Schwerpunktfach · Lerngebiet 2 · Gleichungen · 50 Lektionen

2.2b Exponential- und logarithmische Gleichungen

RLP 2.2 · Teil 2 von 3

Steht die Unbekannte im Exponenten, holt sie nur das Logarithmieren herunter; steht sie im Logarithmus, befreit sie das Entlogarithmieren. Radioaktiver Zerfall, Zellwachstum und Zinseszins führen genau auf solche Gleichungen. Auch hier gilt: Beide Umformungen sind heikel — Definitionsmenge und Probe gehören dazu.

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 2.2

lineare und nichtlineare Ungleichungen mithilfe einer Grafik oder der Vorzeichentabelle umformen und lösen auch ohne Hilfsmittel
elementare Potenzgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
Wurzelgleichungen und rationale Gleichungen lösen, die auf lineare oder quadratische Gleichungen führen auch ohne Hilfsmittel
elementare Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
elementare Betragsgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
Polynomgleichungen höheren Grades lösen, wenn das Polynom als Produkt linearer und quadratischer Faktoren vorliegt auch ohne Hilfsmittel

Diese Seite behandelt die Kompetenz 4: Exponential- und Logarithmusgleichungen. Potenz-, Wurzel- und rationale Gleichungen stehen in Teil 1 (s2-2a), Betrags- und Polynomgleichungen sowie Ungleichungen in Teil 3 (s2-2c).

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann Exponentialgleichungen durch Exponentenvergleich lösen, wenn beide Seiten dieselbe Basis haben.
Ich kann Exponentialgleichungen durch Logarithmieren lösen und weiss, warum das bei Summen nicht funktioniert.
Ich kann gleiche Basen ausklammern, um Summen in Produkte zu verwandeln, und Gleichungen mit Substitution \(u = a^x\) auf quadratische Gleichungen zurückführen.
Ich kann logarithmische Gleichungen durch Zusammenfassen und Entlogarithmieren lösen.
Ich kann die Definitionsmenge logarithmischer Gleichungen bestimmen und Scheinlösungen durch die Probe ausschliessen.
Ich kann Wachstums- und Zerfallsaufgaben (Kapital, Algen, Wertverlust) als Exponentialgleichungen formulieren und exakt lösen.

Einstieg — wann kippt der See?

Ein See ist zu \(2.5\) % mit Algen bedeckt; die Algenfläche verdoppelt sich alle 4 Tage. Der bedeckte Anteil (in %) nach \(t\) Tagen:

\[ A(t) = 2.5 \cdot 2^{\,t/4} \]

Die Frage «wie viel nach \(20\) Tagen?» ist einfaches Einsetzen. Aber: Wann ist der See vollständig bedeckt? Jetzt steht die Unbekannte im Exponenten:

\[ 2.5 \cdot 2^{\,t/4} = 100 \]

🌿 Algenteppich: \(A(t) = 2.5 \cdot 2^{t/4}\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Nach \(16\) Tagen wirkt der See noch halbwegs in Ordnung (\(40\) %). Wie viele Tage bleiben ab da noch bis zur vollständigen Bedeckung? Beobachte die letzten Verdopplungen.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Von \(50\) % auf \(100\) % dauert es nur noch eine Verdopplung — vier Tage. Exakt beantwortet die Frage nur das Logarithmieren: \(2^{t/4} = 40 \Rightarrow t = 4\log_2 40 \approx 21.3\) Tage.

Start 2.5 % · Verdopplung alle 4 Tage · 100-%-Marke rot gestrichelt

Zeit \(t\) [d] 12.0 d

Auswertung

A(12.0) = 20.0 %

📘 Was sehen wir?

Die «Wann?»-Frage kehrt die Wachstumsfunktion um und führt auf eine Exponentialgleichung:

Isolieren: \(2^{t/4} = \tfrac{100}{2.5} = 40\).
Logarithmieren holt die Unbekannte herunter: \(\tfrac{t}{4} = \log_2 40 \Rightarrow t \approx 21.3\) Tage.

