3.1 Grundlagen
Funktionen im Schwerpunktfach sind keine neuen Objekte, sondern bekannte aus einer höheren Perspektive: Diese Seite baut den Werkzeugkasten auf, mit dem du jede elementare Funktion behandelst — Graph und Gleichung ineinander übersetzen, Schnittpunkte berechnen, Gleichungen und Ungleichungen am Graphen ablesen, Extremwertaufgaben lösen und Graphen mit Transformationen verschieben, spiegeln und strecken. Die Kapitel 3.2 bis 3.5 wenden genau diese Werkzeuge auf die einzelnen Funktionsklassen an.
- aus der Gleichung einer elementaren Funktion den Graphen skizzieren und aus dem Graphen einer elementaren Funktion seine Funktionsgleichung bestimmen auch ohne Hilfsmittel
- Schnittpunkte von Funktionsgraphen grafisch bestimmen und berechnen
- Gleichungen und Ungleichungen mithilfe von Funktionen visualisieren und interpretieren
- Extremwertaufgaben lösen
- Funktionstransformationen (Verschiebungen, Spiegelungen, Streckungen/Stauchungen) algebraisch und grafisch durchführen, Parameter interpretieren
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Graphen der elementaren Funktionen (\(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt{x}\), \(\tfrac{1}{x}\), \(a^x\), \(\log_a x\), \(\sin x\)) ohne Hilfsmittel skizzieren und am Graphen erkennen.
- Ich kann die Wirkung der Parameter in \(y = a \cdot f(x-u) + v\) beschreiben und aus einem transformierten Graphen die Gleichung rekonstruieren.
- Ich kann Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen durch Gleichsetzen berechnen und grafisch kontrollieren.
- Ich kann eine Gleichung \(f(x) = g(x)\) als Schnittstellen-Frage und eine Ungleichung \(f(x) > g(x)\) als «Kurve oberhalb»-Frage deuten und die Lösungsmenge als Intervall angeben.
- Ich kann Extremwertaufgaben mit Zielfunktion und Nebenbedingung aufstellen und über die Scheitelform oder grafisch lösen.
- Ich kann begründen, ob eine Gleichung genau eine, mehrere oder keine Lösung hat (Monotonie-Argument am Graphen).
Einstieg — ein Drohnenflug über der Leitung
Eine Drohne steigt auf, fliegt einen Bogen und landet wieder. Ihre Flughöhe folgt näherungsweise der Parabel
\[ h(t) = -0.5\,t^2 + 6\,t \qquad [h \text{ in m},\ t \text{ in min}] \]Quer durch das Fluggebiet verläuft eine Hochspannungsleitung auf \(16\) m Höhe. Drei Fragen — ein Graph: Wie hoch steigt die Drohne maximal? Wann kreuzt sie die Leitungshöhe? In welchem Zeitraum fliegt sie über der Leitung?
Ein einziger Graph beantwortet drei verschiedene Fragetypen:
- Extremwert: Der Hochpunkt \((6 \mid 18)\) — die maximale Flughöhe beträgt \(18\) m.
- Gleichung \(h(t) = 16\): Die Schnittstellen mit der Horizontalen — \(t_1 = 4\) und \(t_2 = 8\).
- Ungleichung \(h(t) > 16\): Der Bereich, in dem die Kurve oberhalb der Linie liegt — das Intervall \(4 < t < 8\).
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was bedeutet die Lösungsmenge der Ungleichung \(h(t) > 16\) am Graphen?
- Die Kurve schneidet dort die \(t\)-Achse.
- Die Kurve verläuft dort oberhalb der Geraden \(y = 16\).
- Die Kurve hat dort ihren Hochpunkt.
Lösung anzeigen
Die Gleichung \(h(t) = 16\) grafisch lösen heisst: die des Graphen von \(h\) mit der horizontalen Geraden \(y = 16\) bestimmen.
Lösung anzeigen
Berechne die Flughöhe nach \(2\) Minuten.
