2.2a Potenz-, Wurzel- und rationale Gleichungen
Steht die Unbekannte unter einer Wurzel, in einer Potenz oder im Nenner eines Bruchs, reichen lineare Umformungen nicht mehr. Der Schlüssel ist die passende Umkehroperation — Wurzelziehen bzw. Potenzieren. Doch Vorsicht: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Es können Scheinlösungen entstehen, und darum gehört die Probe durch Einsetzen immer dazu.
- lineare und nichtlineare Ungleichungen mithilfe einer Grafik oder der Vorzeichentabelle umformen und lösen auch ohne Hilfsmittel
- elementare Potenzgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
- Wurzelgleichungen und rationale Gleichungen lösen, die auf lineare oder quadratische Gleichungen führen auch ohne Hilfsmittel
- elementare Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
- elementare Betragsgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
- Polynomgleichungen höheren Grades lösen, wenn das Polynom als Produkt linearer und quadratischer Faktoren vorliegt auch ohne Hilfsmittel
Diese Seite behandelt die Kompetenzen 2 und 3: Potenz-, Wurzel- und rationale Gleichungen. Exponential- und Logarithmusgleichungen folgen in Teil 2 (s2-2b), Betrags- und Polynomgleichungen sowie Ungleichungen in Teil 3 (s2-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann elementare Potenzgleichungen \(x^n = c\) lösen und weiss, wann es zwei, eine oder keine Lösung gibt.
- Ich kann Wurzelgleichungen durch Separieren und Quadrieren lösen — auch wenn zweimal quadriert werden muss.
- Ich kann Wurzelgleichungen, in denen derselbe Wurzelterm mehrfach vorkommt, per Substitution lösen und anschliessend rücksubstituieren.
- Ich kann erklären, warum Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, und Scheinlösungen durch die Probe in der Ausgangsgleichung entlarven.
- Ich kann die Definitionsmenge einer Wurzel- oder Bruchgleichung bestimmen (Radikand \(\geq 0\), Nenner \(\neq 0\)).
- Ich kann rationale Gleichungen mit dem Hauptnenner in lineare oder quadratische Gleichungen überführen.
- Ich kann Wurzelgleichungen aus Anwendungen aufstellen und lösen (Sichtweite, Pendel, freier Fall).
Einstieg — wie weit sieht man vom Turm?
Von einem erhöhten Standpunkt reicht der Blick bis zum Horizont. Für die Sichtweite \(s\) (in km) bei Augenhöhe \(h\) (in m über Meer, klare Sicht) gilt näherungsweise:
\[ s(h) \approx 3.57 \cdot \sqrt{h} \]Vom Uetliberg-Turm (\(h \approx 900\) m über Meer) sieht man also gut \(100\) km weit. Aber umgekehrt gefragt: Wie hoch muss man steigen, um \(100\) km weit zu sehen? Jetzt steht die Unbekannte unter der Wurzel:
\[ 3.57 \cdot \sqrt{h} = 100 \]Die Frage «welche Höhe für \(100\) km Sicht?» dreht die Funktion um — und führt auf eine Gleichung mit der Unbekannten unter der Wurzel:
- Lösen durch die Umkehroperation: Wurzel separieren, dann quadrieren.
- \(\sqrt{h} = \tfrac{100}{3.57} \Rightarrow h = \left(\tfrac{100}{3.57}\right)^2 \approx 785\) m.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Augenhöhe wird vervierfacht. Um welchen Faktor wächst die Sichtweite \(s = 3.57\sqrt{h}\)?
- Faktor 4
- Faktor 2
- Faktor \(\sqrt{2}\)
Lösung anzeigen
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable unter einer Wurzel vorkommt, heisst .
Lösung anzeigen
Berechne die Sichtweite bei \(h = 25\) m.
Lösung anzeigen
Löse \(3.57\sqrt{h} = 100\) Schritt für Schritt.
