12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Gib die Lösungsmenge an:
(a) \( x^3 = -27 \) (b) \( x^4 = 81 \) (c) \( x^2 = -9 \)
Entscheide ohne grosse Rechnung, ob die Gleichung lösbar ist:
(a) \( \sqrt{x} = 11 \) (b) \( \sqrt{x} = -11 \) (c) \( \sqrt{-x} = 11 \)
Bestimme die Definitionsmenge von \( \sqrt{5x+1} = 4 \) und von \( \sqrt{4-2x} = 7 \).
Löse \( \sqrt{6x+7} - 5 = 0 \) inklusive Kontrolle.
Löse \( \sqrt{6x+7} + 5 = 0 \). Was liefert das Quadrieren, und wie lautet die Lösungsmenge wirklich?
Löse \( 9\sqrt{5x+1} = 20 + 4\sqrt{5x+1} \).
Löse \( \sqrt{a-4} = 1 - \sqrt{a+3} \) inklusive Kontrolle.
Löse \( \dfrac{6}{x-2} = x + 3 \). Notiere zuerst die Definitionsmenge.
Löse \( \dfrac{2}{x-1} + 1 = x \) (exakte Werte).
Löse \( \sqrt{x^2+9} = 5 \). Welche Rolle spielt der \(\pm\)-Fall?
Die Gleichung \( (x+2)(x-2) = 0 \) wird durch \( (x+2) \) dividiert. Bestimme die Lösungsmengen vor und nach der Umformung — was ist passiert?
Wurzel · Äquivalenzumformung · Scheinlösungen · Kontrolle (Einsetzen in die Ausgangsgleichung).
(a) \( L = \{-3\} \) (ungerader Exponent) · (b) \( L = \{-3;\ 3\} \) · (c) \( L = \{\,\} \) (gerade Potenz nie negativ).
(a) lösbar: \( x = 121 \) · (b) unlösbar (Wurzelwert nie negativ) · (c) lösbar: \( -x = 121 \Rightarrow x = -121 \).
\( 5x+1 \geq 0 \Rightarrow D = \{x \mid x \geq -\tfrac{1}{5}\} \); \( 4-2x \geq 0 \Rightarrow D = \{x \mid x \leq 2\} \).
\( \sqrt{6x+7} = 5 \Rightarrow 6x+7 = 25 \Rightarrow x = 3 \). Kontrolle: \( \sqrt{25} - 5 = 0 \) ✓ — \( L = \{3\} \).
Quadrieren liefert ebenfalls \( x = 3 \) — aber die Kontrolle scheitert: \( \sqrt{25} + 5 = 10 \neq 0 \). Die linke Seite ist stets \( \geq 5 \): \( L = \{\,\} \).
\( 5\sqrt{5x+1} = 20 \Rightarrow \sqrt{5x+1} = 4 \Rightarrow 5x+1 = 16 \Rightarrow x = 3 \). Kontrolle: \( 36 = 36 \) ✓
Quadrieren: \( a-4 = 1 + a + 3 - 2\sqrt{a+3} \Rightarrow \sqrt{a+3} = 4 \Rightarrow a = 13 \). Kontrolle: \( 3 \neq 1 - 4 = -3 \) — Scheinlösung, \( L = \{\,\} \).
\( D: x \neq 2 \). \( 6 = (x+3)(x-2) \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-3) = 0 \Rightarrow L = \{-4;\ 3\} \) (beide in \(D\)).
\( D: x \neq 1 \). \( 2 + x - 1 = x^2 - x \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2} \) — beide in \(D\).
\( x^2 + 9 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \) — die Potenzgleichung im zweiten Schritt hat den \(\pm\)-Fall: \( L = \{-4;\ 4\} \).
Vorher \( L = \{-2;\ 2\} \), nachher \( x - 2 = 0 \Rightarrow L = \{2\} \) — die Division durch \( (x+2) \) ist für \( x = -2 \) eine Division durch null und vernichtet diese Lösung.