2.2b Exponential- und logarithmische Gleichungen
Steht die Unbekannte im Exponenten, holt sie nur das Logarithmieren herunter; steht sie im Logarithmus, befreit sie das Entlogarithmieren. Radioaktiver Zerfall, Zellwachstum und Zinseszins führen genau auf solche Gleichungen. Auch hier gilt: Beide Umformungen sind heikel — Definitionsmenge und Probe gehören dazu.
- lineare und nichtlineare Ungleichungen mithilfe einer Grafik oder der Vorzeichentabelle umformen und lösen auch ohne Hilfsmittel
- elementare Potenzgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
- Wurzelgleichungen und rationale Gleichungen lösen, die auf lineare oder quadratische Gleichungen führen auch ohne Hilfsmittel
- elementare Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
- elementare Betragsgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
- Polynomgleichungen höheren Grades lösen, wenn das Polynom als Produkt linearer und quadratischer Faktoren vorliegt auch ohne Hilfsmittel
Diese Seite behandelt die Kompetenz 4: Exponential- und Logarithmusgleichungen. Potenz-, Wurzel- und rationale Gleichungen stehen in Teil 1 (s2-2a), Betrags- und Polynomgleichungen sowie Ungleichungen in Teil 3 (s2-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Exponentialgleichungen durch Exponentenvergleich lösen, wenn beide Seiten dieselbe Basis haben.
- Ich kann Exponentialgleichungen durch Logarithmieren lösen und weiss, warum das bei Summen nicht funktioniert.
- Ich kann gleiche Basen ausklammern, um Summen in Produkte zu verwandeln, und Gleichungen mit Substitution \(u = a^x\) auf quadratische Gleichungen zurückführen.
- Ich kann logarithmische Gleichungen durch Zusammenfassen und Entlogarithmieren lösen.
- Ich kann die Definitionsmenge logarithmischer Gleichungen bestimmen und Scheinlösungen durch die Probe ausschliessen.
- Ich kann Wachstums- und Zerfallsaufgaben (Kapital, Algen, Wertverlust) als Exponentialgleichungen formulieren und exakt lösen.
Einstieg — wann kippt der See?
Ein See ist zu \(2.5\) % mit Algen bedeckt; die Algenfläche verdoppelt sich alle 4 Tage. Der bedeckte Anteil (in %) nach \(t\) Tagen:
\[ A(t) = 2.5 \cdot 2^{\,t/4} \]Die Frage «wie viel nach \(20\) Tagen?» ist einfaches Einsetzen. Aber: Wann ist der See vollständig bedeckt? Jetzt steht die Unbekannte im Exponenten:
\[ 2.5 \cdot 2^{\,t/4} = 100 \]Die «Wann?»-Frage kehrt die Wachstumsfunktion um und führt auf eine Exponentialgleichung:
- Isolieren: \(2^{t/4} = \tfrac{100}{2.5} = 40\).
- Logarithmieren holt die Unbekannte herunter: \(\tfrac{t}{4} = \log_2 40 \Rightarrow t \approx 21.3\) Tage.
✏️ Mini-Check — Einstieg
Der See ist zur Hälfte bedeckt. Wie lange dauert es noch bis zur vollständigen Bedeckung?
- nochmals gleich lange wie bisher
- 4 Tage
- 8 Tage
Lösung anzeigen
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Exponenten einer Potenz steht, heisst .
Lösung anzeigen
Berechne den bedeckten Anteil nach \(20\) Tagen.
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Stelle die Gleichung für «50 % bedeckt» auf und löse sie exakt.
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Definitionen und Lösungsverfahren
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Exponenten von Potenzen steht. Beispiel: \(7^{4x-13} = 343\).
- Gleiche Basis auf beiden Seiten? Exponentenvergleich: \(a^m = a^n \Rightarrow m = n\).
- Sonst: Potenz isolieren und logarithmieren — das Gesetz \(\log_a u^x = x \cdot \log_a u\) holt die Unbekannte aus dem Exponenten.
- Die entstandene Gleichung mit den üblichen Äquivalenzumformungen lösen.
Ein allgemeines Verfahren gibt es nicht — manche Exponentialgleichungen sind nur mit Näherungsverfahren lösbar. Die Logarithmengesetze: ↩ 1.3 Logarithmen.