Lösungsweg anzeigen
Definitionen — drei Gleichungstypen, eine Idee
Eine Gleichung der Form
\[ x^n = c \qquad n \in \mathbb{N}^*,\ c \in \mathbb{R} \]heisst elementare Potenzgleichung. Gelöst wird sie durch Ziehen der \(n\)-ten Wurzel — die Anzahl Lösungen hängt von der Parität von \(n\) und dem Vorzeichen von \(c\) ab:
| Exponent | \(c > 0\) | \(c = 0\) | \(c < 0\) |
|---|---|---|---|
| \(n\) gerade | \(x = \pm\sqrt[n]{c}\) (zwei) | \(x = 0\) | keine Lösung |
| \(n\) ungerade | \(x = \sqrt[n]{c}\) (eine) | \(x = 0\) | \(x = -\sqrt[n]{|c|}\) (eine) |
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable unter einer Wurzel vorkommt. Beispiel: \(\sqrt{6x+7} - 5 = 0\).
Wurzelgleichungen lassen sich nicht mit einem allgemeinen Verfahren lösen; die Lösungsmenge kann leer sein. In den behandelten Fällen führen elementare Umformungen oder eine Substitution auf Gleichungen ersten oder zweiten Grades.
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Nenner eines Bruchterms vorkommt. Beispiel: \(\dfrac{2}{x-1} + 1 = x\).
Gelöst wird durch Multiplikation mit dem Hauptnenner — vorher gehören alle Werte, die einen Nenner null machen, aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.
Bei Wurzelgleichungen: Radikand \(\geq 0\). Bei Bruchgleichungen: Nenner \(\neq 0\). Die Definitionsmenge \(D\) vor dem Lösen zu notieren kostet eine Zeile — und entlarvt am Schluss manche Scheinlösung sofort. Das Rechnen mit Wurzeln selbst: ↩ 1.2 Potenzen.
Warum Scheinlösungen entstehen — der Blick auf den Graphen
Zwei fast gleiche Gleichungen, zwei verschiedene Welten. Schalte um und vergleiche:
Bei Bruchgleichungen entsteht die Scheinlösung anders: Der Hauptnenner-Trick kann genau den Wert liefern, der einen Nenner null macht. Verschiebe den Pol \(x = n\) und beobachte den Kandidaten \(x = 2\) auf dem D-Strahl darunter.
- Separieren: einen Wurzelausdruck allein auf eine Seite bringen (bei mehreren Wurzeln: auf beide Seiten verteilen).
- Quadrieren (bzw. mit \(n\) potenzieren).
- Falls noch Wurzeln übrig sind: Schritte 1 und 2 wiederholen.
- Die wurzelfreie Gleichung nach \(x\) auflösen.
- Probe: Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung, um Scheinlösungen auszuschliessen.
✏️ Mini-Check — Potenzgleichungen und Scheinlösungen
Wie viele Lösungen hat die Potenzgleichung \(x^4 = -16\)?
- zwei
- eine
- keine
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Das Quadrieren beider Seiten ist keine — es können Scheinlösungen entstehen.
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Löse die Potenzgleichung \(x^3 = -27\).
Lösung anzeigen
Begründe ohne zu rechnen, dass \(\sqrt{x-3} = -2\) keine Lösung hat — und was das Quadrieren trotzdem liefert.
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Die Verfahren an Beispielen
Bestimme \(D\) und \(L\) der Gleichung \(9\sqrt{5x+1} = 20 + 4\sqrt{5x+1}\).
Lösung: Radikand \(\geq 0\): \(5x + 1 \geq 0 \Rightarrow D = \left\{x \in \mathbb{R} \,\middle|\, x \geq -\tfrac{1}{5}\right\}\).
Die gleichartigen Wurzelterme zusammenfassen, dann separieren und quadrieren:
\[ 5\sqrt{5x+1} = 20 \;\Rightarrow\; \sqrt{5x+1} = 4 \;\Rightarrow\; 5x + 1 = 16 \;\Rightarrow\; x = 3 \]Probe: \(9\sqrt{16} = 36 = 20 + 4\sqrt{16}\) ✓ — also \(L = \{3\}\).
Löse \(\sqrt{a-4} = 1 - \sqrt{a+3}\).
