Schwerpunktfach · Lerngebiet 2 · Gleichungen · 50 Lektionen

2.2c Betrags- und Polynomgleichungen, Ungleichungen

RLP 2.2 · Teil 3 von 3

Drei Themen, ein gemeinsamer Kern: das Vorzeichen. Der Betrag löscht es und zwingt zur Fallunterscheidung, der Satz vom Nullprodukt zerlegt Polynomgleichungen Faktor für Faktor, und bei Ungleichungen entscheidet die Vorzeichentabelle, wo ein Produkt positiv oder negativ ist. Dazu die wichtigste Umformungsregel: Multiplizieren mit einer negativen Zahl dreht das Relationszeichen.

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 2.2

lineare und nichtlineare Ungleichungen mithilfe einer Grafik oder der Vorzeichentabelle umformen und lösen auch ohne Hilfsmittel
elementare Potenzgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
Wurzelgleichungen und rationale Gleichungen lösen, die auf lineare oder quadratische Gleichungen führen auch ohne Hilfsmittel
elementare Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
elementare Betragsgleichungen lösen auch ohne Hilfsmittel
Polynomgleichungen höheren Grades lösen, wenn das Polynom als Produkt linearer und quadratischer Faktoren vorliegt auch ohne Hilfsmittel

Diese Seite behandelt die Kompetenzen 1, 5 und 6: Ungleichungen, Betrags- und Polynomgleichungen. Potenz-, Wurzel- und rationale Gleichungen stehen in Teil 1 (s2-2a), Exponential- und Logarithmusgleichungen in Teil 2 (s2-2b).

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann den Betrag \(|x|\) abschnittsweise definieren und geometrisch als Abstand deuten.
Ich kann elementare Betragsgleichungen \(|T(x)| = c\) über die zwei Fälle lösen — und erkenne, wann die Lösungsmenge leer ist.
Ich kann Polynomgleichungen in Produktform mit dem Satz vom Nullprodukt lösen und gemeinsame Faktoren zuerst ausklammern.
Ich kann lineare Ungleichungen umformen und weiss, wann das Relationszeichen dreht.
Ich kann nichtlineare Ungleichungen mit der Vorzeichentabelle oder grafisch lösen und die Lösungsmenge als Intervall angeben.
Ich kann Betragsungleichungen \(|x - m| \leq r\) als Intervall um \(m\) deuten (Toleranzen!).

Einstieg — Toleranz in der Fertigung

Eine CNC-Fräse fertigt Bolzen mit Soll-Durchmesser \(12\) mm. Die Zeichnung erlaubt eine Toleranz von \(\pm 0.05\) mm — ein Bolzen ist brauchbar, wenn die Abweichung vom Sollmass höchstens \(0.05\) mm beträgt. Das Vorzeichen der Abweichung spielt keine Rolle, nur ihre Grösse:

\[ |d - 12| \leq 0.05 \]

Der Betrag misst den Abstand — und die Betragsungleichung beschreibt das Toleranzband.

🔩 Toleranzband: \(|d - 12| \leq 0.05\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schiebe den gemessenen Durchmesser durch das Band: Bei welchen Werten kippt die Anzeige auf «Ausschuss»? Beachte die V-Form der Betragsfunktion — sie behandelt Plus- und Minus-Abweichung gleich.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Brauchbar ist der Bolzen genau im Intervall \([11.95;\ 12.05]\) — die Betragsungleichung \(|d - 12| \leq 0.05\) ist nur eine kompakte Schreibweise für \(11.95 \leq d \leq 12.05\): ein Abstand von höchstens \(0.05\) um die Mitte \(12\).

Abweichung in Hundertstel-mm · Toleranzband grün · V-Kurve = Betragsfunktion

Mass \(d\) [mm] 12.03

Abweichung und Urteil

|12.03 − 12| = 0.03 ≤ 0.05 ✓ brauchbar

📘 Was sehen wir?