Nie logarithmieren, wenn auf einer Seite noch eine Summe oder Differenz steht: \(\log_a(u^x + v)\) lässt sich nicht zerlegen — die Variable bleibt gefangen. Erst ausklammern oder substituieren, bis Produkte dastehen, dann logarithmieren.
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable in den Argumenten von Logarithmen steht. Beispiel: \(\lg(x-3) = 1 - \lg x\).
- Definitionsmenge bestimmen: Alle Logarithmus-Argumente müssen positiv sein.
- Beide Seiten mit den Logarithmengesetzen zu je einem Logarithmusterm zusammenfassen.
- Entlogarithmieren (mit der passenden Basis potenzieren).
- Die entstandene Gleichung lösen und kontrollieren — Entlogarithmieren ist keine Äquivalenzumformung, Scheinlösungen sind möglich.
✏️ Mini-Check — Begriffe und Verfahren
Welche Gleichung ist eine Exponentialgleichung?
- \(x^5 = 32\)
- \(5^x = 32\)
- \(\lg x = 32\)
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Vor dem Entlogarithmieren fasst man beide Seiten mithilfe der zu je einem Logarithmusterm zusammen.
Lösung anzeigen
Löse \(2^x = 16\) durch Exponentenvergleich.
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Warum ist die Definitionsmenge von \(\ln(x+2) = 1 + \ln 3x\) nicht ganz \(\mathbb{R}\)? Bestimme sie.
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Wie viele Lösungen? Der Blick auf die Graphen
Jede Gleichung ist eine Schnittpunkt-Frage: linke Seite gegen rechte Seite. Schalte durch die drei Fälle:
✏️ Mini-Check — Lösungsanzahl
Wie viele Lösungen hat \(5^x = -25\)?
- eine
- zwei
- keine
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Eine streng steigende Exponentialkurve schneidet eine horizontale Gerade \(y = c\) mit \(c > 0\) genau .
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Löse \(10^x = 0.0001\) ohne Taschenrechner.
Lösung anzeigen
Die Gleichung \(3^{2x} + 9 = 10 \cdot 3^x\) hat zwei Lösungen. Warum widerspricht das nicht dem Monotonie-Argument?
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Exponentialgleichungen — die vier Techniken
Löse \(7^{4x-13} = 343\).
Weg 1 (Exponentenvergleich): \(343 = 7^3\), also
\[ 7^{4x-13} = 7^3 \;\Rightarrow\; 4x - 13 = 3 \;\Rightarrow\; x = 4 \]Weg 2 (Logarithmieren): \((4x-13)\ln 7 = \ln 343 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 343 + 13\ln 7}{4\ln 7} = 4\). Beide Wege liefern \(L = \{4\}\) — der Basen-Blick zuerst spart Arbeit.
Löse \(3^x = 8\).
Lösung: Keine gemeinsame Basis — logarithmieren:
\[ x \cdot \ln 3 = \ln 8 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1.893 \]Löse \(3^{x+1} + 3^x = 20\).
Lösung: Links steht eine Summe — logarithmieren verboten! Erst \(3^x\) ausklammern:
\[ 3^x \cdot (3 + 1) = 20 \;\Rightarrow\; 3^x = 5 \;\Rightarrow\; x = \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3} \approx 1.465 \]Löse \(3^{2x} + 9 = 10 \cdot 3^x\).
Lösung: Wegen \(3^{2x} = (3^x)^2\) substituieren wir \(u = 3^x\):
\[ u^2 - 10u + 9 = 0 \;\Rightarrow\; (u-9)(u-1) = 0 \;\Rightarrow\; u_1 = 9,\quad u_2 = 1 \]Rücksubstitution: \(3^x = 9 \Rightarrow x_1 = 2\) und \(3^x = 1 \Rightarrow x_2 = 0\). Also \(L = \{0;\ 2\}\).
✏️ Mini-Check — Exponentialgleichungen
Was ist der richtige erste Schritt bei \(5^{y+1} + 5^{y-1} = 130\)?
- Sofort logarithmieren
- \(5^{y-1}\) ausklammern
- Substituieren mit \(u = y\)
Lösung anzeigen
Kommt \(a^{2x}\) zusammen mit \(a^x\) vor, hilft die Substitution \(u = \) — sie führt auf eine quadratische Gleichung.
