2.1 Grundlagen
Im Grundlagenfach hast du lineare und quadratische Gleichungen gelöst — im Schwerpunkt kommen Wurzel-, Bruch-, Exponential-, Logarithmus- und Betragsgleichungen dazu. Diese Seite legt das Fundament: die Gleichung als Waage, die Äquivalenzumformung als Leitprinzip, der geschulte Blick für den Gleichungstyp — und die Gewohnheit, jede Lösung zu überprüfen. Denn die wichtigste Entscheidung fällt vor dem Rechnen: Welcher Typ ist das, und welche Methode passt?
- den Typ einer Gleichung bestimmen und beim Lösen entsprechend beachten
- mit geeigneten Lösungsmethoden die Lösung berechnen und überprüfen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Begriffe Gleichung, Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmenge sauber verwenden.
- Ich kann Äquivalenzumformungen von gefährlichen Umformungen (quadrieren, mit Termen multiplizieren, durch Terme dividieren) unterscheiden.
- Ich kann am «Wo steht die Unbekannte?»-Blick den Typ einer Gleichung bestimmen — von linear bis Betrag.
- Ich kann jedem Gleichungstyp die passende Lösungsmethode zuordnen.
- Ich kann Lösungen dreifach überprüfen: durch die Probe, grafisch und auf Plausibilität in der Anwendung.
- Ich kann einfache Vertreter jedes Typs lösen — als Vorbereitung auf die Detailseiten 2.2a–c.
Einstieg — die Gleichung als Waage
Eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht: Links liegt \(3x + 2\), rechts \(11\). Gesucht ist der Inhalt eines \(x\)-Pakets. Die Regel: Was man auf der einen Seite tut, muss man auch auf der anderen tun — sonst kippt die Waage.
Das Lösen einer Gleichung ist kein Zaubertrick, sondern kontrolliertes Umbauen:
- Jede Umformung wirkt auf beide Seiten — das Gleichgewicht (die Lösungsmenge) bleibt erhalten.
- Das Ziel ist immer dasselbe: die Unbekannte isolieren, bis «\(x = \dots\)» dasteht.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was bedeutet «Äquivalenzumformung» im Waage-Bild?
- Die Waage wird auf einer Seite entlastet.
- Beide Seiten werden gleich verändert — das Gleichgewicht bleibt.
- Die Gewichte werden geschätzt.
Lösung anzeigen
Ziel jeder Umformungskette ist es, die Unbekannte zu — bis «\(x = \dots\)» dasteht.
Lösung anzeigen
Löse \(5x - 7 = 18\) mit zwei Umformungen.
Lösung anzeigen
Auch «zuerst durch 3 teilen» führt bei \(3x + 2 = 11\) zum Ziel. Führe es vor — was ist der Nachteil?
Lösungsweg anzeigen
Definitionen — das Vokabular
Eine Gleichung ist eine Aussage, dass zwei Terme denselben Wert haben: \(T_1(x) = T_2(x)\).
| Grundmenge \(G\) | die Zahlenmenge, aus der Lösungen stammen dürfen (meist \(\mathbb{R}\)) |
| Definitionsmenge \(D\) | alle \(x \in G\), für die beide Terme definiert sind (Nenner \(\neq 0\), Radikand \(\geq 0\), Logarithmus-Argument \(> 0\)) |
| Lösungsmenge \(L\) | alle \(x \in D\), welche die Gleichung erfüllen — \(L\) kann leer sein, endlich viele oder unendlich viele Elemente haben |
Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge nicht:
- beidseitig denselben Term addieren oder subtrahieren
- beidseitig mit derselben Zahl \(\neq 0\) multiplizieren oder dividieren
Keine Äquivalenzumformungen (Lösungsmenge kann sich ändern!):
| Umformung | Gefahr | Gegenmittel |
|---|---|---|
| Quadrieren / Potenzieren | Scheinlösungen kommen dazu | Probe in der Ausgangsgleichung |
| mit variablenhaltigem Term multiplizieren | Scheinlösung, wenn der Term null wird | \(D\) notieren, Lösungen prüfen |
| durch variablenhaltigen Term dividieren | Lösungen gehen verloren | stattdessen ausklammern + Nullprodukt |
✏️ Mini-Check — Vokabular
Welche Umformung ist eine Äquivalenzumformung?
- beidseitig \(+7\)
- beidseitig quadrieren
- beidseitig durch \((x-1)\) dividieren
Lösung anzeigen
Die menge enthält alle \(x\), für die beide Seiten der Gleichung überhaupt definiert sind.
Lösung anzeigen
Bestimme die Definitionsmenge von \(\dfrac{5}{x-3} = x\).