Der Betrag macht aus «höchstens \(0.05\) daneben — egal in welche Richtung» eine einzige Bedingung:

\(|d - 12| \leq 0.05\) heisst: Der Abstand von \(d\) zur \(12\) ist höchstens \(0.05\).
Als Intervall: \(12 - 0.05 \leq d \leq 12 + 0.05\) — das Toleranzband \([11.95;\ 12.05]\).

✏️ Mini-Check — Einstieg

Multiple Choice

Was bedeutet \(|d - 12|\) geometrisch?

den Durchmesser \(d\)
den Abstand von \(d\) zur Zahl 12
immer \(d - 12\)

Lösung anzeigen

B. Der Betrag einer Differenz ist der Abstand der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden.

Lückentext

Die Betragsungleichung \(|x - m| \leq r\) beschreibt das Intervall \([m - r;\ m + r]\) — alle Zahlen mit Abstand höchstens \(r\) von der Mitte .

Lösung anzeigen

\(m\).

Kurze Rechnung

Ist ein Bolzen mit \(d = 11.93\) mm brauchbar (Toleranz \(\pm 0.05\))?

Lösung anzeigen

\(|11.93 - 12| = 0.07 > 0.05\) — Ausschuss.

Transfer

Schreibe das Intervall \([9.8;\ 10.2]\) als Betragsungleichung.

Lösungsweg anzeigen

Mitte \(m = 10\), Radius \(r = 0.2\): \(|x - 10| \leq 0.2\).

Betrag und Betragsgleichungen

📘 Definition — Betrag

Der Betrag einer reellen Zahl ist ihr Abstand zum Nullpunkt:

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{für } x \geq 0 \\ -x & \text{für } x < 0 \end{cases} \]

Beispiele: \(|7| = 7\), \(|-7| = 7\), \(|0| = 0\). Es gilt stets \(|x| \geq 0\).

📘 Lösen von Betragsgleichungen \(|T(x)| = c\)

Fall	Vorgehen
\(c > 0\)	zwei Fälle: \(T(x) = c\) oder \(T(x) = -c\) — meist zwei Lösungen
\(c = 0\)	\(T(x) = 0\) — eine Bedingung
\(c < 0\)	keine Lösung: Beträge sind nie negativ, \(L = \{\,\}\)

🟢 Beispiel 1 — Betragsgleichung mit zwei Fällen

Löse \(|2x + 1| = 7\).

Lösung: Fall 1: \(2x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3\). Fall 2: \(2x + 1 = -7 \Rightarrow x = -4\).

\[ L = \{-4;\ 3\} \]

Geometrisch: Die V-Kurve \(y = |2x+1|\) schneidet die Horizontale \(y = 7\) zweimal.

⚠ Häufiger Fehler — nur einen Fall rechnen

Wer bei \(|x - 3| = 5\) nur \(x - 3 = 5\) löst, verliert die halbe Lösungsmenge. Der Betrag versteckt zwei Gleichungen: \(x - 3 = 5\) und \(x - 3 = -5\), also \(L = \{-2;\ 8\}\). Probe am Abstandsbild: Welche Zahlen haben Abstand \(5\) von der \(3\)?

Betrags-Explorer

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Zähle die Schnittpunkte, während \(c\) von oben nach unten wandert. Bei welchem \(c\) verschwindet der zweite Schnittpunkt — und wo liegt der letzte verbleibende?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Die Fallunterscheidung ist keine Regel zum Auswendiglernen, sondern die Zahl der Schnittpunkte: Für \(c > 0\) trifft die Waagrechte beide Äste der V-Kurve (zwei Lösungen), für \(c = 0\) genau die Spitze (eine), für \(c < 0\) liegt sie unter der Kurve (keine) — denn ein Betrag ist nie negativ. Die Spitze liegt dort, wo der Term im Betrag null wird: \(2x + 1 = 0\).