Lösung anzeigen
Löse \(h(t) = 16\) algebraisch und vergleiche mit dem Graphen.
Lösungsweg anzeigen
Definition — elementare Funktionen
Der Funktionsbegriff selbst (eindeutige Zuordnung, Definitions- und Wertemenge, Funktionsgraph) ist aus dem Grundlagenfach bekannt — siehe ↩ 3.1 Grundlagen Funktionen (Grundlagenfach). Neu ist der systematische Blick auf die Familie der Grundfunktionen:
Als elementare Funktionen bezeichnen wir die Grundfunktionen
\[ x,\quad x^2,\quad x^3,\quad \sqrt{x},\quad \frac{1}{x},\quad a^x,\quad \log_a x,\quad \sin x,\ \cos x \]sowie alles, was durch Transformationen (Verschieben, Spiegeln, Strecken) und einfache Verknüpfungen daraus entsteht. Wer die Grundgraphen und ihre Kenndaten (Definitionsmenge, markante Punkte, Asymptoten) kennt, kann jede transformierte Variante ohne Wertetabelle skizzieren.
Jede Funktionsklasse hat ihre eigene Seite: ↩ 3.2a Potenzfunktionen · ↩ 3.2b Wurzelfunktionen · ↩ 3.3 Polynomfunktionen · ↩ 3.4a Exponentialfunktionen · ↩ 3.4b Logarithmusfunktionen · ↩ 3.5 Trigonometrische Funktionen. Hier geht es um die gemeinsamen Werkzeuge.
Die Grundgraphen im Steckbrief
Klicke dich durch die acht Grundfunktionen — Graph und Steckbrief gehören zusammen. Diese Bilder solltest du auswendig skizzieren können:
✏️ Mini-Check — Grundgraphen
Welche Grundfunktion hat die Definitionsmenge \(D = \mathbb{R}_0^+\)?
- \(y = \sqrt{x}\)
- \(y = \dfrac{1}{x}\)
- \(y = x^3\)
Lösung anzeigen
Die Graphen von \(y = x^2\) (auf \(\mathbb{R}_0^+\)) und \(y = \sqrt{x}\) gehen durch Spiegelung an der auseinander hervor.
Lösung anzeigen
Durch welche zwei markanten Punkte läuft jede Exponentialkurve \(y = a^x\), und durch welchen jede Logarithmuskurve?
Lösung anzeigen
Ein Graph läuft durch \((1 \mid 1)\), existiert nur für \(x \neq 0\) und schmiegt sich an beide Koordinatenachsen. Welche Grundfunktion ist es — und woran hast du sie erkannt?
Lösungsweg anzeigen
Transformationen — ein Schema für alle Funktionen
Aus jeder Grundfunktion \(f\) entsteht durch die Parameter \(a\), \(u\), \(v\) eine ganze Familie:
| Parameter | Wirkung auf den Graphen von \(y = f(x)\) |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung um \(u\) in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung um \(v\) in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|a|\) | Streckung (\(|a| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|a| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(a < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Die Ersetzung \(x \to -x\) spiegelt an der \(y\)-Achse: \(y = f(-x)\). Markante Punkte und Asymptoten wandern bei allen Transformationen mit.
Nein — nach rechts! \(y = f(x-3)\) nimmt an der Stelle \(x = 3\) den Wert \(f(0)\) an: Alles passiert \(3\) Einheiten später. Kontrolle über einen markanten Punkt: Der Scheitel von \((x-3)^2\) liegt bei \(x = 3\), nicht bei \(-3\).
✏️ Mini-Check — Transformationen
Wie geht der Graph von \(y = -\sqrt{x} + 2\) aus dem Graphen von \(y = \sqrt{x}\) hervor?
- Spiegelung an der \(x\)-Achse, dann 2 nach oben
- Spiegelung an der \(y\)-Achse, dann 2 nach rechts
- Verschiebung um 2 nach unten
Lösung anzeigen
Der Graph von \(y = (x+4)^2 - 1\) ist die Normalparabel, um \(4\) nach und um \(1\) nach unten verschoben.