Lösung anzeigen
Löse \(11^{\,\frac{3x+1}{2}} = 11^{\,\frac{x-4}{6}}\).
Lösung anzeigen
Bei der Substitution \(u = 2^x\) ergibt sich \(u_2 = -1\). Was folgt daraus für die Lösungsmenge?
Lösungsweg anzeigen
Logarithmische Gleichungen
Löse \(\ln(x+2) = 1 + \ln 3x\).
Lösung: Definitionsmenge: \(x + 2 > 0 \wedge 3x > 0 \Rightarrow D = \,]0;\ \infty[\). Zusammenfassen:
\[ \ln(x+2) - \ln 3x = 1 \;\Rightarrow\; \ln\frac{x+2}{3x} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{x+2}{3x} = e \] \[ x + 2 = 3ex \;\Rightarrow\; (3e-1)\,x = 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{2}{3e-1} \approx 0.280 \]Der Wert liegt in \(D\): \(L = \left\{\tfrac{2}{3e-1}\right\}\).
Löse \(\lg(x-3) = 1 - \lg x\).
Lösung: Beide Logarithmus-Argumente müssen positiv sein: \(x-3 > 0\) und \(x > 0\), zusammen also \(D: x > 3\). Zusammenfassen und entlogarithmieren:
\[ \lg\bigl((x-3) \cdot x\bigr) = 1 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x = 10 \;\Rightarrow\; (x-5)(x+2) = 0 \]Kandidaten \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Probe: \(x_1 = 5\) passt (\(\lg 2 = 1 - \lg 5\) ✓); bei \(x_2 = -2\) wäre \(\lg(-5)\) nicht definiert — Scheinlösung. Also \(L = \{5\}\).
Warum verschwindet der zweite Kandidat? Beide Seiten von \(\lg(x-u) = 1 - \lg x\) sind nur rechts der Definitionsgrenze \(x = u\) überhaupt gezeichnet. Verschiebe \(u\) und beobachte, wie der negative Kandidat immer links des D-Strahls liegt — ausserhalb der Definitionsmenge.
Löse \(3\lg x^2 + 7 = 13\).
Lösung: \(\lg x^2 = 2\), entlogarithmieren: \(x^2 = 100 \Rightarrow x = \pm 10\). Beide bestehen die Probe (\(x^2\) ist positiv): \(L = \{-10;\ 10\}\).
Achtung: Wer stattdessen \(3\lg x^2 = 6\lg x\) setzt, erhält nur \(x = 10\) — die Lösung \(-10\) geht verloren! Korrekt wäre \(\lg x^2 = 2\lg|x|\). Auch so können also Lösungen verschwinden, nicht nur Scheinlösungen dazukommen.
Wer die Bedingung «Argumente positiv» überspringt, merkt nicht, dass ein Kandidat wie \(x = -2\) in Beispiel 6 von Anfang an unzulässig war. \(D\) zuerst notieren — die Probe wird dann zum schnellen Abgleich.
| Situation | Werkzeug |
|---|---|
| gleiche Basis möglich | Exponentenvergleich \(a^m = a^n \Rightarrow m = n\) |
| Produkt von Potenzen | logarithmieren, Gesetze anwenden |
| Summe gleicher Basen | ausklammern → Produkt → logarithmieren |
| \(a^{2x}\) und \(a^x\) gemischt | Substitution \(u = a^x\) → quadratische Gleichung |
| \(x\) im Logarithmus | \(D\) → zusammenfassen → entlogarithmieren → Probe |
✏️ Mini-Check — logarithmische Gleichungen
Was bedeutet «entlogarithmieren» bei \(\lg T(x) = 2\)?
- \(T(x) = 2^{10}\)
- \(T(x) = 10^2\)
- \(T(x) = \lg 2\)
Lösung anzeigen
Die Argumente aller Logarithmen müssen sein — das legt die Definitionsmenge fest.
Lösung anzeigen
Löse \(\lg(x+3) = 2\).
Lösung anzeigen
Löse \(\log_2 u + \log_2(u-2) = 3\) inklusive Probe.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Gleichung — der Graph zeigt beide Seiten. Welche Lösungsmenge passt?
Welche Lösungsmenge gehört zur angezeigten Gleichung?
