| Funktion | \(D\) | \(W\) | markante Punkte | Besonderes |
|---|---|---|---|---|
| \( x \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (0 \mid 0) \) | Gerade, ungerade Funktion |
| \( x^2 \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R}_0^+ \) | \( (0 \mid 0),\ (\pm 1 \mid 1) \) | Normalparabel, gerade Funktion |
| \( x^3 \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (0 \mid 0),\ (\pm 1 \mid \pm 1) \) | ungerade, Terrassenpunkt |
| \( \sqrt{x} \) | \( \mathbb{R}_0^+ \) | \( \mathbb{R}_0^+ \) | \( (0 \mid 0),\ (1 \mid 1) \) | Umkehrfunktion von \(x^2\) |
| \( \tfrac{1}{x} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | \( (\pm 1 \mid \pm 1) \) | Hyperbel, Asymptoten \(x = 0\), \(y = 0\) |
| \( a^x \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R}^+ \) | \( (0 \mid 1),\ (1 \mid a) \) | Asymptote \(y = 0\) |
| \( \log_a x \) | \( \mathbb{R}^+ \) | \( \mathbb{R} \) | \( (1 \mid 0) \) | Asymptote \(x = 0\) |
| \( \sin x \) | \( \mathbb{R} \) | \( [-1;\,1] \) | \( (0 \mid 0),\ (\tfrac{\pi}{2} \mid 1) \) | periodisch (\(2\pi\)), ungerade |
Aus jeder Grundfunktion \(f\) entsteht die Familie \( y = a \cdot f(x-u) + v \):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|a|\) | Streckung (\(|a| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|a| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(a < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Die Ersetzung \( x \to -x \) spiegelt an der \(y\)-Achse. Markante Punkte und Asymptoten wandern mit; \((x-3)\) verschiebt nach rechts, nicht nach links!
Gleichsetzen → lösen → einsetzen: \( f(x) = g(x) \) liefert die Schnittstellen \(x_i\); Einsetzen in \(f\) oder \(g\) die Schnittpunkte \( S_i = (x_i \mid f(x_i)) \). Grafisch: die Kreuzungspunkte der Kurven.
| Algebra | Bild am Graphen | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| \( f(x) = g(x) \) | Kurven kreuzen sich | einzelne Schnittstellen |
| \( f(x) > g(x) \) | Kurve von \(f\) liegt oberhalb | Intervalle |
| \( f(x) = 0 \) | Kurve schneidet die \(x\)-Achse | Nullstellen |
Die Schnittstellen zerlegen die \(x\)-Achse in Abschnitte — ein Testwert pro Abschnitt entscheidet, wo die Ungleichung gilt. Randpunkte gehören nur bei \(\geq\)/\(\leq\) dazu.
(1) Zielgrösse festlegen · (2) Nebenbedingung aufschreiben · (3) einsetzen → Zielfunktion mit einer Variablen (Definitionsbereich!) · (4) Extremum über die Scheitelform \( a(x-u)^2 + v \) (Scheitel \((u \mid v)\)) oder grafisch bestimmen.
Grundgraphen kennen, mit \( a \cdot f(x-u) + v \) transformieren, Schnittpunkte durch Gleichsetzen, Ungleichungen als «oberhalb/unterhalb»-Frage, Extremwerte über Zielfunktion + Nebenbedingung. Die Skizze zuerst — sie verrät Anzahl und Lage der Lösungen.