Lösung anzeigen
Gib die Gleichung der Normalparabel an, die um \(2\) nach rechts und \(5\) nach oben verschoben ist.
Lösung anzeigen
Ein Graph sieht aus wie \(y = \tfrac{1}{x}\), hat aber die Asymptoten \(x = 2\) und \(y = -3\). Rekonstruiere die Funktionsgleichung.
Lösungsweg anzeigen
Schnittpunkte, Un-/Gleichungen und Extremwerte
Ein Punkt liegt auf beiden Graphen, wenn beide Funktionen dort denselben Wert haben. Rechnerisch:
\[ f(x) = g(x) \quad\xrightarrow{\ \text{lösen}\ }\quad \text{Schnittstellen } x_i \quad\xrightarrow{\ \text{einsetzen}\ }\quad S_i = \bigl(x_i \mid f(x_i)\bigr) \]Gleichsetzen → lösen → einsetzen. Grafisch: die Kreuzungspunkte der beiden Kurven.
Bestimme die Schnittpunkte von \(f(x) = x^2 - 1\) und \(g(x) = x + 1\).
Lösung: Gleichsetzen und ordnen:
\[ x^2 - 1 = x + 1 \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+1)(x-2) = 0 \]Schnittstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\); Einsetzen in \(g\): \(S_1 = (-1 \mid 0)\), \(S_2 = (2 \mid 3)\).
| Algebra | Bild am Graphen | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| \(f(x) = g(x)\) | Kurven kreuzen sich | einzelne Schnittstellen |
| \(f(x) > g(x)\) | Kurve von \(f\) liegt oberhalb | Intervalle zwischen bzw. ausserhalb der Schnittstellen |
| \(f(x) = 0\) | Kurve schneidet die \(x\)-Achse | Nullstellen |
Die Schnittstellen zerlegen die \(x\)-Achse in Abschnitte; in jedem Abschnitt liegt eine Kurve durchgehend oben. Ein Testwert pro Abschnitt entscheidet.
Für welche \(x\) gilt \(x^2 - 1 > x + 1\)?
Lösung: Die Schnittstellen aus Beispiel 1 sind \(-1\) und \(2\). Testwert \(x = 0\) dazwischen: \(0^2 - 1 = -1 < 1 = 0 + 1\) — dort liegt die Parabel unterhalb. Also liegt sie aussen oberhalb:
\[ L = \{x \mid x < -1 \ \vee\ x > 2\} \]Löse \(2^x = 3 - x\).
Lösung: Mit elementaren Umformungen lässt sich die Gleichung nicht nach \(x\) auflösen (die Unbekannte steht im Exponenten und linear) — eine Lösung gibt es aber. Grafisch: \(y = 2^x\) ist streng steigend, \(y = 3 - x\) streng fallend — die Kurven schneiden sich höchstens einmal. Probieren liefert den Treffer exakt:
\[ x = 1:\quad 2^1 = 2 = 3 - 1 \quad\checkmark \qquad\Longrightarrow\qquad L = \{1\} \]- Zielgrösse festlegen: Was soll maximal/minimal werden? (Fläche, Kosten, …)
- Nebenbedingung aufschreiben: Welche Einschränkung verbindet die Variablen?
- Nebenbedingung einsetzen → Zielfunktion mit einer Variablen (sinnvollen Definitionsmenge angeben!).
- Extremum bestimmen: Bei quadratischer Zielfunktion über die Scheitelform; sonst grafisch oder mit Wertetabelle.
Mit \(60\) m Zaun soll am geraden Flussufer eine rechteckige Weide abgesteckt werden — die Flussseite braucht keinen Zaun. Welche Masse maximieren die Fläche?
Lösung: Zielgrösse \(A = x \cdot y\) (Breite \(x\) senkrecht zum Fluss). Nebenbedingung: \(2x + y = 60\), also \(y = 60 - 2x\). Einsetzen (\(0 < x < 30\)):
\[ A(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x = -2(x - 15)^2 + 450 \]Scheitel bei \(x = 15\): Breite \(15\) m, Länge \(y = 30\) m, maximale Fläche \(A = 450\ \text{m}^2\).
