Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Exakt lösen (Logarithmus), dann runden.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Finanzmathematik | Zinseszins | ●●○ |
| 2 | Biologie | Algen im See | ●●○ |
| 3 | Wirtschaft | Wertverlust eines Autos | ●●○ |
| 4 | Physik | Radioaktiver Zerfall | ●●● |
| 5 | Meteorologie | Barometrische Höhenformel | ●●● |
| 6 | Alltag / Physik | Kaffee-Abkühlung | ●●● |
Ein Kapital von \( 22\,000 \) CHF wird zu \(4.5\) % angelegt: \( K(n) = 22\,000 \cdot 1.045^n \).
(a) Auf welchen Betrag wächst es in \(6\) Jahren?
(b) Nach wie vielen Jahren erreicht es \( 30\,000 \) CHF?
(c) Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt?
Ein See ist zu \(2.5\) % mit Algen bedeckt; die Fläche verdoppelt sich alle \(4\) Tage: \( A(t) = 2.5 \cdot 2^{t/4} \) (in %).
(a) Welcher Anteil ist nach \(20\) Tagen bedeckt?
(b) Wann ist der See zur Hälfte bedeckt?
(c) Wann vollständig?
Neupreis \( 32\,000 \) CHF, Wertverlust \(22\) % pro Jahr: \( W(n) = 32\,000 \cdot 0.78^n \).
(a) Wie viel ist das Auto nach \(6\) Jahren wert?
(b) Nach wie vielen Jahren ist es noch die Hälfte wert?
(c) Skizziere den Verlauf über \(10\) Jahre.
Ein radioaktiver Stoff hat die Halbwertszeit \(5\) Tage: \( N(t) = N_0 \cdot 0.5^{t/5} \).
(a) Welcher Anteil ist nach \(10\) Tagen noch vorhanden?
(b) Nach wie vielen Tagen ist noch ein Zehntel vorhanden?
(c) Warum genügt «zweimal die Halbwertszeit» nicht für ein Viertel → ein Zehntel?
Näherungsweise gilt \( p(h) = 1013 \cdot 0.5^{\,h/5500} \) (Druck in hPa, Höhe in m).
(a) Berechne den Luftdruck in Bern (\(542\) m) und auf dem Jungfraujoch (\(3471\) m).
(b) In welcher Höhe beträgt der Druck noch \(500\) hPa? (Logarithmieren!)
Ein Kaffee kühlt gegen die Raumtemperatur ab: \( T(t) = 20 + 70 \cdot 0.9^t \) (\(T\) in °C, \(t\) in min).
(a) Wie heiss ist der Kaffee zu Beginn und nach \(5\) Minuten?
(b) Wann erreicht er trinkbare \(40\) °C? (Erst \(0.9^t\) isolieren!)
(c) Warum darf man hier nicht sofort logarithmieren?
(a) \( 22\,000 \cdot 1.045^6 \approx 28\,650 \) CHF.
(b) \( 1.045^n = \tfrac{30}{22} \Rightarrow n = \tfrac{\ln(30/22)}{\ln 1.045} \approx 7.0 \) Jahre.
(c) \( n = \tfrac{\ln 2}{\ln 1.045} \approx 15.7 \) Jahre.
(a) \( 2.5 \cdot 2^5 = 80 \) %.
(b) \( 2^{t/4} = 20 \Rightarrow t = 4\log_2 20 \approx 17.3 \) Tage.
(c) \( 2^{t/4} = 40 \Rightarrow t = 4\log_2 40 \approx 21.3 \) Tage.
(a) \( 32\,000 \cdot 0.78^6 \approx 7206 \) CHF.
(b) \( 0.78^n = 0.5 \Rightarrow n = \tfrac{\ln 0.5}{\ln 0.78} \approx 2.8 \) Jahre.
(c) Fallende Exponentialkurve mit Asymptote \( W = 0 \).
(a) \( 0.5^2 = 0.25 \) — ein Viertel.
(b) \( 0.5^{t/5} = 0.1 \Rightarrow t = 5 \cdot \tfrac{\ln 0.1}{\ln 0.5} \approx 16.6 \) Tage.
(c) Zwei Halbwertszeiten geben den Faktor \( \tfrac{1}{4} \), nicht \( \tfrac{1}{10} \) — exponentieller Zerfall rechnet multiplikativ.
(a) Bern: \( 1013 \cdot 0.5^{542/5500} \approx 946 \) hPa; Jungfraujoch: \( \approx 654 \) hPa.
(b) \( 0.5^{h/5500} = \tfrac{500}{1013} \Rightarrow h = 5500 \cdot \tfrac{\ln(500/1013)}{\ln 0.5} \approx 5600 \) m.
(a) \( T(0) = 90 \) °C; \( T(5) = 20 + 70 \cdot 0.9^5 \approx 61.3 \) °C.
(b) \( 70 \cdot 0.9^t = 20 \Rightarrow 0.9^t = \tfrac{2}{7} \Rightarrow t = \tfrac{\ln(2/7)}{\ln 0.9} \approx 11.9 \) min.
(c) Links steht die Summe \( 20 + 70 \cdot 0.9^t \) — Logarithmieren einer Summe ist nicht zerlegbar. Erst die Potenz isolieren.