✏️ Mini-Check — Einstieg

Multiple Choice

Der See ist zur Hälfte bedeckt. Wie lange dauert es noch bis zur vollständigen Bedeckung?

nochmals gleich lange wie bisher
4 Tage
8 Tage

Lösung anzeigen

B. Eine Verdopplung fehlt noch — also genau eine Verdopplungszeit von \(4\) Tagen.

Lückentext

Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Exponenten einer Potenz steht, heisst .

Lösung anzeigen

Exponentialgleichung.

Kurze Rechnung

Berechne den bedeckten Anteil nach \(20\) Tagen.

Lösung anzeigen

\(A(20) = 2.5 \cdot 2^5 = 2.5 \cdot 32 = 80\) %.

Transfer

Stelle die Gleichung für «50 % bedeckt» auf und löse sie exakt.

Lösungsweg anzeigen

\(2.5 \cdot 2^{t/4} = 50 \Rightarrow 2^{t/4} = 20 \Rightarrow \tfrac{t}{4} = \log_2 20 \Rightarrow t = 4\log_2 20 \approx 17.3\) Tage.

Definitionen und Lösungsverfahren

📘 Definition — Exponentialgleichung

Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Exponenten von Potenzen steht. Beispiel: \(7^{4x-13} = 343\).

📘 Lösen von Exponentialgleichungen

Gleiche Basis auf beiden Seiten? Exponentenvergleich: \(a^m = a^n \Rightarrow m = n\).
Sonst: Potenz isolieren und logarithmieren — das Gesetz \(\log_a u^x = x \cdot \log_a u\) holt die Unbekannte aus dem Exponenten.
Die entstandene Gleichung mit den üblichen Äquivalenzumformungen lösen.

Ein allgemeines Verfahren gibt es nicht — manche Exponentialgleichungen sind nur mit Näherungsverfahren lösbar. Die Logarithmengesetze: ↩ 1.3 Logarithmen.

⚠ Häufiger Fehler — Logarithmieren bei Summen

Nie logarithmieren, wenn auf einer Seite noch eine Summe oder Differenz steht: \(\log_a(u^x + v)\) lässt sich nicht zerlegen — die Variable bleibt gefangen. Erst ausklammern oder substituieren, bis Produkte dastehen, dann logarithmieren.

📘 Definition — Logarithmische Gleichung

Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable in den Argumenten von Logarithmen steht. Beispiel: \(\lg(x-3) = 1 - \lg x\).

📘 Lösen von logarithmischen Gleichungen

Definitionsmenge bestimmen: Alle Logarithmus-Argumente müssen positiv sein.
Beide Seiten mit den Logarithmengesetzen zu je einem Logarithmusterm zusammenfassen.
Entlogarithmieren (mit der passenden Basis potenzieren).
Die entstandene Gleichung lösen und kontrollieren — Entlogarithmieren ist keine Äquivalenzumformung, Scheinlösungen sind möglich.

✏️ Mini-Check — Begriffe und Verfahren

Multiple Choice

Welche Gleichung ist eine Exponentialgleichung?

\(x^5 = 32\)
\(5^x = 32\)
\(\lg x = 32\)

Lösung anzeigen

B. Die Variable steht im Exponenten. \(x^5 = 32\) ist eine Potenzgleichung (Teil 1), \(\lg x = 32\) eine logarithmische Gleichung.

Lückentext

Vor dem Entlogarithmieren fasst man beide Seiten mithilfe der zu je einem Logarithmusterm zusammen.

Lösung anzeigen

Logarithmengesetze.

Kurze Rechnung

Löse \(2^x = 16\) durch Exponentenvergleich.

Lösung anzeigen

\(2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4\).

Transfer

Warum ist die Definitionsmenge von \(\ln(x+2) = 1 + \ln 3x\) nicht ganz \(\mathbb{R}\)? Bestimme sie.