Bei Ungleichungen gehören die Schnittstellen selbst nur bei \(\geq\)/\(\leq\) zur Lösungsmenge. Und bei Extremwertaufgaben muss die Lösung im sinnvollen Bereich liegen: Eine «optimale Breite» von \(-5\) m oder ausserhalb der Nebenbedingung ist keine Lösung — Definitionsmenge immer mitdenken.
Eine schnelle Skizze zeigt, wie viele Lösungen zu erwarten sind und wo ungefähr sie liegen — das schützt vor verlorenen Lösungen und Rechenfehlern. Danach liefert die Algebra die exakten Werte. Bei monotonen Funktionen (nur steigend oder nur fallend) gibt es höchstens einen Schnittpunkt.
✏️ Mini-Check — Schnittpunkte, Ungleichungen, Extremwerte
Wie berechnet man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen?
- Beide Funktionen null setzen
- Die Funktionsterme gleichsetzen und die Gleichung lösen
- Die Funktionsterme addieren
Lösung anzeigen
Bei einer Extremwertaufgabe verbindet die die beiden Variablen, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Variablen abhängt.
Lösung anzeigen
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \(y = 2x - 3\) und \(y = -x + 6\).
Lösung anzeigen
Warum kann die Gleichung \(3^x = -2 + x\) keine Lösung mit \(x \leq 2\) haben — und wie sieht man am Graphen, ob es überhaupt eine gibt?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt — alle vier sind transformierte Normalparabeln.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand: Grundfunktion erkennen, Ankerpunkt verschieben, Kurve zeichnen. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = (x-1)^2 - 4\)
- \(y = -\sqrt{x+2} + 1\)
- \(y = 2^{\,x-1}\)
- Blau: Normalparabel mit Scheitel \((1 \mid -4)\); Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\).
- Grün: Wurzelkurve, an der \(x\)-Achse gespiegelt, Startpunkt \((-2 \mid 1)\); Nullstelle bei \(x = -1\), \(D = [-2;\, \infty[\).
- Violett: Exponentialkurve, um \(1\) nach rechts verschoben — läuft durch \((1 \mid 1)\) und \((2 \mid 2)\), Asymptote \(y = 0\).
Bestimme die Schnittstellen von \(f(x) = x^2 - 1\) und \(g(x) = x + 1\).
Schnittpunkte: \(S_1 = (-1 \mid 0)\) und \(S_2 = (2 \mid 3)\).
Bestimme den Schnittpunkt von \(y = 2x - 3\) und \(y = -x + 6\).
\(2x - 3 = -x + 6 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\); einsetzen: \(y = 2 \cdot 3 - 3 = 3\). Schnittpunkt \(S = (3 \mid 3)\).
Gib den Scheitelpunkt \(S = (x_S \mid y_S)\) von \(y = 2(x-3)^2 - 5\) an.
Die Form \(a(x-u)^2 + v\) zeigt die Verschiebung direkt: \(S = (3 \mid -5)\). Der Faktor \(2\) streckt die Parabel, ändert aber den Scheitel nicht.
Bestimme die Nullstellen von \(y = (x-1)^2 - 4\).
Für welche \(x\) gilt \(x^2 - 1 > x + 1\)? Gib die Grenze des rechten Lösungsintervalls an.
Schnittstellen \(-1\) und \(2\) (Teilaufgabe a). Testwert \(x = 0\): Parabel unterhalb. Also gilt die Ungleichung aussen: \(L = \{x \mid x < -1 \ \vee\ x > 2\}\) — das rechte Intervall beginnt bei \(x = 2\) (offen, da strikt «grösser»).
Mit \(60\) m Zaun wird am geraden Flussufer eine rechteckige Weide abgesteckt; die Flussseite bleibt offen. Die Breite senkrecht zum Fluss sei \(x\).
