12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Beurteile die Umformung (äquivalent / Scheinlösungs-Gefahr / Verlust-Gefahr):
(a) beidseitig \( +9 \) (b) beidseitig quadrieren (c) beidseitig durch \(x\) dividieren
Bestimme die Lösungsmenge:
(a) \( 2(x+1) = 2x + 2 \) (b) \( x = x + 1 \)
Bestimme den Typ (ohne zu lösen):
(a) \( \sqrt{x-5} = 4 \) (b) \( 3^x = 125 \) (c) \( x^3 = 125 \) (d) \( \tfrac{8}{x-3} = 5 \)
Worin unterscheiden sich \( x^4 = 81 \) und \( 4^x = 81 \)? Gib zu beiden Typ und Lösungsmenge an.
Bestimme die Definitionsmenge:
(a) \( \tfrac{5}{x-3} = x \) (b) \( \sqrt{2x-8} = 3 \) (c) \( \lg(x+2) = 1 \)
Löse \( 5x - 4 = 3x + 5 \) mit Probe.
Löse \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) durch Faktorisieren; Kontrolle mit Vieta.
Löse \( \tfrac{12}{x} = 3 \) (mit \(D\)).
Löse \( \sqrt{x} + 1 = 5 \) mit Probe.
Löse \( 2^x = 32 \) durch Exponentenvergleich.
Finde den Fehler: \( x^2 = 4x \ \mid : x \ \Rightarrow\ x = 4 \Rightarrow L = \{4\} \).
Äquivalenzumformungen · Definitionsmenge · Ausgangsgleichung.
(a) äquivalent · (b) Scheinlösungs-Gefahr (Vorzeichen geht verloren) · (c) Verlust-Gefahr (\( x = 0 \) wird getilgt).
(a) allgemeingültig: \( L = \mathbb{R} \) (Identität) · (b) unlösbar: \( L = \{\,\} \).
(a) Wurzelgleichung · (b) Exponentialgleichung (\(x\) im Exponenten) · (c) Potenzgleichung (\(x\) in der Basis) · (d) rationale Gleichung.
\( x^4 = 81 \): Potenzgleichung, \( L = \{-3;\ 3\} \) (gerader Exponent!) · \( 4^x = 81 \): Exponentialgleichung, \( L = \{\log_4 81\} \approx \{3.17\} \) — genau eine Lösung.
(a) \( D = \mathbb{R} \setminus \{3\} \) · (b) \( 2x - 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \) · (c) \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \).
\( 2x = 9 \Rightarrow x = 4.5 \). Probe: \( 18.5 = 18.5 \) ✓
\( (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow L = \{2;\ 3\} \). Vieta: Produkt \(6\) ✓, Summe \(5\) ✓
\( D: x \neq 0 \); \( 12 = 3x \Rightarrow x = 4 \in D \): \( L = \{4\} \).
\( \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16 \). Probe: \( 4 + 1 = 5 \) ✓
\( 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5 \).
Die Division durch \(x\) hat die Lösung \( x = 0 \) vernichtet. Korrekt: \( x(x-4) = 0 \Rightarrow L = \{0;\ 4\} \).