Lösungsweg anzeigen

Beide Argumente müssen positiv sein: \(x + 2 > 0\) und \(3x > 0\), also \(x > -2 \wedge x > 0\). Zusammen: \(D = \,]0;\ \infty[\).

Wie viele Lösungen? Der Blick auf die Graphen

Jede Gleichung ist eine Schnittpunkt-Frage: linke Seite gegen rechte Seite. Schalte durch die drei Fälle:

Gleichung als Schnittpunkt-Frage

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Zähle bei jeder Variante die Schnittpunkte. Bei der Substitutions-Gleichung: Wo liegen die beiden Schnittstellen — und was haben sie mit \(3^x = 1\) bzw. \(3^x = 9\) zu tun?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

\(3^x = 8\) hat genau eine Lösung (streng steigende Kurve gegen Horizontale). \(3^{2x} + 9 = 10 \cdot 3^x\) hat zwei — die Substitution \(u = 3^x\) findet beide. Und \(2^x = -4\) hat keine: Exponentialwerte sind nie negativ.

Linke Seite blau · rechte Seite orange · Schnittpunkte = Lösungen

Lösung

x = log₃(8) = ln 8 / ln 3 ≈ 1.89 · L = {1.89}

✏️ Mini-Check — Lösungsanzahl

Multiple Choice

Wie viele Lösungen hat \(5^x = -25\)?

eine
zwei
keine

Lösung anzeigen

C. \(5^x > 0\) für alle \(x\) — die Kurve erreicht \(-25\) nie.

Lückentext

Eine streng steigende Exponentialkurve schneidet eine horizontale Gerade \(y = c\) mit \(c > 0\) genau .

Lösung anzeigen

einmal — darum hat \(a^x = c\) für \(c > 0\) genau eine Lösung.

Kurze Rechnung

Löse \(10^x = 0.0001\) ohne Taschenrechner.

Lösung anzeigen

\(0.0001 = 10^{-4}\), Exponentenvergleich: \(x = -4\).

Transfer

Die Gleichung \(3^{2x} + 9 = 10 \cdot 3^x\) hat zwei Lösungen. Warum widerspricht das nicht dem Monotonie-Argument?

Lösungsweg anzeigen

Hier stehen zwei gekrümmte Kurven gegeneinander (links \(3^{2x}+9\), rechts \(10 \cdot 3^x\)) — nicht steigend gegen fallend. Zwei gekrümmte Kurven können sich mehrfach schneiden; die Substitution \(u = 3^x\) macht daraus eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen.

Exponentialgleichungen — die vier Techniken

🟢 Beispiel 1 — Exponentenvergleich oder Logarithmieren

Löse \(7^{4x-13} = 343\).

Weg 1 (Exponentenvergleich): \(343 = 7^3\), also

\[ 7^{4x-13} = 7^3 \;\Rightarrow\; 4x - 13 = 3 \;\Rightarrow\; x = 4 \]

Weg 2 (Logarithmieren): \((4x-13)\ln 7 = \ln 343 \Rightarrow x = \dfrac{\ln 343 + 13\ln 7}{4\ln 7} = 4\). Beide Wege liefern \(L = \{4\}\) — der Basen-Blick zuerst spart Arbeit.

🟢 Beispiel 2 — Logarithmieren bei verschiedenen Basen

Löse \(3^x = 8\).

Lösung: Keine gemeinsame Basis — logarithmieren:

\[ x \cdot \ln 3 = \ln 8 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1.893 \]

🟢 Beispiel 3 — Summe durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln

Löse \(3^{x+1} + 3^x = 20\).

Lösung: Links steht eine Summe — logarithmieren verboten! Erst \(3^x\) ausklammern:

\[ 3^x \cdot (3 + 1) = 20 \;\Rightarrow\; 3^x = 5 \;\Rightarrow\; x = \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3} \approx 1.465 \]

🟢 Beispiel 4 — Substitution \(u = a^x\)

Löse \(3^{2x} + 9 = 10 \cdot 3^x\).

