12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Berechne: (a) \( |{-7}| \) (b) \( |4 - 9| \) (c) \( |3 - \pi| \)
Wie viele Lösungen haben die Gleichungen?
(a) \( |x| = 6 \) (b) \( |x| = 0 \) (c) \( |x| = -6 \)
Löse \( |x - 3| = 5 \) und deute die Lösungen als Abstände.
Löse \( |2x + 1| = 7 \).
Löse \( |x - 2| \leq 3 \) und gib die Lösungsmenge als Intervall an.
Löse \( (x+1)(x-2)(x-5) = 0 \).
Löse \( x^3 = 9x \). Warum darf nicht durch \(x\) dividiert werden?
Löse \( (x-4)(x^2+1) = 0 \). Wie viele reelle Lösungen gibt es?
Löse \( 5 - 2x < 11 \) und prüfe mit einem Testwert.
Löse \( (x-1)(x+3) < 0 \) mit der Vorzeichentabelle.
Löse \( (x+2)(x-1)(x-4) > 0 \).
Abstand · Faktor · dreht.
(a) \(7\) · (b) \( |-5| = 5 \) · (c) \( \pi > 3 \), also \( \pi - 3 \approx 0.14 \).
(a) zwei (\( \pm 6 \)) · (b) eine (\( x = 0 \)) · (c) keine.
\( x - 3 = \pm 5 \Rightarrow L = \{-2;\ 8\} \) — die beiden Zahlen mit Abstand \(5\) von der \(3\).
\( 2x+1 = 7 \Rightarrow x = 3 \); \( 2x+1 = -7 \Rightarrow x = -4 \): \( L = \{-4;\ 3\} \).
Abstand von \(2\) höchstens \(3\): \( L = [-1;\ 5] \).
\( L = \{-1;\ 2;\ 5\} \).
\( x(x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow L = \{-3;\ 0;\ 3\} \). Division durch \(x\) ist für \( x = 0 \) verboten und würde genau diese Lösung vernichten.
Nur \( x = 4 \) — der Faktor \( x^2 + 1 \geq 1 \) wird nie null: eine reelle Lösung.
\( -2x < 6 \Rightarrow x > -3 \) (Zeichen gedreht). Testwert \( x = 0 \): \( 5 < 11 \) ✓
Nullstellen \( -3, 1 \); dazwischen ist genau ein Faktor negativ → Produkt negativ: \( L = \{x \mid -3 < x < 1\} \).
Nullstellen \( -2, 1, 4 \); Tabelle gibt \(+\) in \( ]-2;\,1[ \) und \( ]4;\,\infty[ \): \( L = \{x \mid -2 < x < 1 \ \vee\ x > 4\} \).