Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Bei jeder Aufgabe gehört dazu: Gleichung aufstellen, Typ benennen, lösen und die Lösung auf Plausibilität prüfen. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Alltag | Zwei Handy-Abos | ●●○ |
| 2 | Geometrie | Rechteck gesucht | ●●○ |
| 3 | Konstruktion | Kegel umgekehrt | ●●○ |
| 4 | Physik | Fallhöhe | ●●● |
| 5 | Finanzen | Sparziel | ●●● |
| 6 | Werkstatt | Toleranz-Check | ●●● |
Abo A: \(25\) CHF plus \(0.40\) CHF pro Einheit; Abo B: \(40\) CHF plus \(0.25\) CHF pro Einheit.
(a) Stelle die Gleichung für «gleich teuer» auf und benenne den Typ.
(b) Löse sie und gib die gemeinsamen Kosten an.
(c) Ab wann lohnt sich B? (Blick voraus: Ungleichung.)
Ein Rechteck hat Umfang \(28\) cm und Flächeninhalt \(48\ \text{cm}^2\).
(a) Stelle mit der Breite \(x\) eine Gleichung auf. Welcher Typ?
(b) Löse sie und deute beide Lösungen.
Für einen Kegel gilt \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \); gegeben \( V = 100\ \text{cm}^3 \), \( h = 12 \) cm.
(a) Stelle die Gleichung für \(r\) auf und benenne den Typ.
(b) Löse sie — welche Lösung ist plausibel?
Ein Stein fällt \( t = \sqrt{2h/g} \) Sekunden aus der Höhe \(h\) (\( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \)). Gemessen werden \( 2.5 \) s.
(a) Stelle die Gleichung für \(h\) auf und benenne den Typ.
(b) Löse sie (Wurzel separieren, quadrieren) und prüfe die Grössenordnung.
Ein Konto mit \( 8000 \) CHF wird zu \(2\) % verzinst: \( K(n) = 8000 \cdot 1.02^n \). Ziel sind \( 10\,000 \) CHF.
(a) Stelle die Gleichung auf und benenne den Typ.
(b) Löse sie exakt und runde sinnvoll.
Ein Bolzen hat Sollmass \(12\) mm; zulässig ist eine Abweichung von höchstens \( 0.05 \) mm.
(a) Für welche Durchmesser \(d\) gilt exakt Grenzmass? Stelle die Gleichung auf (Typ?) und löse sie.
(b) Formuliere den brauchbaren Bereich als Ungleichung und als Intervall.
(a) \( 25 + 0.4x = 40 + 0.25x \) — linear.
(b) \( 0.15x = 15 \Rightarrow x = 100 \) Einheiten; Kosten \(65\) CHF (Probe mit B ✓).
(c) \( 40 + 0.25x < 25 + 0.4x \Rightarrow x > 100 \).
(a) Länge \( 14 - x \): \( x(14-x) = 48 \) — quadratisch.
(b) \( x^2 - 14x + 48 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-8) = 0 \) — beide Lösungen beschreiben dasselbe Rechteck mit Seiten \(6\) und \(8\) cm (Probe: \(48\ \text{cm}^2\), \(28\) cm ✓).
(a) \( r^2 = \tfrac{3V}{\pi h} = \tfrac{300}{12\pi} \) — Potenzgleichung (gerader Exponent).
(b) \( r = \pm 2.82 \) cm; plausibel ist nur der positive Radius.
(a) \( \sqrt{2h/9.81} = 2.5 \) — Wurzelgleichung.
(b) Quadrieren: \( \tfrac{2h}{9.81} = 6.25 \Rightarrow h = \tfrac{9.81 \cdot 6.25}{2} \approx 30.7 \) m — etwa ein zehnstöckiges Haus, plausibel.
(a) \( 8000 \cdot 1.02^n = 10\,000 \) — Exponentialgleichung.
(b) \( 1.02^n = 1.25 \Rightarrow n = \tfrac{\ln 1.25}{\ln 1.02} \approx 11.3 \) — nach \(12\) vollen Jahren ist das Ziel erreicht.
(a) \( |d - 12| = 0.05 \) — Betragsgleichung, zwei Fälle: \( d = 11.95 \) oder \( d = 12.05 \) mm.
(b) \( |d - 12| \leq 0.05 \), also \( d \in [11.95;\ 12.05] \) mm.