Ordne jeder Gleichung das passende Werkzeug zu (Exponentenvergleich · Logarithmieren · Ausklammern · Substitution · Entlogarithmieren) — ohne zu rechnen:
- \(5^{2x} = 7 \cdot 3^{x-1}\)
- \(2^{x-1} = 32\)
- \(4^x - 7 \cdot 2^x = 8\)
- \(\ln z + \ln 2 = 3\)
- \(2^{3x+1} - 3^{x-1} = 2^{3x+2} - 3^{x+1}\)
- Logarithmieren — Produkt von Potenzen, verschiedene Basen.
- Exponentenvergleich — \(32 = 2^5\), also \(x - 1 = 5 \Rightarrow x = 6\).
- Substitution \(u = 2^x\) — denn \(4^x = (2^x)^2\).
- Entlogarithmieren — logarithmische Gleichung: \(\ln 2z = 3 \Rightarrow z = \tfrac{e^3}{2}\).
- Ausklammern — Basen sortieren, \(2^{3x+1}\) bzw. \(3^{x-1}\) ausklammern, dann logarithmieren.
Löse \(2^x = 16\) und \(10^x = 0.0001\).
\(2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4\) und \(10^x = 10^{-4} \Rightarrow x = -4\).
Löse \(3^x = 8\) (zwei Dezimalen).
Löse \(4^x - 7 \cdot 2^x = 8\).
\(u = 2^x\): \(u^2 - 7u - 8 = 0 \Rightarrow (u-8)(u+1) = 0\). \(u = -1\) entfällt (\(2^x > 0\)); \(u = 8 \Rightarrow x = \log_2 8 = 3\). \(L = \{3\}\).
Löse \(\lg(x+3) = 2\).
Löse \(\log_2 u + \log_2(u-2) = 3\).
\(D: u > 2\). \(\log_2\bigl(u(u-2)\bigr) = 3 \Rightarrow u^2 - 2u - 8 = 0 \Rightarrow (u-4)(u+2) = 0\). Nur \(u = 4\) liegt in \(D\): \(L = \{4\}\).
Ein Kapital von \(22\,000\) CHF wird zu \(4.5\) % Jahreszins angelegt: \(K(n) = 22\,000 \cdot 1.045^n\).
- Auf welchen Betrag wächst das Kapital in \(6\) Jahren?
- Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? (Exponentialgleichung!)
- \(K(6) = 22\,000 \cdot 1.045^6 \approx 28\,649.72\) CHF.
- \(1.045^n = 2 \Rightarrow n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.045} \approx 15.75\) Jahre.
Zum Einstieg: \(A(t) = 2.5 \cdot 2^{t/4}\) (Anteil in %, \(t\) in Tagen).
- Welcher Teil des Sees ist nach \(20\) Tagen bedeckt?
- Nach wie vielen Tagen ist der See zur Hälfte bedeckt? (Exakt lösen, dann runden.)
- \(A(20) = 2.5 \cdot 2^5 = 80\) %.
- \(2^{t/4} = 20 \Rightarrow t = 4 \cdot \log_2 20 = 4 \cdot \tfrac{\ln 20}{\ln 2} \approx 17.29\) Tage.
Ein Auto kostet neu \(32\,000\) CHF und verliert pro Jahr \(22\) % an Wert: \(W(n) = 32\,000 \cdot 0.78^n\).
- Wie viel ist das Auto nach \(6\) Jahren noch wert?
- Nach wie vielen Jahren ist es noch die Hälfte wert?
- \(W(6) = 32\,000 \cdot 0.78^6 \approx 7206\) CHF.
- \(0.78^n = 0.5 \Rightarrow n = \dfrac{\ln 0.5}{\ln 0.78} \approx 2.79\) Jahre — nach knapp drei Jahren!
Zwischen der Magnitude \(M\) eines Erdbebens und der freigesetzten äquivalenten Energie \(W\) (in Tonnen TNT) gilt näherungsweise:
\[ M = 2 + \tfrac{2}{3}\lg W \]- Löse die Formel nach \(W\) auf (logarithmische Gleichung!).
- Welcher Energie entspricht das Basler Beben von 1356 (\(M = 6.6\))?
- Um welchen Faktor wächst \(W\), wenn \(M\) um \(1\) steigt?