Lösung anzeigen
Kann eine Gleichung die Lösungsmenge \(L = \mathbb{R}\) haben? Gib ein Beispiel.
Lösungsweg anzeigen
Warum die Probe nötig ist — Scheinlösung grafisch
Der Typen-Bestimmer — wo steht die Unbekannte?
Der Gleichungstyp entscheidet über die Methode — und er lässt sich fast immer an einer Frage ablesen: Wo steht die Unbekannte? Klicke dich durch die sechs Gleichungen:
✏️ Mini-Check — Typen erkennen
Welcher Typ ist \(3^x = 81\)?
- Potenzgleichung
- Exponentialgleichung
- Wurzelgleichung
Lösung anzeigen
Steht die Unbekannte im Nenner eines Bruchterms, liegt eine Gleichung vor.
Lösung anzeigen
Bestimme Typ und Lösung von \(x^2 = 49\).
Lösung anzeigen
\(x^x = 27\) passt in keine der sechs Schubladen. Warum nicht?
Lösungsweg anzeigen
Die Typen-Übersicht — Landkarte des Lerngebiets
| Typ | Wo steht \(x\)? | Beispiel | Methode | Detailseite |
|---|---|---|---|---|
| linear | nur in 1. Potenz | \(3x + 2 = 11\) | Äquivalenzumformungen | Grundlagenfach 2.2a |
| quadratisch | in 2. Potenz | \(x^2 + 3x - 10 = 0\) | Faktorisieren · Lösungsformel | Grundlagenfach 2.2b |
| Potenzgleichung | in der Basis, \(x^n = c\) | \(x^4 = 81\) | \(n\)-te Wurzel (Parität!) | 2.2a |
| Wurzelgleichung | im Radikanden | \(\sqrt{2x+1} = 7\) | separieren · quadrieren · Probe | 2.2a |
| rational | im Nenner | \(\tfrac{6}{x+1} = 2\) | \(D\) · Hauptnenner | 2.2a |
| exponentiell | im Exponenten | \(5 \cdot 2^x = 80\) | Exponentenvergleich · logarithmieren | 2.2b |
| logarithmisch | im Log-Argument | \(\lg(x+3) = 2\) | \(D\) · entlogarithmieren · Probe | 2.2b |
| Betragsgleichung | im Betrag | \(|x-4| = 9\) | zwei Fälle \(\pm\) | 2.2c |
| Polynom (Produktform) | in Faktoren | \(x(x-3)(x+2) = 0\) | Satz vom Nullprodukt | 2.2c |
Viele Gleichungen kombinieren Typen: \(4^x - 7 \cdot 2^x = 8\) ist exponentiell und quadratisch (Substitution!), \(x^3 = 9x\) wird per Ausklammern zur Produktform. Der Typen-Blick zeigt dann die Reihenfolge der Werkzeuge.
✏️ Mini-Check — Landkarte
Für welchen Typ ist die «Probe durch Einsetzen» zwingender Bestandteil des Verfahrens?
- lineare Gleichungen
- Wurzel- und Logarithmusgleichungen
- Nullprodukt
Lösung anzeigen
\(x^4 = 81\) und \(4^x = 81\) sehen ähnlich aus, sind aber verschiedene Typen: Bei der ersten steht \(x\) in der , bei der zweiten im Exponenten.
Lösung anzeigen
Welcher Typ ist \(\dfrac{6}{x+1} = 2\)? Löse die Gleichung.
Lösung anzeigen
Welche zwei Typen stecken in \(\sqrt{x^2 + 9} = 5\), und in welcher Reihenfolge löst man sie?
Lösungsweg anzeigen
Der Fahrplan — lösen und überprüfen
- Typ bestimmen: Wo steht die Unbekannte? (Basis, Exponent, Radikand, Nenner, Betrag …)
- Definitionsmenge notieren — bei Brüchen, Wurzeln und Logarithmen zwingend.
- Passende Methode anwenden — Umkehroperation, Fallunterscheidung, Substitution, Nullprodukt.
- Überprüfen: Probe, grafische Kontrolle, Plausibilität.
| Kontrolle | Wie? | Fängt ab … |
|---|---|---|
| Probe | Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen | Rechenfehler und Scheinlösungen |
| grafisch | beide Seiten als Graphen — Schnittstellen zählen und schätzen | verlorene und übersehene Lösungen |
| Plausibilität | Passt die Lösung zur Anwendung? (Vorzeichen, Grössenordnung, Einheit) | mathematisch richtige, sachlich sinnlose Werte |
Löse \(\dfrac{x-1}{2} = 4 - x\).