Schiebe die Höhe \(c\) durch die V-Kurve \(y = |2x + 1|\) — die drei Fälle der Tabelle werden sichtbar:

Höhe \(c\): 7.0

Betragsgleichung

|2x + 1| = 7 → L = {−4; 3}

Der linke Ast gehört zum Fall \(2x + 1 < 0\) (der Term wird gespiegelt), der rechte zu \(2x + 1 \geq 0\). Genau das sind die beiden Gleichungen, die der Betrag versteckt.

✏️ Mini-Check — Betragsgleichungen

Multiple Choice

Wie viele Lösungen hat \(|x - 2| = -3\)?

zwei
eine
keine

Lösung anzeigen

C. Ein Betrag ist nie negativ — \(L = \{\,\}\).

Lückentext

\(|x| = 7\) bedeutet: \(x\) hat den \(7\) vom Nullpunkt — also \(x = 7\) oder \(x = -7\).

Lösung anzeigen

Abstand.

Kurze Rechnung

Löse \(|x - 3| = 5\).

Lösung anzeigen

\(x - 3 = \pm 5 \Rightarrow x_1 = 8\), \(x_2 = -2\): \(L = \{-2;\ 8\}\).

Transfer

Für welche \(c\) hat \(|T(x)| = c\) garantiert keine Lösung — unabhängig von \(T\)?

Lösungsweg anzeigen

Für alle \(c < 0\): Die linke Seite ist als Betrag stets \(\geq 0\), die rechte negativ — kein \(x\) kann das erfüllen.

Polynomgleichungen in Produktform

📘 Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist:

\[ A \cdot B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \vee\ B = 0 \]

Liegt eine Polynomgleichung als Produkt linearer und quadratischer Faktoren vor, wird jeder Faktor einzeln null gesetzt — die Teillösungen bilden zusammen die Lösungsmenge.

🟢 Beispiel 2 — Produktform ablesen

Löse \((x+1)(x-2)(x^2-9) = 0\).

Lösung: Faktor für Faktor: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\); \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\); \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3\).

\[ L = \{-3;\ -1;\ 2;\ 3\} \]

🟢 Beispiel 3 — Erst ausklammern, dann Nullprodukt

Löse \(x^3 = 9x\).

Lösung: Alles auf eine Seite und \(x\) ausklammern:

\[ x^3 - 9x = 0 \;\Rightarrow\; x\,(x^2 - 9) = 0 \;\Rightarrow\; x\,(x-3)(x+3) = 0 \;\Rightarrow\; L = \{-3;\ 0;\ 3\} \]

Achtung: Wer die Gleichung durch \(x\) dividiert, verliert die Lösung \(x = 0\)!

💡 Verbindung zu den Polynomfunktionen

Die Faktoren sind genau die Linearfaktoren aus ↩ 3.3 Polynomfunktionen: Jede Lösung der Gleichung ist eine Nullstelle des zugehörigen Graphen. Ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstelle (z.B. \(x^2 + 1\)) trägt nichts zur Lösungsmenge bei.

✏️ Mini-Check — Nullprodukt

Multiple Choice

Wie viele reelle Lösungen hat \((x-4)(x^2+1) = 0\)?

drei
eine
zwei

Lösung anzeigen

B. \(x = 4\); der Faktor \(x^2 + 1\) ist stets positiv und liefert keine reelle Lösung.

Lückentext

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein null ist.

Lösung anzeigen

Faktor.

Kurze Rechnung

Löse \(2x\,(x-5)(x+7) = 0\).

Lösung anzeigen

\(L = \{-7;\ 0;\ 5\}\) — der konstante Faktor \(2\) liefert keine Lösung.

Transfer

Beim Lösen von \(x^2 = 4x\) dividiert jemand durch \(x\) und erhält \(L = \{4\}\). Was ist schiefgelaufen?