Lösung: Wegen \(3^{2x} = (3^x)^2\) substituieren wir \(u = 3^x\):

\[ u^2 - 10u + 9 = 0 \;\Rightarrow\; (u-9)(u-1) = 0 \;\Rightarrow\; u_1 = 9,\quad u_2 = 1 \]

Rücksubstitution: \(3^x = 9 \Rightarrow x_1 = 2\) und \(3^x = 1 \Rightarrow x_2 = 0\). Also \(L = \{0;\ 2\}\).

✏️ Mini-Check — Exponentialgleichungen

Multiple Choice

Was ist der richtige erste Schritt bei \(5^{y+1} + 5^{y-1} = 130\)?

Sofort logarithmieren
\(5^{y-1}\) ausklammern
Substituieren mit \(u = y\)

Lösung anzeigen

B. \(5^{y-1}(5^2 + 1) = 130 \Rightarrow 5^{y-1} = 5 \Rightarrow y = 2\). Logarithmieren scheitert an der Summe.

Lückentext

Kommt \(a^{2x}\) zusammen mit \(a^x\) vor, hilft die Substitution \(u = \) — sie führt auf eine quadratische Gleichung.

Lösung anzeigen

\(a^x\) — denn \(a^{2x} = (a^x)^2 = u^2\).

Kurze Rechnung

Löse \(11^{\,\frac{3x+1}{2}} = 11^{\,\frac{x-4}{6}}\).

Lösung anzeigen

Exponentenvergleich: \(\tfrac{3x+1}{2} = \tfrac{x-4}{6} \Rightarrow 3(3x+1) = x - 4 \Rightarrow 8x = -7 \Rightarrow x = -\tfrac{7}{8}\).

Transfer

Bei der Substitution \(u = 2^x\) ergibt sich \(u_2 = -1\). Was folgt daraus für die Lösungsmenge?

Lösungsweg anzeigen

\(2^x = -1\) hat keine Lösung, denn Exponentialwerte sind stets positiv — dieser Fall entfällt ersatzlos. Nur die positiven \(u\)-Werte liefern über \(x = \log_2 u\) Lösungen.

Logarithmische Gleichungen

🟢 Beispiel 5 — Zusammenfassen und Entlogarithmieren

Löse \(\ln(x+2) = 1 + \ln 3x\).

Lösung: Definitionsmenge: \(x + 2 > 0 \wedge 3x > 0 \Rightarrow D = \,]0;\ \infty[\). Zusammenfassen:

\[ \ln(x+2) - \ln 3x = 1 \;\Rightarrow\; \ln\frac{x+2}{3x} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{x+2}{3x} = e \] \[ x + 2 = 3ex \;\Rightarrow\; (3e-1)\,x = 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{2}{3e-1} \approx 0.280 \]

Der Wert liegt in \(D\): \(L = \left\{\tfrac{2}{3e-1}\right\}\).

🟢 Beispiel 6 — Scheinlösung bei logarithmischen Gleichungen

Löse \(\lg(x-3) = 1 - \lg x\).

Lösung: Beide Logarithmus-Argumente müssen positiv sein: \(x-3 > 0\) und \(x > 0\), zusammen also \(D: x > 3\). Zusammenfassen und entlogarithmieren:

\[ \lg\bigl((x-3) \cdot x\bigr) = 1 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x = 10 \;\Rightarrow\; (x-5)(x+2) = 0 \]

Kandidaten \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Probe: \(x_1 = 5\) passt (\(\lg 2 = 1 - \lg 5\) ✓); bei \(x_2 = -2\) wäre \(\lg(-5)\) nicht definiert — Scheinlösung. Also \(L = \{5\}\).

Warum verschwindet der zweite Kandidat? Beide Seiten von \(\lg(x-u) = 1 - \lg x\) sind nur rechts der Definitionsgrenze \(x = u\) überhaupt gezeichnet. Verschiebe \(u\) und beobachte, wie der negative Kandidat immer links des D-Strahls liegt — ausserhalb der Definitionsmenge.

