Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Alle Graphen mit beschrifteten Achsen (Grösse und Einheit) skizzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Pneumatik | Boyle-Mariotte an der Velopumpe | ●●○ |
| 2 | Ballonfahrt | Volumen eines Heissluftballons | ●●○ |
| 3 | Lichttechnik | Beleuchtungsstärke und Abstand | ●●● |
| 4 | Statik | Durchbiegung eines Balkens | ●●● |
| 5 | Elektrotechnik | Parallelschaltung | ●●● |
| 6 | Energietechnik | Windleistung | ●●● |
In einer verschlossenen Velopumpe gilt bei konstanter Temperatur \( p \cdot V = 240 \) (Druck \(p\) in kPa, Volumen \(V\) in dm³).
(a) Gib die Funktionsgleichung \( p(V) \) an und benenne den Funktionstyp.
(b) Berechne den Druck bei \( V = 2\ \text{dm}^3 \).
(c) Auf welches Volumen muss komprimiert werden, damit \( p = 300 \) kPa erreicht wird?
(d) Skizziere den Graphen für \( 0.5 \leq V \leq 4 \) und deute das asymptotische Verhalten.
Ein Heissluftballon sei näherungsweise kugelförmig: \( V(r) = \tfrac{4}{3} \pi r^3 \).
(a) Berechne das Volumen für \( r = 8.5 \) m.
(b) Welchen Radius braucht ein Ballon mit \( V = 3000\ \text{m}^3 \)?
(c) Der Radius wird um 10 % vergrössert. Um wie viel Prozent wächst das Volumen?
Für eine punktförmige Lichtquelle gilt das Abstandsgesetz \( E(r) = \dfrac{k}{r^2} \) mit \( k = 800\ \text{lx} \cdot \text{m}^2 \) (Beleuchtungsstärke \(E\) in Lux, Abstand \(r\) in m).
(a) Welcher Potenzfunktions-Typ liegt vor? Gib den Exponenten an.
(b) Berechne \( E \) im Abstand \( r = 2 \) m.
(c) In welchem Abstand beträgt die Beleuchtungsstärke noch \( 50 \) lx?
(d) Der Abstand wird verdoppelt — auf welchen Bruchteil sinkt \(E\)?
Die Durchbiegung eines einseitig eingespannten Balkens unter fester Last wächst mit der dritten Potenz der freien Länge: \( f(L) = 0.2 \cdot L^3 \) (\(f\) in mm, \(L\) in m).
(a) Berechne die Durchbiegung bei \( L = 3 \) m.
(b) Bei welcher Länge erreicht die Durchbiegung \( 10 \) mm?
(c) Die Länge wird verdoppelt. Um welchen Faktor wächst die Durchbiegung?
Zu einem festen Widerstand \( R_2 = 1000\ \Omega \) wird \(R_1\) parallel geschaltet: \( R(R_1) = \dfrac{1000 \cdot R_1}{R_1 + 1000} \).
(a) Berechne \( R(1000) \).
(b) Wie gross muss \( R_1 \) sein, damit \( R = 800\ \Omega \) beträgt?
(c) Welchem Wert nähert sich \(R\) für sehr grosse \(R_1\)? Deute die Asymptote physikalisch.
Die Leistung einer kleinen Windturbine wächst mit der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit: \( P(v) = 0.6 \cdot v^3 \) (\(P\) in kW, \(v\) in m/s).
(a) Berechne die Leistung bei \( v = 5 \) m/s.
(b) Ab welcher Windgeschwindigkeit liefert die Anlage \( 300 \) kW?
(c) Die Windgeschwindigkeit verdoppelt sich. Um welchen Faktor steigt die Leistung? Was bedeutet das für die Standortwahl?
(a) \( p(V) = \dfrac{240}{V} = 240 \cdot V^{-1} \) — Potenzfunktion mit \( n = -1 \), Graph ist eine Hyperbel (physikalisch sinnvoll nur der Ast mit \( V > 0 \)).
(b) \( p(2) = 120 \) kPa.
(c) \( V = \dfrac{240}{300} = 0.8\ \text{dm}^3 \).
(d) Für \( V \to 0 \) wächst \(p\) über alle Grenzen (Polgerade \( V = 0 \)); für \( V \to \infty \) geht \( p \to 0 \) (horizontale Asymptote).
(a) \( V(8.5) = \tfrac{4}{3} \pi \cdot 8.5^3 \approx 2572\ \text{m}^3 \).
(b) \( r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} = \sqrt[3]{\dfrac{3 \cdot 3000}{4\pi}} \approx 8.95 \) m.
(c) Faktor \( 1.1^3 = 1.331 \) — das Volumen wächst um gut 33 %.
(a) Hyperbel 2. Ordnung: \( E = 800 \cdot r^{-2} \), Exponent \( n = -2 \).
(b) \( E(2) = \dfrac{800}{4} = 200 \) lx.
(c) \( r^2 = \dfrac{800}{50} = 16 \Rightarrow r = 4 \) m.
(d) \( E(2r) = \dfrac{k}{4r^2} \) — auf einen Viertel.
(a) \( f(3) = 0.2 \cdot 27 = 5.4 \) mm.
(b) \( L^3 = \dfrac{10}{0.2} = 50 \Rightarrow L = \sqrt[3]{50} \approx 3.68 \) m.
(c) Faktor \( 2^3 = 8 \) — doppelte Länge, achtfache Durchbiegung.
(a) \( R(1000) = \dfrac{10^6}{2000} = 500\ \Omega \) — zwei gleiche Widerstände parallel halbieren.
(b) \( \dfrac{1}{R_1} = \dfrac{1}{800} - \dfrac{1}{1000} = \dfrac{200}{800\,000} \Rightarrow R_1 = 4000\ \Omega \).
(c) \( R \to 1000\ \Omega \) (horizontale Asymptote \( R = R_2 \)): Ein riesiger Parallelwiderstand trägt fast nichts bei — der Gesamtwiderstand bleibt stets unter dem kleinsten Einzelwiderstand.
(a) \( P(5) = 0.6 \cdot 125 = 75 \) kW.
(b) \( v^3 = \dfrac{300}{0.6} = 500 \Rightarrow v = \sqrt[3]{500} \approx 7.94 \) m/s.
(c) Faktor \( 2^3 = 8 \). Schon geringfügig windigere Standorte liefern massiv mehr Energie — darum lohnt sich die sorgfältige Standortwahl (und Nabenhöhe) überproportional.