12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Übersetze in die jeweils andere Form: (a) \( 2^6 = 64 \) (b) \( \log_3(x) = 4 \)
Berechne ohne Rechner: \( \lg(100) \), \( \lg(1) \), \( \lg(0.001) \), \( \ln(e^3) \).
Berechne \( \log_2(32) \), \( \log_2(1) \) und \( \log_2\!\left(\tfrac{1}{8}\right) \).
Berechne \( \log_5\!\left(\tfrac{1}{25}\right) \) — und erkläre, wann Logarithmen negativ sind.
Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \( \lg(7000) \)? Und \( \log_2(40) \)?
Zerlege \( \lg\!\left(\dfrac{1000\, a^2}{b}\right) \) so weit wie möglich.
Fasse zusammen: \( 3\ln(x) + \ln(y) - 2\ln(z) \) und \( \lg(4) + \lg(25) \).
Gilt \( \lg(u + v) = \lg(u) + \lg(v) \)? Prüfe mit \( u = v = 10 \).
Berechne \( \log_2(5) \) (zwei Dezimalen) und \( \log_4(8) \) exakt.
Löse \( 3^x = 20 \) — mit Plausibilitäts-Fenster.
Wie lange dauert die Verdopplung bei 3 % Wachstum pro Jahr?
\(b\) · 0 · 1.
(a) \( \log_2(64) = 6 \). (b) \( x = 3^4 = 81 \).
\( 2 \), \( 0 \), \( -3 \), \( 3 \).
\( 5 \), \( 0 \), \( -3 \) (denn \( \tfrac{1}{8} = 2^{-3} \)).
\( -2 \) — negativ für Argumente zwischen 0 und 1.
\( 3 < \lg 7000 < 4 \); \( 5 < \log_2 40 < 6 \) (32 < 40 < 64).
\( 3 + 2\lg(a) - \lg(b) \).
\( \ln\!\left(\tfrac{x^3 y}{z^2}\right) \); \( \lg(100) = 2 \).
Nein: \( \lg 20 \approx 1.30 \neq 2 \) — kein Gesetz für Summen.
\( \tfrac{\lg 5}{\lg 2} \approx 2.32 \); \( \log_4 8 = \tfrac{3}{2} \).
\( 9 < 20 < 27 \Rightarrow 2 < x < 3 \); \( x = \tfrac{\lg 20}{\lg 3} \approx 2.73 \) ✓.
\( n = \tfrac{\lg 2}{\lg 1.03} \approx 23.45 \) Jahre (70er-Regel: \( 70/3 \approx 23 \)).