Definitionsmenge entlarvt die Scheinlösung: \(\lg(x-u) = 1 - \lg x\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Das Zusammenfassen führt auf \(x^2 - ux - 10 = 0\) mit zwei Kandidaten. Welcher der beiden liegt im grün markierten Bereich \(x > u\), welcher links davon? Verschiebe \(u\) und verfolge beide.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Beide Logarithmus-Argumente müssen positiv sein: \(x - u > 0\) und \(x > 0\), zusammen \(D: x > u\). Die quadratische Ersatzgleichung hat immer eine positive Wurzel (\(> u\), gültig) und eine negative (\(< 0\), ausserhalb \(D\)). Der negative Kandidat ist keine Lösung der Ausgangsgleichung — er entstand erst durch das Entlogarithmieren.

\(\lg(x-u)\) blau · \(1-\lg x\) orange · Definitionsbereich \(x>u\) grün · gültige Lösung / Scheinlösung markiert

Grenze \(u\) 3

Kandidaten und Lösungsmenge

D: x > 3 · x₁ = 5 ∈ D ✓ · x₂ = −2 ∉ D (Scheinlösung) · L = {5}

🟢 Beispiel 7 — Verlorene Lösung bei ungeschicktem Weg

Löse \(3\lg x^2 + 7 = 13\).

Lösung: \(\lg x^2 = 2\), entlogarithmieren: \(x^2 = 100 \Rightarrow x = \pm 10\). Beide bestehen die Probe (\(x^2\) ist positiv): \(L = \{-10;\ 10\}\).

Achtung: Wer stattdessen \(3\lg x^2 = 6\lg x\) setzt, erhält nur \(x = 10\) — die Lösung \(-10\) geht verloren! Korrekt wäre \(\lg x^2 = 2\lg|x|\). Auch so können also Lösungen verschwinden, nicht nur Scheinlösungen dazukommen.

⚠ Häufiger Fehler — Definitionsmenge erst am Schluss

Wer die Bedingung «Argumente positiv» überspringt, merkt nicht, dass ein Kandidat wie \(x = -2\) in Beispiel 6 von Anfang an unzulässig war. \(D\) zuerst notieren — die Probe wird dann zum schnellen Abgleich.

💡 Strategie — Werkzeugwahl auf einen Blick

Situation	Werkzeug
gleiche Basis möglich	Exponentenvergleich \(a^m = a^n \Rightarrow m = n\)
Produkt von Potenzen	logarithmieren, Gesetze anwenden
Summe gleicher Basen	ausklammern → Produkt → logarithmieren
\(a^{2x}\) und \(a^x\) gemischt	Substitution \(u = a^x\) → quadratische Gleichung
\(x\) im Logarithmus	\(D\) → zusammenfassen → entlogarithmieren → Probe

✏️ Mini-Check — logarithmische Gleichungen

Multiple Choice

Was bedeutet «entlogarithmieren» bei \(\lg T(x) = 2\)?

\(T(x) = 2^{10}\)
\(T(x) = 10^2\)
\(T(x) = \lg 2\)

Lösung anzeigen

B. Beide Seiten als Exponent zur Basis \(10\): \(T(x) = 10^2 = 100\).

Lückentext

Die Argumente aller Logarithmen müssen sein — das legt die Definitionsmenge fest.

Lösung anzeigen

positiv (grösser als null).

Kurze Rechnung

Löse \(\lg(x+3) = 2\).

Lösung anzeigen

\(x + 3 = 10^2 = 100 \Rightarrow x = 97\) (liegt in \(D: x > -3\) ✓).

Transfer

Löse \(\log_2 u + \log_2(u-2) = 3\) inklusive Probe.

Lösungsweg anzeigen

\(D: u > 2\). Zusammenfassen: \(\log_2\bigl(u(u-2)\bigr) = 3 \Rightarrow u^2 - 2u = 8 \Rightarrow (u-4)(u+2) = 0\). Kandidat \(u = -2\) liegt nicht in \(D\) (Scheinlösung), \(u = 4\) passt: \(\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3\) ✓. \(L = \{4\}\).

