Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Alle Graphen mit beschrifteten Achsen (Grösse und Einheit) skizzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Architektur | Brückenbogen | ●●○ |
| 2 | Sport / Physik | Ballwurf | ●●○ |
| 3 | Betriebswirtschaft | Break-even-Analyse | ●●○ |
| 4 | Bauplanung | Fensterrahmen | ●●● |
| 5 | Energie | Stromtarife vergleichen | ●●● |
| 6 | Mathematik | Parabel trifft Exponentialkurve | ●●● |
Ein parabelförmiger Brückenbogen wird beschrieben durch \( y = 4 - 0.1\,x^2 \) (\(x\), \(y\) in m; \(x = 0\) in der Bogenmitte).
(a) Wie hoch ist der Bogen in der Mitte, und wie breit ist er am Boden (\(y = 0\))?
(b) Ein Lastwagen ist \(3\) m hoch. Wie breit ist die Durchfahrt auf dieser Höhe?
(c) Formuliere Teilaufgabe (b) als Gleichung und als Ungleichung.
Die Flugbahn eines Balls: \( h(x) = -0.05\,x^2 + x + 2 \) (\(h\): Höhe in m, \(x\): horizontale Entfernung in m).
(a) Aus welcher Höhe wird der Ball abgeworfen?
(b) Bestimme den höchsten Punkt der Flugbahn (Scheitelform!).
(c) In welcher Entfernung landet der Ball (\(h = 0\))?
Ein Kleinbetrieb produziert Werkstücke: Fixkosten \(2000\) CHF, variable Kosten \(15\) CHF/Stück, Verkaufspreis \(40\) CHF/Stück. Also \( K(x) = 2000 + 15x \) und \( E(x) = 40x \).
(a) Zeichne beide Graphen in ein Koordinatensystem (bis \(x = 150\)).
(b) Berechne den Break-even-Punkt (\(E = K\)).
(c) Interpretiere die Bereiche links und rechts davon als Ungleichung.
Für ein rechteckiges Fenster stehen \(6\) m Rahmenprofil zur Verfügung (alle vier Seiten).
(a) Stelle die Zielfunktion \( A(x) \) für die Glasfläche auf (\(x\): Breite).
(b) Bestimme die Masse mit maximaler Fläche über die Scheitelform.
(c) Welche geometrische Form ergibt sich — und wäre das Ergebnis anders, wenn eine Seite (z.B. an einer Mauer) kein Profil bräuchte?
Zwei Stromtarife: Grundtarif \( G(x) = 120 + 0.18x \) (Grundgebühr plus 18 Rp./kWh) und Pauschaltarif \( P(x) = 0.30x \) (30 Rp./kWh, keine Grundgebühr); \(x\) in kWh pro Jahr, Kosten in CHF.
(a) Bei welchem Jahresverbrauch kosten beide gleich viel?
(b) Formuliere als Ungleichung: Für wen lohnt sich der Pauschaltarif?
(c) Ein Haushalt verbraucht \(3500\) kWh. Welcher Tarif ist günstiger, und um wie viel?
Betrachte die Gleichung \( x^2 = 2^x \).
(a) Skizziere beide Graphen im Intervall \( -2 \leq x \leq 5 \).
(b) Finde durch Probieren zwei ganzzahlige Lösungen.
(c) Der Skizze nach gibt es noch eine dritte Lösung. Wo ungefähr liegt sie, und warum kann sie nicht ganzzahlig sein?
(a) Mitte: \( y(0) = 4 \) m. Boden: \( 4 - 0.1x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{40} \approx \pm 6.32 \) — Breite \( \approx 12.6 \) m.
(b) \( 4 - 0.1x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm\sqrt{10} \approx \pm 3.16 \) — Durchfahrtsbreite \( \approx 6.3 \) m.
(c) Gleichung: \( 4 - 0.1x^2 = 3 \) (Grenzfall). Ungleichung: \( 4 - 0.1x^2 > 3 \) — dort ist der Bogen höher als der Lastwagen: \( -\sqrt{10} < x < \sqrt{10} \).
(a) \( h(0) = 2 \) m.
(b) \( h(x) = -0.05(x^2 - 20x) + 2 = -0.05(x-10)^2 + 7 \) — Hochpunkt \( (10 \mid 7) \): nach \(10\) m Distanz, \(7\) m Höhe.
(c) \( -0.05x^2 + x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 20x - 40 = 0 \Rightarrow x = 10 + \sqrt{140} \approx 21.8 \) m (negative Lösung entfällt).
(b) \( 40x = 2000 + 15x \Rightarrow 25x = 2000 \Rightarrow x = 80 \) Stück (Kosten = Erlös = \(3200\) CHF).
(c) Für \( x < 80 \) gilt \( E(x) < K(x) \) — Verlustzone (Erlösgerade unterhalb); für \( x > 80 \) gilt \( E(x) > K(x) \) — Gewinnzone.
(a) Nebenbedingung \( 2x + 2y = 6 \Rightarrow y = 3 - x \); \( A(x) = x(3-x) \) mit \( 0 < x < 3 \).
(b) \( A(x) = -(x-1.5)^2 + 2.25 \) — Maximum bei \( x = y = 1.5 \) m, \( A = 2.25\ \text{m}^2 \).
(c) Ein Quadrat. Mit einer profillosen Seite (Nebenbedingung \( 2x + y = 6 \)) wäre das Optimum ein Rechteck mit \( y = 2x \) — wie beim Weide-Beispiel auf der Themenseite.
(a) \( 120 + 0.18x = 0.30x \Rightarrow 0.12x = 120 \Rightarrow x = 1000 \) kWh (beide \(300\) CHF).
(b) \( P(x) < G(x) \Leftrightarrow x < 1000 \) — der Pauschaltarif lohnt sich für Wenigverbraucher.
(c) \( G(3500) = 120 + 630 = 750 \) CHF, \( P(3500) = 1050 \) CHF — der Grundtarif ist \(300\) CHF günstiger.
(b) \( x = 2 \): \( 4 = 4 \) ✓ und \( x = 4 \): \( 16 = 16 \) ✓.
(c) Links der \(y\)-Achse: Die Parabel steigt (nach links), die Exponentialkurve fällt gegen \(0\) — ein Schnitt bei \( x \approx -0.77 \). Für ganzzahlige negative \(x\) ist \( x^2 \geq 1 \), aber \( 2^x \leq \tfrac{1}{2} \) — Gleichheit unmöglich, die Lösung liegt zwischen \(-1\) und \(0\).