Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Definitionsmenge und Kontrolle gehören zu jeder Wurzel- und Bruchgleichung dazu!
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Navigation | Sichtweite zum Horizont | ●●○ |
| 2 | Mechanik | Fadenpendel | ●●○ |
| 3 | Physik | Freier Fall | ●●○ |
| 4 | Konstruktion | Zylinder-Radius | ●●● |
| 5 | Fahrzeugtechnik | Kurvengeschwindigkeit | ●●● |
| 6 | Optik | Linsengleichung | ●●● |
Für die Sichtweite gilt \( s = 3.57\sqrt{h} \) (\(s\) in km, \(h\) in m).
(a) Wie weit sieht man von einem \(30\) m hohen Leuchtturm?
(b) Welche Höhe braucht es für \(50\) km Sichtweite?
(c) Warum verdoppelt die vierfache Höhe die Sichtweite nur?
Für ein Fadenpendel gilt \( T = 2\pi\sqrt{l/g} \) mit \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \).
(a) Löse die Formel nach \(l\) auf.
(b) Wie lang ist ein Sekundenpendel (\( T = 2 \) s)?
(c) Berechne die Schwingungsdauer eines \(4\) m langen Pendels.
Für die Fallzeit gilt \( t = \sqrt{2h/g} \).
(a) Wie lange fällt ein Stein von einer \(80\) m hohen Brücke?
(b) Aus welcher Höhe fällt ein Körper \(3\) Sekunden lang?
(c) Ein Echo-Test misst die doppelte Zeit. Ändert sich die Formel?
Ein zylindrischer Tank soll \( V = 1000\ \text{cm}^3 \) fassen bei Höhe \( h = 10 \) cm; es gilt \( V = \pi r^2 h \).
(a) Löse die Formel nach \(r\) auf.
(b) Berechne den nötigen Radius.
(c) Warum ist die negative Wurzel hier keine Lösung?
Die maximale Kurvengeschwindigkeit (trockene Strasse) beträgt näherungsweise \( v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot r} \) mit Haftreibungszahl \( \mu = 0.8 \), \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \) und Kurvenradius \(r\).
(a) Berechne \(v\) für \( r = 50 \) m (in m/s und km/h).
(b) Welcher Radius erlaubt \(30\) m/s? (Nach \(r\) auflösen.)
(c) Der Radius wird vervierfacht. Um welchen Faktor steigt \(v\)?
Für dünne Linsen gilt \( \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b} \) (Brennweite \(f\), Gegenstandsweite \(g\), Bildweite \(b\)).
(a) Eine Linse hat \( f = 5 \) cm; der Gegenstand steht bei \( g = 8 \) cm. Berechne die Bildweite \(b\) (rationale Gleichung!).
(b) Für welche Gegenstandsweite wäre die Gleichung unlösbar? Deute das optisch.
(a) \( s = 3.57\sqrt{30} \approx 19.6 \) km.
(b) \( \sqrt{h} = \tfrac{50}{3.57} \Rightarrow h \approx 196 \) m.
(c) \( \sqrt{4h} = 2\sqrt{h} \) — die Wurzel halbiert den Faktor im Exponentensinn.
(a) \( l = g \cdot (T/2\pi)^2 \).
(b) \( l = 9.81 \cdot (2/2\pi)^2 \approx 0.99 \) m.
(c) \( T = 2\pi\sqrt{4/9.81} \approx 4.01 \) s.
(a) \( t = \sqrt{160/9.81} \approx 4.04 \) s.
(b) Quadrieren: \( h = g t^2/2 = 9.81 \cdot 9/2 \approx 44.1 \) m.
(c) Nein — nur die gemessene Zeit muss vorher halbiert werden (Hin- und Rückweg des Schalls).
(a) \( r^2 = \dfrac{V}{\pi h} \Rightarrow r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}} \).
(b) \( r = \sqrt{1000/(10\pi)} \approx 5.64 \) cm.
(c) Ein Radius ist eine Länge — nur die positive Lösung der Potenzgleichung ist physikalisch sinnvoll.
(a) \( v = \sqrt{0.8 \cdot 9.81 \cdot 50} \approx 19.8\ \text{m/s} \approx 71\ \text{km/h} \).
(b) Quadrieren: \( r = \dfrac{v^2}{\mu g} = \dfrac{900}{0.8 \cdot 9.81} \approx 115 \) m.
(c) Faktor \( \sqrt{4} = 2 \).
(a) \( \tfrac{1}{b} = \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{40} \Rightarrow b = \tfrac{40}{3} \approx 13.3 \) cm.
(b) Für \( g = f = 5 \) cm: \( \tfrac{1}{b} = 0 \) hat keine Lösung — der Gegenstand steht im Brennpunkt, es entsteht kein reelles Bild (Strahlen parallel).