Aufgaben

🟠 A1Lösungsmenge am Graphen erkennen

Wähle eine Gleichung — der Graph zeigt beide Seiten. Welche Lösungsmenge passt?

A1 · Lösungsmenge am Graphen erkennen

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Die Kurve zeigt die linke Seite, die Waagrechte die rechte. Liegt die Waagrechte im erreichbaren Bereich der Kurve — oder ganz darunter? Achte auch darauf, wo die Logarithmuskurve beginnt.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Es gilt \(a^x > 0\) für jedes \(x\): die Exponentialkurve nähert sich der \(x\)-Achse, unterschreitet sie aber nie. Deshalb hat \(2^x = -2\) keine Lösung, egal wie weit man nach links geht. Die Logarithmuskurve dagegen nimmt jeden \(y\)-Wert an, auch negative — \(\lg x = -1\) hat die Lösung \(x = 0.1\).

Welche Lösungsmenge gehört zur angezeigten Gleichung?

🟠 A2Welche Technik passt?

Ordne jeder Gleichung das passende Werkzeug zu (Exponentenvergleich · Logarithmieren · Ausklammern · Substitution · Entlogarithmieren) — ohne zu rechnen:

\(5^{2x} = 7 \cdot 3^{x-1}\)
\(2^{x-1} = 32\)
\(4^x - 7 \cdot 2^x = 8\)
\(\ln z + \ln 2 = 3\)
\(2^{3x+1} - 3^{x-1} = 2^{3x+2} - 3^{x+1}\)

🟢 Lösung

Logarithmieren — Produkt von Potenzen, verschiedene Basen.
Exponentenvergleich — \(32 = 2^5\), also \(x - 1 = 5 \Rightarrow x = 6\).
Substitution \(u = 2^x\) — denn \(4^x = (2^x)^2\).
Entlogarithmieren — logarithmische Gleichung: \(\ln 2z = 3 \Rightarrow z = \tfrac{e^3}{2}\).
Ausklammern — Basen sortieren, \(2^{3x+1}\) bzw. \(3^{x-1}\) ausklammern, dann logarithmieren.

🟠 A3Rechnen mit den Techniken

🟠 a) Exponentenvergleich

Löse \(2^x = 16\) und \(10^x = 0.0001\).

2ˣ = 16: x =

10ˣ = 0.0001: x =

🟢 Lösung

\(2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4\) und \(10^x = 10^{-4} \Rightarrow x = -4\).

🟠 b) Logarithmieren

Löse \(3^x = 8\) (zwei Dezimalen).

x ≈

🟢 Lösung

\[ x = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1.89 \]

🟠 c) Substitution

Löse \(4^x - 7 \cdot 2^x = 8\).

x =

🟢 Lösung

\(u = 2^x\): \(u^2 - 7u - 8 = 0 \Rightarrow (u-8)(u+1) = 0\). \(u = -1\) entfällt (\(2^x > 0\)); \(u = 8 \Rightarrow x = \log_2 8 = 3\). \(L = \{3\}\).

🟠 d) Entlogarithmieren

Löse \(\lg(x+3) = 2\).

x =

🟢 Lösung

\[ x + 3 = 10^2 \;\Rightarrow\; x = 97 \]

🟠 e) Logarithmische Gleichung mit Scheinlösung

Löse \(\log_2 u + \log_2(u-2) = 3\).

u =

🟢 Lösung

\(D: u > 2\). \(\log_2\bigl(u(u-2)\bigr) = 3 \Rightarrow u^2 - 2u - 8 = 0 \Rightarrow (u-4)(u+2) = 0\). Nur \(u = 4\) liegt in \(D\): \(L = \{4\}\).

🟠 A4Kapital mit Zinseszins

Ein Kapital von \(22\,000\) CHF wird zu \(4.5\) % Jahreszins angelegt: \(K(n) = 22\,000 \cdot 1.045^n\).

