Die Lösungsvariable steht im Exponenten. Werkzeuge: (1) gleiche Basis → Exponentenvergleich \( a^m = a^n \Rightarrow m = n \) · (2) sonst logarithmieren: \( \log_a u^x = x \log_a u \) holt die Variable herunter · (3) Summen gleicher Basen erst ausklammern · (4) \( a^{2x} \) und \( a^x \) gemischt: Substitution \( u = a^x \).
Nie logarithmieren, wenn eine Summe dasteht: \( \log_a(u^x + v) \) lässt sich nicht zerlegen. Und \( a^x = c \) mit \( c \leq 0 \) ist unlösbar (\( a^x > 0 \)).
Die Lösungsvariable steht im Argument von Logarithmen. Verfahren: (1) Definitionsmenge: alle Argumente positiv · (2) mit den Logarithmengesetzen zu je einem Term zusammenfassen · (3) entlogarithmieren (potenzieren mit der Basis) · (4) lösen und kontrollieren — Scheinlösungen möglich.
Vorsicht in beide Richtungen: Entlogarithmieren kann Scheinlösungen erzeugen; die Umformung \( \lg x^2 = 2\lg x \) (statt \( 2\lg|x| \)) kann Lösungen verlieren.
| Prozess | Modell | «Wann?»-Gleichung |
|---|---|---|
| Zinseszins | \( K_0 \cdot q^n \) | \( q^n = c \Rightarrow n = \ln c / \ln q \) |
| Verdopplung alle \(T\) | \( N_0 \cdot 2^{t/T} \) | \( 2^{t/T} = c \Rightarrow t = T \log_2 c \) |
| Zerfall um \(p\,\%\) | \( W_0 \cdot (1 - \tfrac{p}{100})^n \) | logarithmieren |
Variable im Exponenten → logarithmieren (nach Basen-Check und Ausklammern); Variable im Logarithmus → entlogarithmieren (nach \(D\)-Check und Zusammenfassen). Beide Wege verlangen die Kontrolle — und die Substitution \( u = a^x \) macht aus gemischten Termen eine quadratische Gleichung.