Lösungsweg anzeigen

Die Division durch \(x\) ist für \(x = 0\) verboten — und genau dieser Wert ist eine Lösung. Richtig: \(x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow L = \{0;\ 4\}\).

Ungleichungen — Umformen und Vorzeichentabelle

📘 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen

Umformung	Relationszeichen
beidseitig addieren / subtrahieren	bleibt
multiplizieren / dividieren mit positiver Zahl	bleibt
multiplizieren / dividieren mit negativer Zahl	dreht! (\(<\) wird \(>\))

Beispiel: \(5 - 2x < 11 \Rightarrow -2x < 6 \Rightarrow x > -3\) — beim Teilen durch \(-2\) dreht das Zeichen.

📘 Nichtlineare Ungleichungen — die Vorzeichentabelle

Alles auf eine Seite bringen und faktorisieren: Produkt \(\gtrless 0\).
Die Nullstellen aller Faktoren bestimmen — sie zerlegen die Zahlengerade in Abschnitte.
Je Abschnitt das Vorzeichen jedes Faktors notieren; das Produktvorzeichen folgt daraus.
Die Abschnitte mit dem gesuchten Vorzeichen bilden die Lösungsmenge (Randpunkte nur bei \(\geq\)/\(\leq\)).

Alternative: die grafische Lösung — Kurve oberhalb/unterhalb, siehe ↩ 3.1 Grundlagen Funktionen.

Stelle das Produkt und die Relation ein. Die Tabelle zeigt das Vorzeichen je Abschnitt (grün positiv, rot negativ, grau null), der Graph die Lösungsmenge grün auf der \(x\)-Achse:

📊 Vorzeichentabellen-Labor: \((x-a)(x-b) \gtrless 0\)

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Verfolge einen Abschnitt in der Tabelle: Wo sind beide Faktoren negativ — und welches Vorzeichen hat dann das Produkt? Vergleiche mit dem Graphen: Wo liegt die Parabel unterhalb der Achse? Wechsle danach zwischen \(>\) und \(\geq\) und achte auf die zwei Spalten \(x = a\) und \(x = b\).

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Zwischen den Nullstellen haben die Faktoren verschiedene Vorzeichen — das Produkt ist negativ, die Parabel liegt unter der Achse. Aussen sind beide gleich — Produkt positiv. Tabelle und Graph sagen dasselbe. An den Nullstellen selbst ist das Produkt null: Sie gehören zur Lösung bei \(\geq\) und \(\leq\), aber nicht bei \(>\) und \(<\) — im Graphen dreht sich dort nur die Klammer.

Nullstellen \(a\), \(b\) verschiebbar · Relation wählbar · Lösungsmenge live, im Graphen bemasst mit ihrer Intervallschreibweise

Nullstelle \(a\)−2

Nullstelle \(b\)1

Produkt und Lösungsmenge

(x + 2)(x − 1) > 0

L = {x | x < −2 ∨ x > 1}

🟢 Beispiel 4 — Vorzeichentabelle mit drei Faktoren

Löse \((x+2)(x-1)(x-4) > 0\).

Lösung: Nullstellen \(-2\), \(1\), \(4\) zerlegen die Zahlengerade in vier Abschnitte:

	\(x < -2\)	\(-2 < x < 1\)	\(1 < x < 4\)	\(x > 4\)
\(x+2\)	−	+	+	+
\(x-1\)	−	−	+	+
\(x-4\)	−	−	−	+
Produkt	−	+	−	+

Positiv in den Abschnitten zwei und vier: \(L = \{x \mid -2 < x < 1 \ \vee\ x > 4\}\).

⚠ Häufiger Fehler — Relationszeichen nicht gedreht

\(-2x < 6\) heisst \(x > -3\), nicht \(x < -3\). Probe mit einem Testwert: \(x = 0\) erfüllt \(-2 \cdot 0 = 0 < 6\) ✓ — also muss \(0\) in der Lösungsmenge liegen.

