2.2a Potenz-, Wurzel- und rationale Gleichungen

Bruchgleichungen: der Weg in vier Schritten

1. 0:00Eine Bruchgleichung: das x steht im Nenner.
2. 0:09Ein Nenner darf nie null werden.
3. 0:19Schritt eins: die Definitionsmenge. Der dritte Nenner zerfällt in genau die beiden anderen.
4. 0:30Schritt zwei: mit dem Hauptnenner multiplizieren. Jeder Nenner kürzt sich gegen seinen eigenen Faktor.
5. 0:41Schritt drei: ausmultiplizieren und ordnen. Wir erhalten zwei Kandidaten. Beachte: Das x Quadrat bleibt hier stehen — es entsteht eine quadratische Gleichung, also bis zu zwei Kandidaten.
6. 0:54Schritt vier: prüfen. Minus zwei war der verbotene Wert des zweiten Nenners. Es ist eine Scheinlösung.
7. 1:05Zuerst die Definitionsmenge. Zuletzt prüfen.

Bruchgleichungen: über Kreuz multiplizieren

1. 0:00Ein Bruch gleich ein Bruch. Hier darf man über Kreuz multiplizieren.
2. 0:09Zuerst die Definitionsmenge. Auch beim Kreuzweise-Rechnen, ohne Ausnahme.
3. 0:21Erst einmal ganz normal: mal den Hauptnenner. Jeder Bruch kürzt sich gegen seinen Faktor.
4. 0:32Und genau das ist die Kreuzregel: Zähler links mal Nenner rechts, und umgekehrt.
5. 0:41Ausmultipliziert steht da kein x Quadrat — die Gleichung ist linear, es kann also höchstens eine Lösung geben. Ausmultiplizieren, sortieren, dividieren.
6. 0:53Und prüfen: beide Seiten geben zwei Drittel, und der Wert ist nicht verboten.
7. 1:02Über Kreuz geht nur, wenn links und rechts genau ein Bruch steht.
8. 1:12Über Kreuz ist der Hauptnenner in kurz. Die Definitionsmenge bestimmst du trotzdem zuerst.

Bruchgleichungen: wenn genau eine Zahl übrig bleibt

1. 0:00Eine Bruchgleichung mit x im Nenner. Zwei Fragen begleiten sie: Welche Zahlen sind überhaupt erlaubt — und welche Art von Gleichung entsteht, wenn die Nenner weg sind?
2. 0:10Zuerst die Definitionsmenge. Kein Nenner darf null werden: x nicht null und x nicht minus eins.
3. 0:17Beide Seiten mal den Hauptnenner x mal Klammer x plus eins. Auf jeder Seite kürzt sich ein Nenner weg, übrig bleibt eine Gleichung ohne Brüche.
4. 0:27Ausmultiplizieren. Links x Quadrat plus drei x plus zwei, rechts x Quadrat plus fünf x. Auf beiden Seiten steht dasselbe x Quadrat — es hebt sich weg. Übrig bleibt eine lineare Gleichung.
5. 0:39Lösen: zwei gleich zwei x, also x gleich eins. Eins liegt in D, ist also gültig. Die Probe: drei geteilt durch eins ist drei, sechs geteilt durch zwei ist auch drei.
6. 0:51Wann bleibt das x Quadrat denn stehen? Genau dann, wenn es nicht auf beiden Seiten gleich vorkommt. Sechs durch x gleich x minus eins wird zu x Quadrat minus x minus sechs gleich null — eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen, drei und minus zwei.
7. 1:06Zum Mitnehmen: Nach dem Wegmultiplizieren zuerst hinsehen, ob ein x Quadrat überlebt. Das entscheidet, wie viele Lösungen überhaupt möglich sind — und erst danach entscheidet die Definitionsmenge, welche davon gelten.