Lösung: Erstes Quadrieren (rechts entsteht ein binomischer Ausdruck!):
\[ a - 4 = 1 + (a+3) - 2\sqrt{a+3} \;\Rightarrow\; -8 = -2\sqrt{a+3} \;\Rightarrow\; \sqrt{a+3} = 4 \]Zweites Quadrieren: \(a + 3 = 16 \Rightarrow a = 13\). Probe in der Ausgangsgleichung:
\[ \sqrt{13-4} = 3, \qquad 1 - \sqrt{13+3} = 1 - 4 = -3 \qquad 3 \neq -3 \]\(a = 13\) ist eine Scheinlösung — die Lösungsmenge ist \(L = \{\,\}\).
Löse \(\dfrac{2}{x-1} + 1 = x\).
Lösung: Definitionsmenge: \(x \neq 1\). Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-1)\):
\[ 2 + (x-1) = x(x-1) \;\Rightarrow\; x + 1 = x^2 - x \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 1 = 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \]Beide Werte liegen in \(D\) (keiner ist \(1\)): \(L = \{1 - \sqrt{2};\ 1 + \sqrt{2}\}\) — numerisch \(\approx \{-0.41;\ 2.41\}\).
Wer \(\sqrt{x} + 2 = 5\) direkt quadriert, erhält \(x + 4\sqrt{x} + 4 = 25\) — die Wurzel ist immer noch da, nur die Gleichung ist hässlicher. Erst separieren (\(\sqrt{x} = 3\)), dann quadrieren (\(x = 9\)).
Nach jedem Quadrieren können Scheinlösungen in der Rechnung stehen, die die Ausgangsgleichung nicht erfüllen. Die Probe ist kein «nice to have», sondern Teil des Lösungsverfahrens — ohne sie ist die Lösungsmenge nicht bestimmt.
✏️ Mini-Check — Verfahren
Was ist der richtige erste Schritt bei \(\sqrt{2x+3} - 4 = 1\)?
- Sofort quadrieren
- Die Wurzel separieren: \(\sqrt{2x+3} = 5\)
- Durch 2 teilen
Lösung anzeigen
Bei einer Bruchgleichung multipliziert man mit dem — und schliesst vorher alle Werte aus, die einen Nenner null machen.
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Bestimme die Definitionsmenge von \(\sqrt{4-2x} = 7\).
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Beim Lösen von \(\dfrac{6}{x-2} = \dfrac{3x}{x-2}\) liefert der Hauptnenner \(6 = 3x\), also \(x = 2\). Warum ist die Lösungsmenge trotzdem leer?
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Substitution — wenn dieselbe Wurzel mehrfach auftritt
Tritt derselbe Wurzelterm mehrfach auf, lohnt sich die Ersetzung \(u = \sqrt{T(x)}\): Die Gleichung wird zu einer gewöhnlichen Gleichung in \(u\) (oft quadratisch). Danach Rücksubstitution: jedes gefundene \(u \geq 0\) liefert über \(\sqrt{T(x)} = u\) die zugehörigen \(x\)-Werte — negative \(u\)-Werte entfallen, denn Wurzelwerte sind nie negativ.
Löse \(\sqrt{x^2+5x-5} = \dfrac{4\sqrt{x^2+5x-5} - 3}{\sqrt{x^2+5x-5}}\).
Definitionsmenge: Der Radikand \(x^2+5x-5\) steht auch im Nenner, muss also positiv sein: \(x^2+5x-5 > 0\).
Lösung: Mit \(u = \sqrt{x^2+5x-5}\) wird daraus \(u = \dfrac{4u-3}{u}\), also
\[ u^2 - 4u + 3 = 0 \;\Rightarrow\; (u-1)(u-3) = 0 \;\Rightarrow\; u_1 = 1,\quad u_2 = 3 \]Rücksubstitution \(u_1 = 1\): \(x^2 + 5x - 5 = 1 \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1\) oder \(x = -6\).
Rücksubstitution \(u_2 = 3\): \(x^2 + 5x - 5 = 9 \Rightarrow x^2 + 5x - 14 = 0 \Rightarrow x = 2\) oder \(x = -7\).