✏️ Mini-Check — Ungleichungen

Multiple Choice

Bei welcher Umformung dreht das Relationszeichen?

beidseitig \(5\) subtrahieren
beidseitig mit \(-3\) multiplizieren
beidseitig durch \(2\) dividieren

Lösung anzeigen

B. Nur Multiplikation/Division mit negativen Zahlen dreht das Zeichen.

Lückentext

Die Nullstellen der Faktoren zerlegen die Zahlengerade in Abschnitte — in jedem Abschnitt hat das Produkt ein konstantes .

Lösung anzeigen

Vorzeichen — genau das nutzt die Vorzeichentabelle.

Kurze Rechnung

Löse \(5 - 2x < 11\).

Lösung anzeigen

\(-2x < 6 \Rightarrow x > -3\) (Zeichen gedreht!): \(L = \{x \mid x > -3\}\).

Transfer

Löse \((x-1)(x+3) < 0\) mit der Vorzeichentabelle.

Lösungsweg anzeigen

Nullstellen \(-3\) und \(1\). Testwert \(x = 0\): \((-1)(3) = -3 < 0\) ✓ — negativ genau dazwischen: \(L = \{x \mid -3 < x < 1\}\).

Betragsungleichungen — Toleranz als Intervall

📘 Betragsungleichungen

Ungleichung	Bedeutung	Lösungsmenge
\(\|x - m\| \leq r\)	Abstand von \(m\) höchstens \(r\)	\([m-r;\ m+r]\)
\(\|x - m\| > r\)	Abstand von \(m\) grösser als \(r\)	\(x < m-r \ \vee\ x > m+r\)

(\(r > 0\); für \(r = 0\) schrumpft das Intervall \([m-r;\ m+r]\) auf den einen Punkt \(\{m\}\), und \(|x-m| > 0\) gilt für alle \(x \neq m\); für \(r < 0\) ist die \(\leq\)-Variante unlösbar und die \(>\)-Variante immer wahr.)

🟢 Beispiel 5 — Betragsungleichung

Löse \(|x - 2| \leq 3\).

Lösung: Abstand von \(2\) höchstens \(3\): von \(2 - 3 = -1\) bis \(2 + 3 = 5\).

\[ L = [-1;\ 5] \]

💡 Strategie — Werkzeugwahl auf einen Blick

Situation	Werkzeug
\(\|T(x)\| = c\)	zwei Fälle \(T = \pm c\); \(c < 0\): unlösbar
\(\|x - m\| \lessgtr r\)	Abstandsbild: Intervall um \(m\) bzw. Aussenbereich
Produkt \(= 0\)	Nullprodukt: jeden Faktor null setzen (nie durch \(x\) teilen!)
lineare Ungleichung	umformen; bei negativem Faktor Zeichen drehen
Produkt \(\gtrless 0\)	Vorzeichentabelle oder Graph

✏️ Mini-Check — Betragsungleichungen

Multiple Choice

Welche Lösungsmenge hat \(|x| > 4\)?

\(]-4;\ 4[\)
\(x < -4 \ \vee\ x > 4\)
\(x > 4\)

Lösung anzeigen

B. Abstand grösser als \(4\) — beide Aussenbereiche.

Lückentext

\(|x - m| \leq r\) beschreibt ein Intervall mit Mitte \(m\) und «Radius» .

Lösung anzeigen

\(r\).

Kurze Rechnung

Löse \(|x + 1| < 2\).

Lösung anzeigen

\(x + 1 = x - (-1)\): Abstand von \(-1\) kleiner als \(2\): \(L = \,]-3;\ 1[\).

Transfer

Ein Widerstand hat den Nennwert \(470\ \Omega\) mit \(5\) % Toleranz. Schreibe den zulässigen Bereich als Betragsungleichung und als Intervall.

Lösungsweg anzeigen

\(5\) % von \(470\) sind \(23.5\): \(|R - 470| \leq 23.5\), also \(R \in [446.5;\ 493.5]\ \Omega\).

