\( |x| = x \) für \( x \geq 0 \), \( |x| = -x \) für \( x < 0 \) — geometrisch der Abstand zum Nullpunkt; \( |x - m| \) ist der Abstand zu \(m\).
| \( |T(x)| = c \) | Vorgehen |
|---|---|
| \( c > 0 \) | zwei Fälle: \( T(x) = c \) oder \( T(x) = -c \) |
| \( c = 0 \) | \( T(x) = 0 \) |
| \( c < 0 \) | keine Lösung (Beträge nie negativ) |
\( A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \vee B = 0 \) — jeden Faktor einzeln null setzen. Gemeinsame Faktoren zuerst ausklammern (\( x^3 = 9x \Rightarrow x(x-3)(x+3) = 0 \)); nie durch \(x\) dividieren — das vernichtet die Lösung \( x = 0 \).
| Umformung | Relationszeichen |
|---|---|
| addieren / subtrahieren | bleibt |
| mal / durch positive Zahl | bleibt |
| mal / durch negative Zahl | dreht (\(<\) wird \(>\)) |
Vorzeichentabelle für Produkte: Nullstellen aller Faktoren zerlegen die Zahlengerade in Abschnitte; je Abschnitt das Vorzeichen jedes Faktors notieren, Produktvorzeichen ablesen. Randpunkte gehören nur bei \( \geq/\leq \) zur Lösungsmenge. Alternative: grafisch (Kurve oberhalb/unterhalb).
| \( |x - m| \leq r \) | Intervall \( [m-r;\ m+r] \) — «Toleranzband» um \(m\) |
| \( |x - m| > r \) | \( x < m-r \ \vee\ x > m+r \) — Aussenbereiche |
Betrag = Abstand: Gleichungen brauchen zwei Fälle, Ungleichungen liefern Intervalle. Produkte gleich null löst der Satz vom Nullprodukt, Produkte grösser/kleiner null die Vorzeichentabelle. Und beim Multiplizieren mit Negativem: Relationszeichen drehen.