Bruchgleichungen: wenn nichts übrig bleibt

1. 0:00Zweiter Ausgang. Dieselbe Frage, dieselben vier Schritte — nur bleibt am Ende keine Zahl übrig, sondern ein Widerspruch.
2. 0:09Die Definitionsmenge ist dieselbe wie eben: x nicht null und x nicht minus eins.
3. 0:17Mal den Hauptnenner x mal Klammer x plus eins. Der erste Bruch behält x, der zweite behält x plus eins, und rechts steht das ganze Produkt.
4. 0:27Ausmultiplizieren: links x Quadrat plus x plus eins, rechts x Quadrat plus x. Wieder steht dasselbe x Quadrat auf beiden Seiten und fällt weg. Es bleibt eine lineare Gleichung.
5. 0:39Jetzt fällt auch noch das x weg. Übrig bleibt: eins gleich null. Das ist keine Gleichung mehr, sondern eine falsche Aussage. Keine Zahl kann sie wahr machen — die Lösungsmenge ist leer.
6. 0:50Die leere Menge kann auch anders zustande kommen: Die Rechnung liefert eine Zahl, aber die liegt nicht in der Definitionsmenge. Dann ist sie eine Scheinlösung und wird gestrichen — bleibt keine andere übrig, ist die Lösungsmenge ebenfalls leer.
7. 1:03Zum Mitnehmen: Verschwindet die Unbekannte und es bleibt eine falsche Aussage, gibt es keine Lösung. Das ist dieselbe Regel wie bei den Gleichungssystemen — eine falsche Aussage heisst immer: keine Lösung.

Bruchgleichungen: wenn jede erlaubte Zahl passt

1. 0:00Dritter und letzter Ausgang. Diesmal bleibt am Ende weder eine Zahl noch ein Widerspruch, sondern eine Aussage, die immer stimmt.
2. 0:09Nur ein Nenner, also nur eine verbotene Zahl: x gleich zwei.
3. 0:17Beide Seiten mal x minus zwei. Links kürzt sich der Nenner weg, rechts entsteht ein Produkt zweier Klammern.
4. 0:25Rechts ausmultipliziert ergibt x Quadrat minus vier — genau dasselbe wie links. Das x Quadrat fällt weg, aber diesmal fällt alles Übrige gleich mit.
5. 0:35Zieht man alles auf eine Seite, bleibt null gleich null. Eine wahre Aussage — sie schränkt nichts ein. Jede Zahl aus der Definitionsmenge löst die Gleichung, also ist die Lösungsmenge die ganze Definitionsmenge.
6. 0:48Und warum steht die Zwei nicht in der Lösungsmenge? Rechts allein wäre sie erlaubt: zwei plus zwei ist vier. Aber links steht null durch null — nicht definiert. Eine Zahl, für die eine Seite gar nicht existiert, kann keine Lösung sein.
7. 1:01Damit sind alle drei Ausgänge beisammen. Bleibt eine Zahl, ist es genau eine Lösung. Bleibt eine falsche Aussage, ist die Menge leer. Bleibt eine wahre Aussage, sind es alle erlaubten Zahlen. Und das gilt nicht nur für Bruchgleichungen — es ist dieselbe Dreiteilung wie bei den Gleichungssystemen.

