12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Löse durch Exponentenvergleich:
(a) \( 2^x = 16 \) (b) \( 3^x = \tfrac{1}{27} \) (c) \( 10^x = 0.0001 \)
Wie viele Lösungen haben die Gleichungen?
(a) \( 5^x = 30 \) (b) \( 5^x = -30 \) (c) \( 5^x = 0 \)
Löse \( 3^x = 8 \) und \( 4^{y-5} = 100 \) (zwei Dezimalen).
Löse \( 3^{x+1} + 3^x = 20 \).
Löse \( 4^x - 7 \cdot 2^x = 8 \).
Löse \( 3^{2x} + 9 = 10 \cdot 3^x \).
Bestimme \(x\): (a) \( \lg x = 4 \) (b) \( \ln x = -1 \) (c) \( \lg(x+3) = 2 \)
Löse \( \ln z + \ln 2 = 3 \).
Löse \( \log_2 u + \log_2(u-2) = 3 \) inklusive Definitionsmenge und Kontrolle.
Löse \( \lg(x-3) = 1 - \lg x \). Warum ist einer der Kandidaten keine Lösung?
Löse \( 3\lg x^2 + 7 = 13 \). Warum liefert der Weg über \( 6\lg x = 6 \) nur die halbe Lösungsmenge?
Logarithmieren · Entlogarithmieren · ausklammern · Substitution.
(a) \( x = 4 \) · (b) \( 3^x = 3^{-3} \Rightarrow x = -3 \) · (c) \( x = -4 \).
(a) genau eine (\( x = \log_5 30 \)) · (b) keine · (c) keine — \( 5^x > 0 \) für alle \(x\).
\( x = \tfrac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1.89 \); \( (y-5)\ln 4 = \ln 100 \Rightarrow y = 5 + \tfrac{\ln 100}{\ln 4} \approx 8.32 \).
\( 3^x (3+1) = 20 \Rightarrow 3^x = 5 \Rightarrow x = \log_3 5 \approx 1.46 \).
\( u = 2^x \): \( u^2 - 7u - 8 = 0 \Rightarrow u = 8 \) (\( u = -1 \) entfällt) \( \Rightarrow x = 3 \).
\( u = 3^x \): \( u^2 - 10u + 9 = 0 \Rightarrow u = 1, 9 \Rightarrow L = \{0;\ 2\} \).
(a) \( x = 10^4 \) · (b) \( x = e^{-1} \approx 0.37 \) · (c) \( x = 100 - 3 = 97 \).
\( \ln 2z = 3 \Rightarrow 2z = e^3 \Rightarrow z = \tfrac{e^3}{2} \approx 10.04 \).
\( D: u > 2 \). \( u(u-2) = 8 \Rightarrow (u-4)(u+2) = 0 \) — \( u = -2 \notin D \) (Scheinlösung), \( u = 4 \): Kontrolle \( 2 + 1 = 3 \) ✓. \( L = \{4\} \).
\( D: x > 3 \). \( x(x-3) = 10 \Rightarrow (x-5)(x+2) = 0 \). \( x = -2 \) verletzt \(D\) (\( \lg(-2) \) existiert nicht) — Scheinlösung. \( L = \{5\} \).
\( \lg x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow L = \{-10;\ 10\} \). Der Weg \( 6\lg x = 6 \) setzt stillschweigend \( x > 0 \) voraus (korrekt wäre \( 2\lg|x| \)) und verliert \( x = -10 \).