- \(\lg W = \tfrac{3}{2}(M-2) \Rightarrow W = 10^{\,1.5\,(M-2)}\).
- \(W = 10^{\,1.5 \cdot 4.6} = 10^{6.9} \approx 7.9\) Millionen Tonnen TNT.
- \(\Delta M = 1 \Rightarrow\) Faktor \(10^{1.5} \approx 31.6\) — eine Magnitude mehr heisst gut \(30\)-fache Energie.
Zusammenfassung
Steht die Unbekannte im Exponenten: gleiche Basis suchen (Exponentenvergleich) oder logarithmieren — aber nie bei Summen; die verwandelt erst das Ausklammern in Produkte, und \(a^{2x}\)-Terme knackt die Substitution \(u = a^x\). Steht die Unbekannte im Logarithmus: Definitionsmenge notieren, zu einem Logarithmusterm zusammenfassen, entlogarithmieren, kontrollieren. Beide Umkehrwege können Scheinlösungen erzeugen oder Lösungen verlieren — \(D\) und Probe sind Teil des Verfahrens.
| Typ | Kennzeichen | Verfahren | Stolperstein |
|---|---|---|---|
| Exponentialgleichung | \(x\) im Exponenten | Exponentenvergleich · logarithmieren · ausklammern · Substitution | Summen nicht logarithmieren; \(a^x = c \leq 0\) unlösbar |
| logarithmische Gleichung | \(x\) im Logarithmus-Argument | \(D\) → zusammenfassen → entlogarithmieren | Scheinlösungen; \(\lg x^2 = 2\lg|x|\) (verlorene Lösung) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Algenteppich: die letzte Verdopplung dauert vier Tage
- 0:00Ein See ist zu zwei Komma fünf Prozent mit Algen bedeckt, die Fläche verdoppelt sich alle vier Tage. Wann ist er ganz bedeckt?
- 0:09Nach sechzehn Tagen sind erst vierzig Prozent bedeckt. Der See wirkt noch halbwegs in Ordnung.
- 0:19Vier Tage später ist die Fläche doppelt so gross, achtzig Prozent. Jede Verdopplung dauert vier Tage, egal wie viel schon bedeckt ist.
- 0:28Am Tag einundzwanzig sind es gut fünfundneunzig Prozent. Genau rechnet das Logarithmieren: t gleich vier mal Logarithmus zur Basis zwei von vierzig, rund einundzwanzig Komma drei Tage. Ab Tag sechzehn bleiben also nur fünf Komma drei Tage.
- 0:43Merke: Von fünfzig auf hundert Prozent fehlt nur eine Verdopplung, also vier Tage. Die genaue Zeit liefert das Logarithmieren: rund einundzwanzig Komma drei Tage.
Schnittpunkt-Frage: eine, zwei oder keine Lösung
- 0:00Jede Gleichung ist eine Schnittpunkt-Frage: Die linke Seite ist die blaue Kurve, die rechte die orange. Wie viele Schnittpunkte gibt es?
- 0:09Drei hoch x gleich acht: Die Kurve steigt streng und trifft die Waagrechte genau einmal, bei x ungefähr eins Komma acht neun.
- 0:19Hier stehen zwei gekrümmte Kurven gegeneinander, sie schneiden sich zweimal. Die Substitution u gleich drei hoch x findet beide: u gleich eins gibt x gleich null, u gleich neun gibt x gleich zwei.
- 0:31Zwei hoch x gleich minus vier: Die Kurve bleibt immer über der x-Achse, die Waagrechte liegt darunter. Kein Schnittpunkt, die Lösungsmenge ist leer.
- 0:41Merke: Die Lösungen sind die Schnittstellen der beiden Seiten. Eine Exponentialfunktion ist immer positiv, darum hat zwei hoch x gleich minus vier keine Lösung. Kommen a hoch zwei x und a hoch x zusammen vor, hilft die Substitution, und es kann zwei Lösungen geben.
Scheinlösung: der negative Kandidat liegt ausserhalb von D
- 0:00Links steht Logarithmus von x minus u, rechts eins minus Logarithmus von x. Das Zusammenfassen liefert zwei Kandidaten. Welcher liegt in der Definitionsmenge?
