| Gleichung | Aussage \( T_1(x) = T_2(x) \) — zwei Terme haben denselben Wert |
| Grundmenge \(G\) | erlaubte Zahlenmenge (meist \( \mathbb{R} \)) |
| Definitionsmenge \(D\) | alle \(x\), für die beide Terme definiert sind (Nenner \( \neq 0 \), Radikand \( \geq 0 \), Log-Argument \( > 0 \)) |
| Lösungsmenge \(L\) | alle \( x \in D \), welche die Gleichung erfüllen — kann leer, endlich oder unendlich sein |
Sicher (Lösungsmenge bleibt): beidseitig addieren/subtrahieren; beidseitig mit fester Zahl \( \neq 0 \) multiplizieren/dividieren — das Waage-Prinzip.
| Gefährliche Umformung | Risiko | Gegenmittel |
|---|---|---|
| quadrieren / potenzieren | Scheinlösungen | Probe in der Ausgangsgleichung |
| mit Term multiplizieren | Scheinlösung bei Term = 0 | \(D\) notieren, Lösungen prüfen |
| durch Term dividieren | Lösungen gehen verloren | ausklammern + Nullprodukt |
| Typ | Wo steht \(x\)? | Beispiel | Methode |
|---|---|---|---|
| linear | nur 1. Potenz | \( 3x + 2 = 11 \) | Äquivalenzumformungen |
| quadratisch | 2. Potenz | \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) | Faktorisieren · Lösungsformel |
| Potenzgleichung | Basis | \( x^4 = 81 \) | \(n\)-te Wurzel (Parität!) |
| Wurzelgleichung | Radikand | \( \sqrt{2x+1} = 7 \) | separieren · quadrieren · Probe |
| rational | Nenner | \( \tfrac{6}{x+1} = 2 \) | \(D\) · Hauptnenner |
| exponentiell | Exponent | \( 5 \cdot 2^x = 80 \) | Exponentenvergleich · logarithmieren |
| logarithmisch | Log-Argument | \( \lg(x+3) = 2 \) | \(D\) · entlogarithmieren · Probe |
| Betrag | im Betrag | \( |x-4| = 9 \) | zwei Fälle \( \pm \) |
| Produktform | Faktoren | \( x(x-3)(x+2) = 0 \) | Nullprodukt |
(1) Typ bestimmen («Wo steht \(x\)?») · (2) Definitionsmenge notieren · (3) passende Methode anwenden · (4) überprüfen: Probe (Ausgangsgleichung), Skizze (Anzahl Schnittpunkte = erwartete Lösungsanzahl), Plausibilität (Vorzeichen, Grössenordnung, Einheit).
Die wichtigste Entscheidung fällt vor dem Rechnen: den Typ am Ort der Unbekannten erkennen. Sichere Umformungen erhalten die Waage; Quadrieren, Terme-Multiplikation und -Division verlangen \(D\) und Probe. Ohne Kontrolle ist keine Lösungsmenge bestimmt.