \) |
| Potenz → Faktor | \( \log_a(u^k) = k \log_a u \) |
Kein Gesetz für Summen: \( \log_a(u + v) \neq \log_a u + \log_a v \) (Probe: \( \lg 100 = 2 \), aber \( \lg 10 + \lg 90 \approx 2.95 \)).
\( \log_a(b) = \dfrac{\lg b}{\lg a} = \dfrac{\ln b}{\ln a} \)
Damit rechnet der Taschenrechner jede Basis. Schöne Fälle exakt: \( \log_4 8 = \tfrac{3 \lg 2}{2 \lg 2} = \tfrac{3}{2} \).
Steht \(x\) im Exponenten: beide Seiten logarithmieren, Gesetz 3 holt \(x\) herunter: \( a^x = b \Rightarrow x = \tfrac{\lg b}{\lg a} \). Beispiele: \( 3^x = 20 \Rightarrow x \approx 2.73 \); Verdopplungszeit \( 1.03^n = 2 \Rightarrow n \approx 23.45 \) Jahre.
pH \( = -\lg[\text{H}^+] \), Dezibel, Richter: eine Stufe = Faktor 10. Stellenzahl von \(N\): \( \lfloor \lg N \rfloor + 1 \) — so hat \( 2^{100} \) genau 31 Stellen.
Der Logarithmus liefert den Exponenten. Produkt → Summe, Potenz → Faktor, Basiswechsel: Basis in den Nenner. Für Summen gibt es kein Gesetz.