12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Gib die Definitionsmenge an:
(a) \( y = \sqrt{x} \) (b) \( y = \dfrac{1}{x} \) (c) \( y = \ln x \)
Durch welchen Punkt laufen alle Kurven der Familie?
(a) \( y = a^x \) (b) \( y = \log_a x \) (c) \( y = x^n \) (\(n\) ungerade)
Gib den Scheitelpunkt von \( y = 3(x+2)^2 - 7 \) an.
Die Normalparabel wird um \(1\) nach rechts und \(4\) nach unten verschoben. Gib die Funktionsgleichung an und berechne die Nullstellen.
Was bewirkt jeweils die Umformung am Graphen von \( y = f(x) \)?
(a) \( y = -f(x) \) (b) \( y = f(-x) \)
Berechne den Schnittpunkt von \( y = x + 2 \) und \( y = 3x - 4 \).
Berechne die Schnittstellen von \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = 2x + 3 \).
Für welche \(x\) gilt \( x^2 < 4 \)? Argumentiere am Graphen der Normalparabel und der Geraden \( y = 4 \).
Berechne die Nullstellen von \( y = (x+2)^2 - 9 \).
Ein Rechteck hat den Umfang \(40\) cm. Welche Seitenlängen maximieren den Flächeninhalt? Stelle die Zielfunktion auf und nutze die Scheitelform.
Begründe ohne Rechnung, dass die Gleichung \( 3^x = -1 \) keine Lösung hat — und dass \( 3^x = 5 - x \) genau eine hat.
\(u\): \(x\)-Richtung · \(v\): \(y\)-Richtung · \(|a|\): streckt/staucht · \(a < 0\): Spiegelung an der \(x\)-Achse.
(a) \( D = \mathbb{R}_0^+ \) · (b) \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) · (c) \( D = \mathbb{R}^+ \).
(a) \( (0 \mid 1) \), denn \( a^0 = 1 \) · (b) \( (1 \mid 0) \), denn \( \log_a 1 = 0 \) · (c) \( (0 \mid 0) \), \( (1 \mid 1) \) und \( (-1 \mid -1) \).
\( x + 2 = x - (-2) \), also \( S = (-2 \mid -7) \).
\( y = (x-1)^2 - 4 \). Nullstellen: \( (x-1)^2 = 4 \Rightarrow x - 1 = \pm 2 \Rightarrow x_1 = -1,\ x_2 = 3 \).
(a) Spiegelung an der \(x\)-Achse (alle Funktionswerte wechseln das Vorzeichen) · (b) Spiegelung an der \(y\)-Achse (der Graph wird seitenverkehrt).
\( x + 2 = 3x - 4 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \); \( y = 5 \): \( S = (3 \mid 5) \).
\( x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x+1)(x-3) = 0 \Rightarrow x_1 = -1,\ x_2 = 3 \).
Die Parabel liegt zwischen den Schnittstellen \( \pm 2 \) unterhalb der Geraden: \( L = \{x \mid -2 < x < 2\} \) — Randpunkte ausgeschlossen (striktes «kleiner»).
\( (x+2)^2 = 9 \Rightarrow x + 2 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = -5,\ x_2 = 1 \).
Nebenbedingung \( 2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x \). Zielfunktion \( A(x) = x(20-x) = -(x-10)^2 + 100 \) — Maximum bei \( x = y = 10 \) cm, \( A = 100\ \text{cm}^2 \): Das Quadrat ist das flächengrösste Rechteck bei festem Umfang.
\( 3^x > 0 \) für alle \(x\) — die Kurve erreicht \(-1\) nie. Bei \( 3^x = 5 - x \) ist die linke Seite streng steigend, die rechte streng fallend: höchstens ein Schnitt; da für \( x = 0 \) die Gerade oben liegt (\(1 < 5\)) und für \( x = 2 \) die Exponentialkurve (\(9 > 3\)), gibt es genau eine Lösung dazwischen.