Aufgaben

🟠 A1Betragsfunktion am Graphen erkennen

Wähle einen Graphen — alle vier sind transformierte Betragsfunktionen (V-Kurven).

A1 · Betragsfunktion am Graphen erkennen

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Sieh dir zwei Dinge an: Wo liegt der Knickpunkt, und in welche Richtung öffnet sich das V? Vergleiche jeden Graphen mit der Grundform \(y = |x|\), die bei \((0\mid 0)\) knickt.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Was im Betrag steht, wirkt waagrecht und gegenläufig: \(|x-2|\) knickt bei \(x = 2\). Was ausserhalb steht, wirkt senkrecht und gleichsinnig: \(|x| - 2\) knickt bei \((0 \mid -2)\). Ein Minus vor dem Betrag kippt das V zum \(\Lambda\). Knickpunkt und Öffnungsrichtung genügen zur Zuordnung.

Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?

🟠 A2Vorzeichentabelle von Hand

Stelle die Vorzeichentabelle für \((x+3)(x-2) \geq 0\) auf: Nullstellen bestimmen, Abschnitte bilden, Vorzeichen je Faktor eintragen, Lösungsmenge ablesen. Achte auf die Randpunkte!

🟢 Lösung

	\(x < -3\)	\(-3 < x < 2\)	\(x > 2\)
\(x+3\)	−	+	+
\(x-2\)	−	−	+
Produkt	+	−	+

Wegen \(\geq\) gehören die Nullstellen dazu: \(L = \{x \mid x \leq -3 \ \vee\ x \geq 2\}\).

🟠 A3Rechnen mit Betrag, Nullprodukt und Ungleichungen

🟠 a) Betragsgleichung

Löse \(|x - 3| = 5\).

kleinere Lösung x₁ =

grössere Lösung x₂ =

🟢 Lösung

\(x - 3 = \pm 5 \Rightarrow x_1 = -2\), \(x_2 = 8\). Abstandsbild: Welche Zahlen haben Abstand \(5\) von der \(3\)?

🟠 b) Betragsgleichung mit linearem Term

Löse \(|2x + 1| = 7\).

kleinere Lösung x₁ =

grössere Lösung x₂ =

🟢 Lösung

\(2x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3\) und \(2x + 1 = -7 \Rightarrow x = -4\): \(L = \{-4;\ 3\}\).

🟠 c) Nullprodukt

Löse \((x+1)(x-2)(x-5) = 0\).

kleinste Lösung =

grösste Lösung =

🟢 Lösung

Jeder Faktor einzeln: \(L = \{-1;\ 2;\ 5\}\).

🟠 d) Ausklammern, dann Nullprodukt

Löse \(x^3 = 9x\). Wie viele Lösungen gibt es, und wie lautet die grösste?

Anzahl Lösungen =

grösste Lösung =

🟢 Lösung

\[ x^3 - 9x = 0 \;\Rightarrow\; x(x-3)(x+3) = 0 \;\Rightarrow\; L = \{-3;\ 0;\ 3\} \]

Drei Lösungen — wer durch \(x\) dividiert, verliert die \(0\).

🟠 e) Lineare Ungleichung mit Vorzeichenwechsel

Löse \(5 - 2x < 11\) und gib die Grenze der Lösungsmenge an.

x >

🟢 Lösung

\(-2x < 6\), Division durch \(-2\) dreht das Zeichen: \(x > -3\). Testwert \(x = 0\): \(5 < 11\) ✓

🟠 A4Toleranzprüfung in der Werkstatt

Eine Welle hat das Sollmass \(25\) mm mit Toleranz \(\pm 0.02\) mm: brauchbar, wenn \(|d - 25| \leq 0.02\).