Lösung: Mit \(2\) multiplizieren (Zahl, keine Variable — Äquivalenzumformung):
\[ x - 1 = 8 - 2x \;\Rightarrow\; 3x = 9 \;\Rightarrow\; x = 3 \]Probe: links \(\tfrac{3-1}{2} = 1\), rechts \(4 - 3 = 1\) ✓ — \(L = \{3\}\).
Löse \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
Weg 1 (Faktorisieren): \((x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow L = \{2;\ 3\}\).
Weg 2 (Lösungsformel):
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 2,\quad x_2 = 3 \]Probe mit Vieta: \(2 \cdot 3 = 6\) ✓ und \(2 + 3 = 5\) ✓.
Löse \(5 \cdot 2^x = 80\).
Lösung: Die Unbekannte steht im Exponenten — also nicht «hoch \(\tfrac{1}{x}\)» rechnen, sondern erst isolieren, dann die Basis vergleichen:
\[ 2^x = 16 = 2^4 \;\Rightarrow\; x = 4 \]Probe: \(5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80\) ✓ — \(L = \{4\}\). (Mehr dazu in ↩ 2.2b.)
Wer bei \(3x + 2 = 11\) nur links die \(2\) streicht, hat die Waage gekippt: \(3x = 11\) ist eine andere Gleichung. Jede Operation wirkt auf beide Seiten — auch beim Multiplizieren: \(\tfrac{x}{2} + 1 = 5\) mal \(2\) gibt \(x + 2 = 10\), nicht \(x + 1 = 10\).
\(x^4 = 81\) (Potenzgleichung, \(x = \pm 3\)) und \(4^x = 81\) (Exponentialgleichung, \(x = \log_4 81 \approx 3.17\)) sehen zum Verwechseln ähnlich aus. Erst hinschauen, dann rechnen — die falsche Methode führt ins Leere oder zu halben Lösungsmengen.
Vor dem Rechnen beide Seiten grob skizzieren (Grundgraphen aus ↩ 3.1): Die Anzahl Schnittpunkte sagt, wie viele Lösungen zu erwarten sind. Findet die Rechnung mehr — Scheinlösungen prüfen. Findet sie weniger — irgendwo ist eine Lösung verloren gegangen.
✏️ Mini-Check — Fahrplan und Überprüfung
In welche Gleichung setzt man bei der Probe ein?
- in die letzte umgeformte Gleichung
- in die Ausgangsgleichung
- in beide
Lösung anzeigen
Bei Anwendungsaufgaben gehört neben der Probe die skontrolle dazu: Vorzeichen, Grössenordnung und Einheit müssen zur Situation passen.
Lösung anzeigen
Löse \(x^2 - 5x + 6 = 0\) durch Faktorisieren.
Lösung anzeigen
Eine Rechnung liefert für eine Wurzelgleichung die Kandidaten \(x = 2\) und \(x = -5\); die Skizze zeigt nur einen Schnittpunkt. Was ist zu tun?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Gleichung und bestimme ihren Typ — ohne zu rechnen.
Welcher Typ liegt vor?
Beurteile jede Umformung: Äquivalenzumformung, Scheinlösungs-Gefahr oder Verlust-Gefahr? Begründe kurz.
- beidseitig \(-5\)
- beidseitig mit \((x+3)\) multiplizieren
- beidseitig quadrieren
- beidseitig durch \(x\) dividieren
- beidseitig mit \(\tfrac{1}{4}\) multiplizieren
- Äquivalent — Addition/Subtraktion ist immer sicher.
- Scheinlösungs-Gefahr: Für \(x = -3\) wird mit null multipliziert — dieser Wert kann als falsche Lösung hereinrutschen (\(D\) prüfen!).
- Scheinlösungs-Gefahr: Das Vorzeichen geht verloren (\(\sqrt{x} = -5\) → \(x = 25\)).
- Verlust-Gefahr: \(x = 0\) wird aus der Lösungsmenge getilgt — stattdessen ausklammern.
- Äquivalent — Multiplikation mit einer festen Zahl \(\neq 0\).
Löse \(5x - 4 = 3x + 5\).
Löse \(x^2 - 7x + 12 = 0\).
Faktorisieren: \((x-3)(x-4) = 0 \Rightarrow L = \{3;\ 4\}\). Kontrolle (Vieta): Produkt \(12\), Summe \(7\) ✓
Löse \(\dfrac{12}{x} = 3\). Notiere zuerst \(D\).
\(D: x \neq 0\). Mit \(x\) multiplizieren: \(12 = 3x \Rightarrow x = 4\) (liegt in \(D\)) — \(L = \{4\}\).
Löse \(\sqrt{x} + 1 = 5\).