- 0:10Mit u gleich drei: Zusammenfassen und Entlogarithmieren gibt x Quadrat minus drei x minus zehn gleich null. Die Kandidaten sind fünf und minus zwei. Im grünen Bereich, x grösser drei, liegt nur die Fünf.
- 0:24Bei u gleich fünf sind es sechs Komma fünf drei und minus eins Komma fünf drei. Ihr Produkt ist immer minus zehn, also ist einer immer negativ.
- 0:34Mit u gleich eins Komma fünf: Bei minus zwei Komma fünf gibt es keine Kurve und keinen Schnittpunkt, denn der Logarithmus von minus vier ist nicht definiert. Die Probe mit vier stimmt.
- 0:44Merke: Beide Argumente müssen positiv sein, also x grösser u. Der negative Kandidat erfüllt nur die entlogarithmierte Gleichung, weil beide Faktoren negativ sind. Er ist eine Scheinlösung.
Lösungsmenge am Graphen: erreicht die Kurve die Waagrechte?
- 0:00In Aufgabe A1 zeigt die blaue Kurve die linke Seite der Gleichung, die orange Waagrechte die rechte. Das Vorgehen: Schnittpunkt suchen, x-Wert ablesen.
- 0:10Zwei hoch x gleich acht: Kurve und Waagrechte schneiden sich bei x gleich drei. Die Probe bestätigt es: zwei hoch drei ist acht.
- 0:20Bei zwei hoch x gleich minus zwei liegt die Waagrechte unter der x-Achse. Die Kurve nähert sich der Achse nach links, unterschreitet sie aber nie. Kein Schnittpunkt.
- 0:29Bei Logarithmus von x gleich minus eins: Die Logarithmuskurve beginnt rechts der y-Achse und läuft dort nach unten aus dem Bild. Sie trifft die Waagrechte bei x gleich null Komma eins.
- 0:41Merke: Eine Exponentialkurve bleibt immer über der x-Achse, darum hat a hoch x gleich einer Zahl kleiner oder gleich null keine Lösung. Die Logarithmuskurve dagegen nimmt jeden Wert an: Logarithmus von x gleich c hat immer die Lösung zehn hoch c.
Exponentialgleichungen: die Unbekannte im Exponenten
- 0:00Jetzt steht die Unbekannte im Exponenten. Dafür gibt es zwei Wege, und man probiert immer zuerst den einfacheren.
- 0:08Der erste Weg: beide Seiten als Potenz derselben Basis schreiben. Zwei hoch x gleich zweiunddreissig — und zweiunddreissig ist zwei hoch fünf. Sind die Basen gleich, müssen die Exponenten gleich sein.
- 0:20Auch mit einem Term im Exponenten: Drei hoch x plus eins gleich einundachtzig. Einundachtzig ist drei hoch vier, also ist x plus eins gleich vier und x gleich drei.
- 0:31Wenn keine gemeinsame Basis zu finden ist, hilft der Logarithmus. Zwei hoch x gleich zehn — auf beiden Seiten logarithmieren, und das dritte Logarithmusgesetz holt das x nach vorn.
- 0:41Zum Mitnehmen: erst nach gleicher Basis suchen, sonst logarithmieren. Und der Logarithmus ist kein Trick, sondern genau die Umkehrung, die man braucht.
Logarithmusgleichungen: erst zusammenfassen, dann prüfen
- 0:00Bei einer Logarithmusgleichung steht die Unbekannte im Argument. Zwei Logarithmen auf einer Seite — die fasst man zuerst zusammen.
- 0:08Aber vor allem anderen: die Definitionsmenge. Jedes Argument muss positiv sein — x grösser null und x minus zwei grösser null. Zusammen also x grösser zwei.
- 0:18Jetzt das erste Logarithmusgesetz rückwärts: Eine Summe von Logarithmen ist der Logarithmus des Produkts. Es steht nur noch ein Logarithmus da.
- 0:27Und jetzt die Definition: Wenn der Logarithmus zur Basis zwei gleich drei ist, dann ist das Argument zwei hoch drei, also acht.
- 0:36Und die Definitionsmenge entscheidet: Vier liegt darin, minus zwei nicht. Die Lösungsmenge enthält nur die Vier.
- 0:44Zum Mitnehmen: Definitionsmenge zuerst, dann zusammenfassen, dann die Definition anwenden — und am Schluss vergleichen.
Zusatzmaterial
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