Alle vier bestehen die Probe: \(L = \{-7;\ -6;\ 1;\ 2\}\).
| Situation | Werkzeug |
|---|---|
| \(x^n = c\) | \(n\)-te Wurzel ziehen (Paritäts-Tabelle!) |
| eine Wurzel | separieren → quadrieren → Probe |
| zwei Wurzeln | auf beide Seiten verteilen → zweimal quadrieren |
| gleicher Wurzelterm mehrfach | Substitution \(u = \sqrt{T(x)}\) |
| \(x\) im Nenner | \(D\) notieren → Hauptnenner → lösen → \(D\) prüfen |
✏️ Mini-Check — Substitution und Strategie
Bei der Rücksubstitution ergibt sich \(u_2 = -2\) für \(u = \sqrt{T(x)}\). Was folgt daraus?
- \(T(x) = 4\) lösen
- Dieser Fall entfällt
- \(x = -2\) ist Lösung
Lösung anzeigen
Tritt derselbe Wurzelterm mehrfach auf, ersetzt man ihn durch eine neue Variable — das Verfahren heisst .
Lösung anzeigen
Löse \(\sqrt{x^2+9} = 5\).
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Wie viele Proben braucht Beispiel 4 (vier Kandidaten) wirklich — und warum darf man keine weglassen?
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Aufgaben
Wähle eine Gleichung — links siehst du beide Seiten als Graphen. Welche Lösungsmenge passt?
Welche Lösungsmenge gehört zur angezeigten Gleichung?
Die Gleichung \(A(x)\) wird wie angegeben umgeformt zur Gleichung \(N(x)\). Bestimme beide Lösungsmengen: Wo liegt eine Äquivalenzumformung vor, wo kommen Scheinlösungen dazu, wo gehen Lösungen verloren?
- \(A(x):\ \sqrt{x} = 5\) — quadrieren
- \(A(x):\ \sqrt{x} = -5\) — quadrieren
- \(A(x):\ (x+2)(x-2) = 0\) — geteilt durch \((x+2)\)
- \(L_A = \{25\}\), \(N(x): x = 25\), \(L_N = \{25\}\) — hier zufällig äquivalent (die linke Seite war nie negativ).
- \(L_A = \{\,\}\), aber \(N(x): x = 25\) mit \(L_N = \{25\}\) — das Quadrieren hat eine Scheinlösung erzeugt.
- \(L_A = \{-2;\ 2\}\), \(N(x): x - 2 = 0\) mit \(L_N = \{2\}\) — die Division durch \((x+2)\) hat die Lösung \(x = -2\) vernichtet (Division durch null für genau diesen Wert!).
Löse \(x^3 = -27\) und \(x^4 = 81\) (gib bei zwei Lösungen die positive an).
- Ungerader Exponent: genau eine Lösung \(x = \sqrt[3]{-27} = -3\).
- Gerader Exponent, \(c > 0\): zwei Lösungen \(x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3\).
Löse \(\sqrt{4b+16} + 5 = 7\).
Probe: \(\sqrt{-12+16} + 5 = 2 + 5 = 7\) ✓ (der Radikand ist positiv, obwohl \(b\) negativ ist!)
Löse \(3 = \sqrt{20 - 4w}\).
Probe: \(\sqrt{20 - 11} = \sqrt{9} = 3\) ✓
Löse \(\sqrt{x^2+9} = 5\) (gib die positive Lösung an).
Löse \(\dfrac{2}{x-1} + 1 = x\) (gib die grössere Lösung auf zwei Dezimalen an).
\(D: x \neq 1\). Mit \((x-1)\) multiplizieren: \(2 + x - 1 = x^2 - x \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0\), also \(x = 1 \pm \sqrt{2}\). Beide in \(D\): grössere Lösung \(1 + \sqrt{2} \approx 2.41\).
Für die Sichtweite gilt \(s(h) = 3.57\sqrt{h}\) (\(s\) in km, \(h\) in m).
- Wie weit sieht man aus einem Flugzeug in \(3000\) m Höhe?
- Welche Höhe braucht es für \(50\) km Sichtweite? (Wurzelgleichung aufstellen und lösen.)
- \(s = 3.57 \cdot \sqrt{3000} \approx 195.5\) km.