Separieren: \(\sqrt{x} = 4\); quadrieren: \(x = 16\). Probe: \(\sqrt{16} + 1 = 5\) ✓
Löse \(2^x = 32\).
Exponentenvergleich: \(2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5\).
Ein Rechteck hat den Umfang \(28\) cm und den Flächeninhalt \(48\ \text{cm}^2\).
- Stelle mit der Breite \(x\) eine Gleichung auf (Länge über den Umfang ausdrücken).
- Bestimme Typ und Lösungen — und prüfe die Plausibilität.
- Länge \(= 14 - x\), also \(x(14 - x) = 48\).
- Quadratische Gleichung: \(x^2 - 14x + 48 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-8) = 0\). Beide Lösungen sind positiv und ergeben zusammen \(14\) — sie beschreiben dasselbe Rechteck mit Seiten \(6\) und \(8\) cm. Probe: \(6 \cdot 8 = 48\) ✓, \(2(6+8) = 28\) ✓
Abo A kostet \(25\) CHF Grundgebühr plus \(0.40\) CHF pro Einheit, Abo B \(40\) CHF plus \(0.25\) CHF pro Einheit.
- Stelle die Gleichung für «gleich teuer» auf und bestimme ihren Typ.
- Löse sie und gib die gemeinsamen Kosten an.
- \(25 + 0.4x = 40 + 0.25x\) — eine lineare Gleichung.
- \(0.15x = 15 \Rightarrow x = 100\) Einheiten; Kosten \(25 + 0.4 \cdot 100 = 65\) CHF. Probe mit B: \(40 + 25 = 65\) ✓
Ein Kegel hat das Volumen \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\). Gegeben sind \(V = 100\ \text{cm}^3\) und \(h = 12\) cm.
- Stelle die Gleichung für \(r\) auf. Welcher Typ entsteht?
- Löse sie und begründe, warum nur eine der beiden Lösungen zählt.
- \(r^2 = \dfrac{3V}{\pi h} = \dfrac{300}{12\pi}\) — eine Potenzgleichung mit geradem Exponenten.
- \(r = \pm\sqrt{\tfrac{300}{12\pi}} \approx \pm 2.82\) cm. Plausibilität: Ein Radius ist positiv — \(r \approx 2.82\) cm.
Zwei «Musterlösungen» — beide enthalten einen typischen Fehler. Finde und korrigiere ihn:
Rechnung 1: \(x^2 = 4x \ \mid\, :x \ \Rightarrow\ x = 4 \ \Rightarrow\ L = \{4\}\)
Rechnung 2: \(\sqrt{3-x} = x - 3 \ \mid\, (\ )^2 \ \Rightarrow\ 3 - x = (x-3)^2 \ \Rightarrow\ x^2 - 5x + 6 = 0 \ \Rightarrow\ L = \{2;\ 3\}\)
- Division durch \(x\) hat die Lösung \(x = 0\) vernichtet. Korrekt: \(x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow L = \{0;\ 4\}\).
- Die Probe fehlt: Bei \(x = 2\) steht links \(\sqrt{1} = 1\), rechts \(2 - 3 = -1\) — Scheinlösung! Nur \(x = 3\) besteht (\(0 = 0\)): \(L = \{3\}\). (Vorab-Check: Die rechte Seite muss \(\geq 0\) sein, also \(x \geq 3\) — das hätte \(x = 2\) sofort ausgeschlossen.)
Zusammenfassung
Eine Gleichung ist eine Waage: Äquivalenzumformungen (beidseitig addieren, subtrahieren, mit Zahlen \(\neq 0\) multiplizieren/dividieren) erhalten die Lösungsmenge. Quadrieren, Terme-Multiplikation und Terme-Division sind gefährlich — sie verlangen Definitionsmenge und Probe. Der Typ einer Gleichung steht dort, wo die Unbekannte steht (Basis, Exponent, Radikand, Nenner, Betrag) und bestimmt die Methode. Der Fahrplan: Typ → \(D\) → Methode → Überprüfen (Probe, Skizze, Plausibilität).
| Schritt | Leitfrage | Werkzeug |
|---|---|---|
| 1 · Typ | Wo steht die Unbekannte? | Typen-Tabelle (Landkarte oben) |
| 2 · \(D\) | Wo sind beide Seiten definiert? | Nenner \(\neq 0\), Radikand \(\geq 0\), Log-Argument \(> 0\) |
| 3 · Methode | Welche Umkehroperation isoliert \(x\)? | Detailseiten 2.2a / 2.2b / 2.2c |
| 4 · Kontrolle | Stimmt die Lösung wirklich? | Probe · Skizze · Plausibilität |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.