2.2c Betrags- und Polynomgleichungen, Ungleichungen

Toleranzband: Betrag als Abstand zur Mitte

1. 0:00In der Animation schiebst du den gemessenen Durchmesser d eines Bolzens. Brauchbar ist er, wenn der Betrag von d minus zwölf höchstens null Komma null fünf ist. Welche Masse sind das?
2. 0:12Bei zwölf Komma null drei ist die Abweichung drei Hundertstel. Das ist höchstens fünf Hundertstel: Der Bolzen ist brauchbar.
3. 0:21Bei elf Komma neun sieben ist der Bolzen drei Hundertstel zu dünn. Der Betrag löscht das Vorzeichen: wieder drei Hundertstel, wieder brauchbar.
4. 0:31Bei zwölf Komma null sechs sind es sechs Hundertstel, mehr als erlaubt: Ausschuss. Genau zwölf Komma null fünf ist noch brauchbar, denn dort ist der Abstand gleich null Komma null fünf.
5. 0:42Merke: Der Betrag von d minus zwölf ist der Abstand von d zur Mitte zwölf. Höchstens null Komma null fünf Abstand heisst: d liegt im Intervall von elf Komma neun fünf bis zwölf Komma null fünf, beide Ränder eingeschlossen.

Betrags-Explorer: zwei, eine oder keine Lösung

1. 0:00Im Betrags-Explorer schiebst du eine Waagrechte auf der Höhe c durch die V-Kurve. Wie viele Lösungen hat die Gleichung Betrag von zwei x plus eins gleich c?
2. 0:10Bei c gleich sieben trifft die Waagrechte beide Äste. Zwei Schnittpunkte, zwei Lösungen: minus vier und drei.
3. 0:19Bei c gleich null bleibt nur die Spitze. Dort ist zwei x plus eins gleich null, also x gleich minus null Komma fünf: eine Lösung.
4. 0:29Bei c gleich minus zwei liegt die Waagrechte ganz unter der V-Kurve. Kein Schnittpunkt, keine Lösung, denn ein Betrag ist nie negativ.
5. 0:38Merke: Die Fallunterscheidung ist die Zahl der Schnittpunkte. Für c grösser null gibt es zwei Lösungen, für c gleich null eine, für c kleiner null keine. Die Spitze liegt dort, wo der Term im Betrag null wird.

Vorzeichentabelle: Tabelle und Parabel sagen dasselbe

1. 0:00Im Labor stellst du ein Produkt aus zwei Faktoren ein, hier x plus zwei mal x minus eins. Für welche x ist das Produkt grösser als null?
2. 0:09Links von minus zwei sind beide Faktoren negativ. Minus mal minus gibt plus. Zwischen den Nullstellen haben die Faktoren verschiedene Vorzeichen, dort ist das Produkt negativ.
3. 0:21Der Graph zeigt dasselbe. Aussen liegt die Parabel über der Achse, zwischen minus zwei und eins darunter. Grün ist die Lösungsmenge für grösser null.
4. 0:30Jetzt grösser gleich null. An den Nullstellen ist das Produkt null, und null ist grösser gleich null. Beide Ränder gehören dazu, im Graphen dreht sich nur die Klammer.
5. 0:40Merke: Für x minus a mal x minus b mit a kleiner b ist das Produkt zwischen den Nullstellen negativ und aussen positiv. Die Nullstellen selbst gehören nur bei grösser gleich und kleiner gleich zur Lösung.

V-Kurven zuordnen: Knickpunkt und Öffnung

1. 0:00In Aufgabe A1 ordnest du V-Kurven ihrer Gleichung zu. Vergleiche mit y gleich Betrag von x, die im Ursprung knickt. Es genügen der Knickpunkt und die Öffnung.
2. 0:10Graph zwei knickt bei zwei auf der x-Achse. Die minus zwei steht im Betrag und schiebt das V um zwei nach rechts. Also y gleich Betrag der Differenz x minus zwei.
3. 0:21Graph drei knickt bei null, minus zwei. Die minus zwei steht ausserhalb des Betrags und schiebt das V um zwei nach unten. Also y gleich Betrag von x, danach minus zwei.
4. 0:33Graph vier öffnet sich nach unten, mit der Spitze bei null, zwei. Das Minus vor dem Betrag kippt das V, die plus zwei hebt es an. Also y gleich minus Betrag von x, plus zwei.
5. 0:45Merke: Was im Betrag steht, verschiebt das V waagrecht und gegenläufig. Was ausserhalb steht, verschiebt es senkrecht und gleichsinnig. Ein Minus vor dem Betrag kippt es nach unten.

Betragsgleichungen: zwei Fälle statt einem

1. 0:00Der Betrag löscht das Vorzeichen. Beim Auflösen muss man es zurückholen — und weil man nicht weiss, welches es war, entstehen zwei Fälle.
2. 0:08Die Regel: Betrag von etwas gleich einer positiven Zahl heisst — dieses Etwas ist die Zahl oder ihr Negatives.
3. 0:16Erster Fall: zwei x minus sechs gleich vier gibt x gleich fünf. Zweiter Fall: zwei x minus sechs gleich minus vier gibt x gleich eins.
4. 0:26Die Probe zeigt, warum beide passen: Bei fünf steht innen plus vier, bei eins minus vier — und der Betrag macht aus beiden vier.
5. 0:34Zum Mitnehmen: Betrag auflösen heisst zwei Gleichungen aufstellen. Und wenn rechts eine negative Zahl steht, ist man schon fertig — dann ist die Lösungsmenge leer.

Polynomgleichungen: numerisch lösen — Chancen und Gefahren

1. 0:00Für Grad zwei und Grad drei hat der Rechner einen eigenen Löser: poly-solv gibt alle Lösungen auf einmal. Ab Grad vier gibt es den nicht mehr — und für Gleichungen wie zwei hoch x gleich x plus drei schon gar nicht.
2. 0:13Zuerst also die Frage: Braucht es num-solv überhaupt? Quadratisch und kubisch nicht — da nimmst du poly-solv und bekommst alle Lösungen. Erst ab Grad vier, und bei allem, wo x im Exponenten, im Logarithmus oder unter einem Sinus steht, bist du auf das numerische Verfahren angewiesen.
3. 0:30Zweit-Taste, num-solv. Links die linke Seite, rechts die rechte — hier null. Danach fragt der Rechner nach dem Startwert.
4. 0:44Und jetzt kommt es auf den Startwert an. Tippst du null, findet er null Komma drei drei sieben sieben. Tippst du zwei, findet er eins Komma drei null sieben fünf. Dieselbe Gleichung, ein anderer Startwert, eine andere Lösung — der Rechner sagt dir nie, dass es noch eine zweite gibt.
5. 1:00Dasselbe bei zwei hoch x gleich x plus drei. Hier hilft kein Umformen — links wächst x im Exponenten, rechts steht es einfach so da. Mit Startwert minus drei findest du minus zwei Komma acht sechs zwei fünf, mit Startwert zwei findest du zwei Komma vier vier vier neun.
6. 1:16Die Chance ist gross: Der Rechner löst in Sekunden, was von Hand gar nicht geht. Die Gefahr ist genauso gross: Er gibt eine Zahl aus, nie eine Lösungsmenge. Findet er nichts, kann das am Startwert liegen und nicht an der Gleichung. Und wie viele Lösungen es überhaupt gibt, sagt er nie.
7. 1:33Der Rechner rechnet die Lösung. Wie viele es gibt, musst du wissen.