- Stelle die Zielfunktion \(A(x)\) auf (Nebenbedingung: \(2x + y = 60\)).
- Bestimme die optimale Breite \(x\) über die Scheitelform.
- Gib die maximale Fläche an.
- \(y = 60 - 2x\), also \(A(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x\) mit \(0 < x < 30\).
- Quadratische Ergänzung: \(A(x) = -2x^2 + 60x = -2(x^2 - 30x) = -2\bigl((x-15)^2 - 225\bigr) = -2(x-15)^2 + 450\) — Scheitel bei \(x = 15\) m (Länge \(y = 30\) m).
- \(A_{\max} = 450\ \text{m}^2\). Kontrolle mit Nachbarwerten: \(A(10) = A(20) = 400 < 450\) ✓
Für die Wartung einer Maschine liegen zwei Offerten vor (\(x\): Anzahl Serviceeinsätze pro Jahr, Kosten in CHF):
\[ K_A(x) = 80 + 40x \qquad\qquad K_B(x) = 200 + 25x \]- Ab wie vielen Einsätzen ist Angebot B günstiger? Löse grafisch und rechnerisch.
- Interpretiere: Was bedeuten Schnittpunkt, «oberhalb» und «unterhalb» hier konkret?
- \(80 + 40x = 200 + 25x \Rightarrow 15x = 120 \Rightarrow x = 8\) (beide \(400\) CHF). Für \(x > 8\) ist B günstiger — die Gerade von B verläuft dort unterhalb.
- Der Schnittpunkt \((8 \mid 400)\) ist der «Break-even»: Bei genau \(8\) Einsätzen kosten beide gleich viel. «\(K_B\) unterhalb \(K_A\)» heisst: B ist günstiger — die Ungleichung \(K_B(x) < K_A(x)\) hat die Lösungsmenge \(x > 8\).
Betrachte die Gleichung \(2^x = 3 - x\).
- Skizziere beide Graphen und lies die Lösung ab.
- Begründe mit dem Kurvenverlauf, dass es genau eine Lösung gibt.
- Bestätige die Lösung durch Einsetzen.
- Die Exponentialkurve und die fallende Gerade kreuzen sich bei \(x = 1\).
- \(2^x\) ist streng steigend, \(3 - x\) streng fallend — zwei solche Kurven schneiden sich höchstens einmal. Da links (\(x = 0\): \(1 < 3\)) die Gerade oben liegt und rechts (\(x = 2\): \(4 > 1\)) die Exponentialkurve, gibt es genau einen Schnitt.
- \(2^1 = 2 = 3 - 1\) ✓ — also \(L = \{1\}\).
Einem Parabelbogen \(y = 12 - x^2\) (für \(0 \leq x \leq \sqrt{12}\)) wird ein Rechteck einbeschrieben: Ecken in \((0 \mid 0)\), \((x \mid 0)\), \((x \mid 12 - x^2)\) und \((0 \mid 12 - x^2)\).
- Stelle die Zielfunktion \(A(x)\) für den Flächeninhalt auf.
- Werte \(A(x)\) für \(x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3\) aus und lies das Maximum näherungsweise ab.
- Warum hilft die Scheitelform hier nicht weiter — und welches Werkzeug bräuchte es für die exakte Lösung?
- \(A(x) = x \cdot (12 - x^2) = 12x - x^3\) mit \(0 < x < \sqrt{12}\).
- \(A(1) = 11\), \(A(1.5) \approx 14.63\), \(A(2) = 16\), \(A(2.5) \approx 14.38\), \(A(3) = 9\) — das Maximum liegt bei \(x = 2\) mit \(A = 16\).
- \(A(x)\) ist eine Polynomfunktion dritten Grades — quadratische Ergänzung greift nicht. Exakt findet man das Maximum mit der Differenzialrechnung (Analysis); bis dahin liefern Wertetabelle und Graph eine verlässliche Näherung. (Sie trifft hier sogar exakt: \(x = 2\).)
