| Exponent | \( c > 0 \) | \( c = 0 \) | \( c < 0 \) |
|---|---|---|---|
| \(n\) gerade | \( x = \pm\sqrt[n]{c} \) (zwei) | \( x = 0 \) | keine Lösung |
| \(n\) ungerade | \( x = \sqrt[n]{c} \) (eine) | \( x = 0 \) | \( x = -\sqrt[n]{|c|} \) (eine) |
Die Lösungsvariable steht unter einer Wurzel. Verfahren: (1) Wurzel separieren (bei mehreren Wurzeln: auf beide Seiten verteilen) · (2) quadrieren · (3) nötigenfalls wiederholen · (4) wurzelfreie Gleichung lösen · (5) Kontrolle in der Ausgangsgleichung.
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung — es können Scheinlösungen entstehen: \( \sqrt{x-3} = -2 \) hat keine Lösung (Wurzelwerte sind nie negativ), quadriert liefert sie aber \( x = 7 \). Definitionsmenge: Radikand \( \geq 0 \).
Tritt derselbe Wurzelterm mehrfach auf: \( u = \sqrt{T(x)} \) setzen, Gleichung in \(u\) lösen (nur \( u \geq 0 \) brauchbar), dann Rücksubstitution \( T(x) = u^2 \).
Die Lösungsvariable steht im Nenner. (1) Definitionsmenge: Nenner-Nullstellen ausschliessen · (2) mit dem Hauptnenner multiplizieren · (3) entstehende lineare oder quadratische Gleichung lösen · (4) Lösungen gegen \(D\) prüfen.
Die passende Umkehroperation löst den Gleichungstyp — aber Quadrieren und Hauptnenner-Multiplikation können Scheinlösungen erzeugen: Definitionsmenge notieren, am Schluss kontrollieren. Gerade Exponenten: an den \(\pm\)-Fall denken.