Gib das Toleranzband als Intervall an.
Ein Werkstück misst \(24.97\) mm. Berechne die Abweichung \(|d - 25|\) — brauchbar oder Ausschuss?

obere Grenze =

|24.97 − 25| =

🟢 Lösung

\([25 - 0.02;\ 25 + 0.02] = [24.98;\ 25.02]\) mm.
\(|24.97 - 25| = 0.03 > 0.02\) — Ausschuss.

🟠 A5Gewinnzone

Der Tagesgewinn einer Produktion (in CHF) hängt von der Stückzahl \(x\) ab:

\[ G(x) = -(x-30)^2 + 400 \]

Forme die Bedingung \(G(x) > 0\) in eine Betragsungleichung um.
In welchem Stückzahl-Bereich arbeitet der Betrieb mit Gewinn?

untere Grenze =

obere Grenze =

🟢 Lösung

\(-(x-30)^2 + 400 > 0 \Leftrightarrow (x-30)^2 < 400 \Leftrightarrow |x - 30| < 20\).
Abstand von \(30\) kleiner als \(20\): Gewinnzone \(10 < x < 50\) Stück.

🟠 A6Vorzeichentabelle mit drei Faktoren

Löse \((x+2)(x-1)(x-4) > 0\) mit der Vorzeichentabelle (siehe Beispiel 4) und gib die Grenzen des beschränkten Lösungsintervalls an.

von x =

bis x =

🟢 Lösung

Die Tabelle (Beispiel 4) zeigt Plus in \(]-2;\ 1[\) und \(]4;\ \infty[\): \(L = \{x \mid -2 < x < 1 \ \vee\ x > 4\}\). Das beschränkte Intervall ist \(]-2;\ 1[\).

🟠 A7Betrag gegen Betrag Vertiefung

Löse \(|x - 1| = |2x - 5|\).

Begründe: Zwei Beträge sind gleich, wenn die Terme gleich oder entgegengesetzt sind.
Löse beide Fälle und kontrolliere.
Skizziere beide V-Kurven — wo schneiden sie sich?

kleinere Lösung x₁ =

grössere Lösung x₂ =

🟢 Lösung

\(|A| = |B| \Leftrightarrow A = B \ \vee\ A = -B\) — gleicher Abstand vom Nullpunkt heisst gleich oder gespiegelt.
Fall 1: \(x - 1 = 2x - 5 \Rightarrow x = 4\). Fall 2: \(x - 1 = -(2x-5) \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Probe: \(|3| = |3|\) ✓ und \(|1| = |-1|\) ✓. \(L = \{2;\ 4\}\).
Die V-Kurve von \(|x-1|\) (Spitze bei \(1\)) und die steilere von \(|2x-5|\) (Spitze bei \(2.5\)) schneiden sich in \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 3)\).

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Der Betrag ist ein Abstand: \(|T(x)| = c\) verlangt zwei Fälle \(T = \pm c\) (für \(c < 0\): unlösbar), und \(|x - m| \leq r\) ist das Intervall \([m-r;\ m+r]\) — die Sprache der Toleranzen. Polynomgleichungen in Produktform knackt der Satz vom Nullprodukt Faktor für Faktor (nie durch \(x\) dividieren!). Bei Ungleichungen dreht Multiplizieren mit Negativem das Relationszeichen, und für Produkte entscheidet die Vorzeichentabelle abschnittsweise — Randpunkte gehören nur bei \(\geq\)/\(\leq\) dazu.

Typ	Kennzeichen	Verfahren	Stolperstein
Betragsgleichung	\(\|T(x)\| = c\)	zwei Fälle \(T = \pm c\)	zweiten Fall vergessen; \(c < 0\) übersehen
Polynomgleichung (Produktform)	\(A \cdot B \cdot C = 0\)	Nullprodukt, vorher ausklammern	Division durch \(x\) vernichtet Lösungen
Ungleichung	\(<, \leq, >, \geq\)	umformen · Vorzeichentabelle · Graph	Zeichen bei \(\cdot(-1)\) nicht gedreht; Randpunkte