Zusammenfassung
Der Werkzeugkasten für alle Funktionsklassen: Grundgraphen auswendig kennen und mit \(y = a \cdot f(x-u) + v\) verschieben, spiegeln und strecken — markante Punkte und Asymptoten wandern mit. Schnittpunkte durch Gleichsetzen, Gleichungen als Schnittstellen-Frage, Ungleichungen als «Kurve oberhalb»-Frage mit Intervall-Lösungen, Extremwertaufgaben über Zielfunktion + Nebenbedingung und die Scheitelform. Die Skizze zuerst — sie verrät Anzahl und Lage der Lösungen.
| Aufgabe | Verfahren | Grafisches Bild |
|---|---|---|
| Graph skizzieren | Grundfunktion + Transformation \(a \cdot f(x-u) + v\) | Ankerpunkt nach \((u \mid v)\) schieben |
| Gleichung bestimmen | Grundform erkennen, Parameter aus markanten Punkten | Scheitel, Asymptoten, Schnitt mit Achsen ablesen |
| Schnittpunkte | gleichsetzen → lösen → einsetzen | Kreuzungspunkte der Kurven |
| Ungleichung \(f > g\) | Schnittstellen + Testwert je Abschnitt | Bereiche, wo \(f\) oberhalb liegt |
| Extremwertaufgabe | Zielfunktion + Nebenbedingung → Scheitelform | Hoch-/Tiefpunkt der Zielfunktion |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Drohnenflug: Hochpunkt, Schnittstellen, Intervall
- 0:00Eine Drohne fliegt einen Bogen, ihre Höhe folgt einer Parabel. Eine Leitung hängt auf sechzehn Meter. Wie hoch steigt die Drohne, und wann ist sie über der Leitung?
- 0:10Nach vier Minuten ist die Drohne genau auf Leitungshöhe, nach acht Minuten wieder. Die Schnittstellen vier und acht lösen die Gleichung h von t gleich sechzehn.
- 0:19Nach sechs Minuten ist die Drohne am höchsten Punkt, auf achtzehn Metern. Sechs liegt genau in der Mitte zwischen vier und acht.
- 0:29Nach sieben Minuten fliegt die Drohne auf siebzehn Komma fünf Metern, also über der Leitung. Das gilt zwischen vier und acht Minuten, nach zehn Minuten ist sie wieder darunter.
- 0:39Merke: Der Hochpunkt beantwortet die Frage nach dem Extremwert, die Schnittstellen lösen die Gleichung, und das Intervall dazwischen löst die Ungleichung. Grösser als heisst am Graphen: oberhalb.
Grundfunktionen: jede hat ihr eigenes Profil
- 0:00Acht Grundfunktionen, acht Graphen. Man erkennt sie an drei Dingen: wo sie definiert sind, durch welche Punkte sie laufen und ob sie sich an eine Asymptote schmiegen.
- 0:10Die Wurzel gibt es erst ab null. Sie beginnt im Ursprung und läuft durch eins eins. Sie ist das Umkehrbild der Parabel: zwei im Quadrat ist vier, die Wurzel aus vier ist zwei.
- 0:21Den Logarithmus gibt es nur für positive x. Nahe der y-Achse fällt er steil ab, die Achse ist seine Asymptote. Er läuft durch eins null und durch e eins.
- 0:31Der Sinus ist eine Welle zwischen minus eins und eins. Er hat Nullstellen bei minus pi, null und pi, und nach zwei pi wiederholt sich alles.
- 0:41Merke: Definitionsmenge, markante Punkte und Asymptoten ergeben für jede Grundfunktion ein eigenes Profil. Wer es kennt, erkennt die Funktion auch verschoben wieder.
Transformationen: ein Schema für alle Grundfunktionen
- 0:00Aus jeder Grundfunktion f wird mit a, u und v eine ganze Familie. Verfolgen wir den grünen Ankerpunkt: Wirkt die Transformation bei jeder Funktion gleich?
- 0:10Mit a gleich minus eins klappt die Parabel an der x-Achse nach unten. Der Scheitel im Ursprung bleibt liegen, denn minus eins mal null ist null.