Bruchgleichungen → quadratisch: drei andere Ausgänge

1. 0:00Bisher fiel das x Quadrat immer weg. Wenn es stehen bleibt, gelten andere Regeln: Dann entscheidet nicht mehr die Definitionsmenge allein, sondern zuerst die Diskriminante.
2. 0:10Die Definitionsmenge ist schnell: nur x gleich null ist verboten. Mal x genommen steht rechts x mal Klammer x minus eins — und da entsteht das x Quadrat.
3. 0:20Produkt minus sechs, Summe eins: drei und minus zwei. Beide liegen in der Definitionsmenge, beide gelten. Die Diskriminante war fünfundzwanzig, also positiv — zwei Lösungen.
4. 0:33Zweiter Ausgang, andere Gleichung: x durch x minus zwei gleich acht durch x. Über Kreuz gibt das x Quadrat gleich acht x minus sechzehn, also x minus vier zum Quadrat. Die Diskriminante ist null — eine doppelte Lösung, die Vier.
5. 0:47Dritter Ausgang: x durch x minus zwei gleich drei durch x. Über Kreuz gibt das x Quadrat minus drei x plus sechs. Die Diskriminante ist neun minus vierundzwanzig, also minus fünfzehn — es gibt keine reelle Lösung, obwohl die Definitionsmenge nichts verbietet.
6. 1:03Dazu kommt der vierte Weg, den du aus Folge eins des Verfahrens kennst: Die Gleichung liefert zwei Lösungen, aber eine davon liegt nicht in der Definitionsmenge. Dann bleibt trotz positiver Diskriminante nur eine übrig.
7. 1:15Zum Mitnehmen: Beim linearen Fall gab es eine Zahl, eine falsche Aussage oder eine wahre. Beim quadratischen sind es zwei Lösungen, eine doppelte oder keine — und darüber liegt noch die Definitionsmenge, die streichen kann.

Sichtweite: vierfache Höhe, doppelte Sicht

1. 0:00In der Animation stellst du die Augenhöhe h ein und liest die Sichtweite ab. Wie wächst die Sichtweite mit der Höhe, und wie hoch muss man für hundert Kilometer?
2. 0:10Bei hundert Metern Höhe sieht man drei Komma fünf sieben mal Wurzel aus hundert, also rund fünfunddreissig Komma sieben Kilometer weit.
3. 0:18Jetzt die vierfache Höhe, vierhundert Meter. Die Sichtweite ist rund einundsiebzig Komma vier Kilometer, nur doppelt so weit. Denn die Wurzel aus vier ist zwei.
4. 0:28Bei siebenhundertfünfundsiebzig Metern fehlt noch ein wenig bis zur roten Marke. Für die genaue Höhe dreht man die Frage um: Wurzel separieren, dann quadrieren. Das gibt rund siebenhundertfünfundachtzig Meter.
5. 0:41Merke: Vierfache Höhe gibt nur doppelte Sichtweite, typisch für die Wurzel. Und die Frage nach der Höhe führt auf eine Wurzelgleichung: separieren, quadrieren, fertig.

Scheinlösungs-Labor: Quadrieren verliert das Vorzeichen

1. 0:00In der Animation schaltest du zwischen zwei fast gleichen Gleichungen um: rechts steht einmal plus fünf, einmal minus fünf. Was liefert das Quadrieren, und was zeigt der Graph?
2. 0:11Variante A: Die Wurzelkurve schneidet die Gerade y gleich fünf im Punkt drei, fünf. Quadrieren gibt sechs x plus sieben gleich fünfundzwanzig, also x gleich drei. Die Probe stimmt.
3. 0:23Variante B: Ein Wurzelwert ist nie negativ, die Kurve bleibt über der Geraden y gleich minus fünf. Kein Schnittpunkt. Quadrieren gibt aber wieder x gleich drei. Die Probe zeigt: fünf ist nicht minus fünf. Eine Scheinlösung.
4. 0:37Merke: Nach dem Quadrieren sind plus fünf und minus fünf nicht mehr zu unterscheiden. Beide Varianten liefern x gleich drei. Darum ist die Probe in der Ausgangsgleichung Pflicht.

Pol-Falle: wenn der Kandidat auf der Lücke liegt

1. 0:00In der Animation verschiebst du den Pol n. Mit dem Hauptnenner wird aus der Gleichung immer sechs gleich drei x, also der Kandidat x gleich zwei. Ist er immer eine Lösung?
2. 0:10Mit dem Pol bei drei ist nur die Drei ausgeschlossen. Die beiden Kurven schneiden sich bei x gleich zwei, im Punkt zwei, minus sechs. Der Kandidat ist gültig.
3. 0:20Liegt der Pol bei eins, schneiden sich die Kurven wieder bei x gleich zwei, jetzt im Punkt zwei, sechs. Solange der Pol nicht auf der Zwei liegt, bleibt x gleich zwei die Lösung.
4. 0:31Jetzt liegt der Pol genau auf der Zwei. Der Kandidat fällt in die Definitionslücke, und die Kurven schneiden sich nirgends: Die rechte Seite liegt immer um drei höher. x gleich zwei ist eine Scheinlösung.
5. 0:42Merke: Der Hauptnenner liefert nur Kandidaten. Liegt einer auf einer Definitionslücke, ist er eine Scheinlösung. Darum wird die Definitionsmenge vor dem Lösen notiert und am Schluss geprüft.

