Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Wirtschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Lösungsmengen als Intervalle angeben.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Fertigung | Toleranzprüfung | ●●○ |
| 2 | Elektrotechnik | Widerstands-Toleranz | ●●○ |
| 3 | Medizin | Fieber-Grenzen | ●●○ |
| 4 | Betriebswirtschaft | Gewinnzone | ●●● |
| 5 | Wirtschaft | Break-even als Ungleichung | ●●● |
| 6 | Verkehr | Bremsweg-Limite | ●●● |
Eine Welle hat das Sollmass \(25\) mm mit Toleranz \( \pm 0.02 \) mm: brauchbar, wenn \( |d - 25| \leq 0.02 \).
(a) Gib das Toleranzband als Intervall an.
(b) Beurteile drei Werkstücke: \( 25.01 \), \( 24.97 \) und \( 25.02 \) mm.
Ein Widerstand hat den Nennwert \( 470\ \Omega \) mit \(5\) % Toleranz.
(a) Schreibe den zulässigen Bereich als Betragsungleichung.
(b) Gib das Intervall an.
(c) Ist ein gemessener Wert von \( 495\ \Omega \) innerhalb der Toleranz?
Als auffällig gilt eine Körpertemperatur, die um mehr als \(1.2\) °C von \(36.8\) °C abweicht: \( |T - 36.8| > 1.2 \).
(a) Gib die auffälligen Temperaturbereiche an.
(b) Formuliere den unauffälligen Bereich als Intervall.
Der Tagesgewinn beträgt \( G(x) = -(x-30)^2 + 400 \) (CHF, Stückzahl \(x\)).
(a) Forme \( G(x) > 0 \) in eine Betragsungleichung um.
(b) Bestimme die Gewinnzone.
(c) Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal?
Kosten \( K(x) = 2000 + 15x \), Erlös \( E(x) = 40x \).
(a) Formuliere «Gewinn» als Ungleichung.
(b) Löse sie und interpretiere die Grenze.
(c) Was ändert sich, wenn die Fixkosten auf \(2500\) steigen?
Faustregel für den Bremsweg: \( s = \dfrac{v^2}{100} \) (\(s\) in m, \(v\) in km/h).
(a) Vor einem Hindernis stehen höchstens \(40\) m zur Verfügung. Formuliere die Bedingung als Ungleichung.
(b) Löse sie nach \(v\) auf — welche Höchstgeschwindigkeit ist zulässig?
(c) Warum ist die negative Lösung der Potenzgleichung hier bedeutungslos?
(a) \( [24.98;\ 25.02] \) mm.
(b) \( |25.01-25| = 0.01 \) ✓ brauchbar; \( |24.97-25| = 0.03 \) ✗ Ausschuss; \( |25.02-25| = 0.02 \) ✓ gerade noch brauchbar (Randpunkt, \( \leq \)).
(a) \(5\) % von \(470\) sind \(23.5\): \( |R - 470| \leq 23.5 \).
(b) \( [446.5;\ 493.5]\ \Omega \).
(c) \( |495 - 470| = 25 > 23.5 \) — ausserhalb der Toleranz.
(a) \( T < 35.6 \) °C oder \( T > 38 \) °C.
(b) \( [35.6;\ 38] \) °C (mit \( \leq \): Randwerte gelten als unauffällig).
(a) \( (x-30)^2 < 400 \Leftrightarrow |x - 30| < 20 \).
(b) \( 10 < x < 50 \) Stück.
(c) Scheitel der Parabel: \( x = 30 \), Maximalgewinn \(400\) CHF.
(a) \( E(x) > K(x) \): \( 40x > 2000 + 15x \).
(b) \( 25x > 2000 \Rightarrow x > 80 \) — ab dem \(81\). Stück Gewinn.
(c) \( 25x > 2500 \Rightarrow x > 100 \) — die Gewinnzone beginnt später.
(a) \( \dfrac{v^2}{100} \leq 40 \).
(b) \( v^2 \leq 4000 \Rightarrow v \leq \sqrt{4000} \approx 63 \) km/h (für \( v \geq 0 \)).
(c) Geschwindigkeiten sind hier nicht negativ — nur der Ast \( v \geq 0 \) der Potenzgleichung ist physikalisch sinnvoll.