- 0:20Mit u gleich zwei und v gleich eins wandert der Scheitel zwei nach rechts und eins nach oben, also nach zwei eins. Minus zwei in der Klammer schiebt nach rechts.
- 0:29Jetzt dieselben Werte bei der Hyperbel. Die Lücke wandert von null nach zwei, der Ankerpunkt von eins eins nach drei zwei: Die Verschiebung wirkt genau gleich.
- 0:39Merke: a streckt und klappt die Kurve um, u und v verschieben sie, und zwar bei jeder Grundfunktion gleich. Und x minus zwei in der Klammer schiebt nach rechts.
Ungleichung am Graphen: die Schnittstellen zerlegen die Achse
- 0:00Eine Parabel, die sich mit c verschieben lässt, und eine feste Gerade. Für welche x liegt die Parabel über der Geraden, und was ändert ein Gleichheitszeichen?
- 0:09Mit c gleich minus eins schneiden sich die Kurven bei minus eins und bei zwei. Die Parabel öffnet nach oben, also liegt sie links und rechts ausserhalb über der Geraden.
- 0:20Bei grösser gleich bleiben dieselben Bereiche grün. Nur die Ränder minus eins und zwei gehören jetzt dazu, die Klammern drehen sich nach innen.
- 0:30Bei c gleich eins Komma zwei fünf berührt die Parabel die Gerade nur noch bei null Komma fünf. Kleiner gleich gilt nur dort. Grösser gleich gilt überall, denn ein Quadrat ist nie negativ.
- 0:41Merke: Die Schnittstellen zerlegen die x-Achse, und in jedem Abschnitt liegt eine Kurve oben. Das Gleichheitszeichen entscheidet nur, ob die Ränder dazugehören.
Weide am Fluss: die grösste Fläche liegt im Scheitel
- 0:00Mit sechzig Meter Zaun wird am Fluss eine rechteckige Weide abgesteckt, die Flussseite braucht keinen Zaun. Also ist y gleich sechzig minus zwei x, und die Fläche hängt nur noch von x ab.
- 0:11Bei fünf Meter Breite bleiben für die Länge fünfzig Meter. Die Fläche ist zweihundertfünfzig Quadratmeter.
- 0:19Bei fünfzehn Meter Breite ist die Länge dreissig Meter und die Fläche vierhundertfünfzig Quadratmeter. Der Punkt steht im Scheitel, die Weide ist doppelt so lang wie breit.
- 0:29Bei fünfundzwanzig Meter Breite bleiben nur zehn Meter Länge, wieder zweihundertfünfzig Quadratmeter. Die Kurve ist symmetrisch zu fünfzehn.
- 0:39Merke: Die Nebenbedingung macht aus zwei Variablen eine. Der Scheitel der Zielfunktion liefert das Maximum. Und die Breite muss zwischen null und dreissig Metern liegen.
Transformation erkennen: erst der Scheitel, dann die Öffnung
- 0:00In Aufgabe A1 ordnest du vier verschobene Normalparabeln ihren Gleichungen zu. Das Vorgehen: zuerst den Scheitel suchen, dann die Öffnung prüfen.
- 0:10Graph eins hat seinen Scheitel bei zwei auf der x-Achse und öffnet nach oben. Also y gleich x minus zwei im Quadrat. Probe: Bei null ist der Wert vier.
- 0:20Graph vier sieht gleich aus, nur liegt der Scheitel bei minus zwei. In der Klammer steht plus zwei, und das schiebt nach links.
- 0:28Graph drei hat den Scheitel bei null zwei auf der y-Achse und öffnet nach unten. Das Minus vor x Quadrat klappt die Parabel um, und plus zwei hebt sie gleichsinnig an.
- 0:38Merke: Die Zahl in der Klammer verschiebt waagrecht und gegenläufig, der Summand aussen senkrecht und gleichsinnig. Ein Minus davor öffnet die Parabel nach unten.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.