Auf welchen Betrag wächst das Kapital in \(6\) Jahren?
Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? (Exponentialgleichung!)

K(6) ≈

n ≈

🟢 Lösung

\(K(6) = 22\,000 \cdot 1.045^6 \approx 28\,649.72\) CHF.
\(1.045^n = 2 \Rightarrow n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.045} \approx 15.75\) Jahre.

🟠 A5Der Algensee, exakt gerechnet

Zum Einstieg: \(A(t) = 2.5 \cdot 2^{t/4}\) (Anteil in %, \(t\) in Tagen).

Welcher Teil des Sees ist nach \(20\) Tagen bedeckt?
Nach wie vielen Tagen ist der See zur Hälfte bedeckt? (Exakt lösen, dann runden.)

A(20) =

t ≈

🟢 Lösung

\(A(20) = 2.5 \cdot 2^5 = 80\) %.
\(2^{t/4} = 20 \Rightarrow t = 4 \cdot \log_2 20 = 4 \cdot \tfrac{\ln 20}{\ln 2} \approx 17.29\) Tage.

🟠 A6Wertverlust eines Autos

Ein Auto kostet neu \(32\,000\) CHF und verliert pro Jahr \(22\) % an Wert: \(W(n) = 32\,000 \cdot 0.78^n\).

Wie viel ist das Auto nach \(6\) Jahren noch wert?
Nach wie vielen Jahren ist es noch die Hälfte wert?

W(6) ≈

n ≈

🟢 Lösung

\(W(6) = 32\,000 \cdot 0.78^6 \approx 7206\) CHF.
\(0.78^n = 0.5 \Rightarrow n = \dfrac{\ln 0.5}{\ln 0.78} \approx 2.79\) Jahre — nach knapp drei Jahren!

🟠 A7Erdbeben-Energie Vertiefung

Zwischen der Magnitude \(M\) eines Erdbebens und der freigesetzten äquivalenten Energie \(W\) (in Tonnen TNT) gilt näherungsweise:

\[ M = 2 + \tfrac{2}{3}\lg W \]

Löse die Formel nach \(W\) auf (logarithmische Gleichung!).
Welcher Energie entspricht das Basler Beben von 1356 (\(M = 6.6\))?
Um welchen Faktor wächst \(W\), wenn \(M\) um \(1\) steigt?

W(6.6) ≈

Faktor ≈

🟢 Lösung

\(\lg W = \tfrac{3}{2}(M-2) \Rightarrow W = 10^{\,1.5\,(M-2)}\).
\(W = 10^{\,1.5 \cdot 4.6} = 10^{6.9} \approx 7.9\) Millionen Tonnen TNT.
\(\Delta M = 1 \Rightarrow\) Faktor \(10^{1.5} \approx 31.6\) — eine Magnitude mehr heisst gut \(30\)-fache Energie.

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Steht die Unbekannte im Exponenten: gleiche Basis suchen (Exponentenvergleich) oder logarithmieren — aber nie bei Summen; die verwandelt erst das Ausklammern in Produkte, und \(a^{2x}\)-Terme knackt die Substitution \(u = a^x\). Steht die Unbekannte im Logarithmus: Definitionsmenge notieren, zu einem Logarithmusterm zusammenfassen, entlogarithmieren, kontrollieren. Beide Umkehrwege können Scheinlösungen erzeugen oder Lösungen verlieren — \(D\) und Probe sind Teil des Verfahrens.

Typ	Kennzeichen	Verfahren	Stolperstein
Exponentialgleichung	\(x\) im Exponenten	Exponentenvergleich · logarithmieren · ausklammern · Substitution	Summen nicht logarithmieren; \(a^x = c \leq 0\) unlösbar
logarithmische Gleichung	\(x\) im Logarithmus-Argument	\(D\) → zusammenfassen → entlogarithmieren	Scheinlösungen; \(\lg x^2 = 2\lg\|x\|\) (verlorene Lösung)