Wurzelkurve und Linie: Schnittpunkte zählen

1. 0:00In Aufgabe A1 entscheidest du am Graphen, welche Lösungsmenge passt. Die Kurve ist die linke Seite der Gleichung, die waagrechte Linie die rechte.
2. 0:09Das Vorgehen: Schnittpunkte zählen. Bei Wurzel x gleich fünf trifft die Kurve die Linie genau einmal, bei x gleich fünfundzwanzig. Die Probe: Wurzel aus fünfundzwanzig ist fünf.
3. 0:21Bei Wurzel x gleich minus fünf liegt die Linie unter der x-Achse. Die Kurve beginnt im Ursprung und steigt, sie kommt nie unter die x-Achse. Kein Schnittpunkt, die Lösungsmenge ist leer.
4. 0:32Bei Wurzel aus minus x muss minus x mindestens null sein, also x höchstens null. Die Kurve liegt links vom Ursprung, und der Schnittpunkt auch: x gleich minus neun.
5. 0:43Merke: Jeder Schnittpunkt ist eine Lösung, kein Schnittpunkt heisst leere Menge. Wurzelwerte sind nie negativ, und wo die Wurzel gezeichnet ist, sagt der Radikand.

Potenzgleichungen: die Unbekannte in der Basis

1. 0:00Bei einer Potenzgleichung steht die Unbekannte in der Basis. Gelöst wird sie durch Wurzelziehen — aber die Anzahl der Lösungen hängt am Exponenten.
2. 0:08Bei ungeradem Exponenten ist es einfach: genau eine Lösung, und sie darf negativ sein. X hoch fünf gleich zweiunddreissig gibt zwei, x hoch drei gleich minus acht gibt minus zwei.
3. 0:20Bei geradem Exponenten sind es zwei — plus und minus. X hoch vier gleich sechzehn hat die Lösungen zwei und minus zwei, denn beide ergeben hoch vier sechzehn.
4. 0:31Und der dritte Fall: gerader Exponent, negative rechte Seite. X hoch vier gleich minus sechzehn hat über den reellen Zahlen keine Lösung — eine gerade Potenz wird nie negativ.
5. 0:42Zum Mitnehmen: Der Exponent entscheidet. Ungerade heisst eine Lösung, gerade heisst zwei oder keine — je nach Vorzeichen der rechten Seite.

Wurzelgleichungen: quadrieren und prüfen

1. 0:00Bei einer Wurzelgleichung steht die Unbekannte unter der Wurzel. Man wird sie los, indem man quadriert — und genau dort liegt die Falle.
2. 0:08Vor dem Rechnen zwei Bedingungen: Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, und weil die Wurzel nie negativ ist, muss auch die rechte Seite nichtnegativ sein.
3. 0:18Jetzt quadrieren: zwei x plus drei gleich x Quadrat. Alles auf eine Seite, und es steht eine gewöhnliche quadratische Gleichung da.
4. 0:26Und jetzt die Probe in der ursprünglichen Gleichung. Für drei: Wurzel aus neun ist drei — passt. Für minus eins: Wurzel aus eins ist eins, aber rechts steht minus eins. Das passt nicht.
5. 0:38Der Grund: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Aus minus eins gleich eins wird durch Quadrieren eins gleich eins — aus einer falschen Aussage eine wahre.
6. 0:48Zum Mitnehmen: Bedingungen aufschreiben, quadrieren, lösen, in der ursprünglichen Gleichung prüfen. Der letzte Schritt ist nicht optional.