- \(3.57\sqrt{h} = 50 \Rightarrow \sqrt{h} = \tfrac{50}{3.57} \Rightarrow h = \left(\tfrac{50}{3.57}\right)^2 \approx 196.2\) m.
Für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels gilt \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) mit \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\).
- Löse die Formel nach \(l\) auf (Wurzel separieren, quadrieren).
- Wie lang muss ein Pendel für \(T = 2\) s sein (Sekundenpendel)?
- Welche Schwingungsdauer hat ein \(4\) m langes Pendel?
- \(\sqrt{\tfrac{l}{g}} = \tfrac{T}{2\pi} \Rightarrow \tfrac{l}{g} = \tfrac{T^2}{4\pi^2} \Rightarrow l = g \cdot \left(\tfrac{T}{2\pi}\right)^2\).
- \(l = 9.81 \cdot \left(\tfrac{2}{2\pi}\right)^2 \approx 0.99\) m — knapp ein Meter.
- \(T = 2\pi\sqrt{\tfrac{4}{9.81}} \approx 4.01\) s.
Für die Fallzeit aus der Höhe \(h\) (ohne Luftwiderstand) gilt \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) mit \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\).
- Wie lange fällt ein Stein von einer \(80\) m hohen Brücke?
- Aus welcher Höhe fällt ein Körper, der \(3\) s unterwegs ist? (Nach \(h\) auflösen.)
- \(t = \sqrt{\tfrac{2 \cdot 80}{9.81}} \approx 4.04\) s.
- Quadrieren: \(t^2 = \tfrac{2h}{g} \Rightarrow h = \tfrac{g \cdot t^2}{2} = \tfrac{9.81 \cdot 9}{2} \approx 44.1\) m.
Löse die Gleichung
\[ \sqrt{x^2+5x-5} = \frac{4\sqrt{x^2+5x-5} - 3}{\sqrt{x^2+5x-5}} \]- Substituiere \(u = \sqrt{x^2+5x-5}\) und löse die entstehende Gleichung in \(u\).
- Führe beide Rücksubstitutionen durch und bestimme alle \(x\)-Kandidaten.
- Kontrolliere und gib \(L\) an. Gib die kleinste Lösung ein:
Definitionsmenge: Der Radikand \(x^2+5x-5\) steht auch im Nenner, ist also positiv zu fordern (\(x^2+5x-5 > 0\)); alle vier Lösungen erfüllen das.
- \(u = \tfrac{4u-3}{u} \Rightarrow u^2 - 4u + 3 = 0 \Rightarrow u_1 = 1\), \(u_2 = 3\) (beide \(\geq 0\), beide brauchbar).
- \(u_1\): \(x^2+5x-6 = 0 \Rightarrow x \in \{-6;\ 1\}\); \(u_2\): \(x^2+5x-14 = 0 \Rightarrow x \in \{-7;\ 2\}\).
- Alle vier bestehen die Probe (Radikand jeweils \(1\) bzw. \(9\)): \(L = \{-7;\ -6;\ 1;\ 2\}\) — kleinste Lösung \(-7\).
Zusammenfassung
Potenz-, Wurzel- und Bruchgleichungen löst die passende Umkehroperation: Wurzelziehen (Paritäts-Tabelle beachten), Quadrieren nach dem Separieren, Multiplizieren mit dem Hauptnenner. Quadrieren und Hauptnenner-Multiplikation sind keine Äquivalenzumformungen — darum gehören Definitionsmenge (Radikand \(\geq 0\), Nenner \(\neq 0\)) und Probe in der Ausgangsgleichung zwingend zum Verfahren. Gleicher Wurzelterm mehrfach? Substitution.
| Typ | Kennzeichen | Verfahren | Stolperstein |
|---|---|---|---|
| Potenzgleichung | \(x^n = c\) | \(n\)-te Wurzel ziehen | gerades \(n\): \(\pm\)-Fall bzw. keine Lösung |
| Wurzelgleichung | \(x\) unter der Wurzel | separieren → quadrieren → Probe | Scheinlösungen |
| rationale Gleichung | \(x\) im Nenner | \(D\) → Hauptnenner → lösen | Nenner-Nullstellen ausschliessen |
Zusatzmaterial
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