3.2a Potenzfunktionen
Potenzfunktionen der Form \(f(x) = a \cdot x^n\) mit ganzzahligen Exponenten sind die Grundbausteine vieler Funktionsklassen: Ihre Graphen sind Parabeln n-ter Ordnung (positive Exponenten) oder Hyperbeln n-ter Ordnung (negative Exponenten). Hier untersuchst du ihren Verlauf, ihre Symmetrien, das asymptotische Verhalten und die Wirkung von Streckungen und Verschiebungen.
- die Wurzelfunktionen als Umkehrfunktion der Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten berechnen, interpretieren und grafisch darstellen auch ohne Hilfsmittel
Diese Seite legt den Grundstein: die Potenzfunktionen selbst. Die Wurzelfunktionen als ihre Umkehrfunktionen werden in Teil 2 (s3-2b) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann eine Potenzfunktion \(f(x) = a \cdot x^n\) mit \(n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) erkennen und von anderen Funktionstypen unterscheiden.
- Ich kann die Graphen für gerade und ungerade Exponenten skizzieren und ihre Symmetrie (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) begründen.
- Ich kann Definitions- und Wertemenge sowie die gemeinsamen Punkte der Parabeln und Hyperbeln n-ter Ordnung angeben.
- Ich kann horizontale und vertikale Asymptoten von Hyperbeln bestimmen und die Polstelle benennen.
- Ich kann die Wirkung der Parameter in \(f(x) = a \cdot (x-u)^n + v\) beschreiben und Nullstellen solcher Funktionen berechnen.
- Ich kann aus vorgegebenen Punkten die Parameter \(a\) und \(n\) einer Potenzfunktion bestimmen.
Einstieg — ein Ballon wird aufgeblasen
Ein kugelförmiger Ballon wird mit Helium gefüllt. Sein Radius wächst dabei um 4 cm pro Sekunde, also \(r(t) = 0.4 \cdot t\) in Dezimetern. Für das Volumen gilt:
\[ V(t) = \frac{4}{3}\,\pi \cdot \bigl(0.4 \cdot t\bigr)^3 \approx 0.268 \cdot t^3 \quad [\text{dm}^3] \]Das Volumen wächst mit der dritten Potenz der Zeit. Bei \(150\ \text{dm}^3\) platzt der Ballon — wann ist es so weit?
Der Zusammenhang \(t \mapsto V\) ist keine lineare und keine quadratische Funktion — das Volumen hängt von der dritten Potenz der Zeit ab:
- Verdoppelung der Zeit → Verachtfachung des Volumens (\(2^3 = 8\))
- Der Graph startet flach und wird immer steiler — die Änderungsrate ist nicht konstant
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Zeit wird verdreifacht. Um welchen Faktor wächst das Ballonvolumen \(V(t) \approx 0.268 \cdot t^3\)?
- Faktor 3
- Faktor 9
- Faktor 27
Lösung anzeigen
Der Exponent der Zeitvariablen in der Ballon-Funktion ist — darum verachtfacht sich das Volumen bei Verdopplung der Zeit.
Lösung anzeigen
Berechne das Ballonvolumen nach \(2\) Sekunden.
Lösung anzeigen
Der Ballon platzt bei \(150\ \text{dm}^3\). Stelle die Gleichung auf und bestimme die Platzzeit.
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Definition
Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a \cdot x^n, \qquad n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\quad a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]heisst Potenzfunktion. Der Exponent \(n\) ist eine ganze Zahl, der Koeffizient \(a\) eine reelle Zahl. Die Definitionsmenge hängt von \(n\) ab: für \(n > 0\) ist sie ganz \(\mathbb{R}\), für \(n < 0\) dagegen \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (Division durch \(x\)).
- \(n = 0\): Es ergäbe sich die konstante Funktion \(y = x^0 = 1\). Dieser Fall gehört nicht zu den Potenzfunktionen.
- \(n = 1\): Es ergibt sich die lineare Funktion \(y = x\). Dieser Fall gehört zu den Potenzfunktionen.
Die Rechenregeln für Potenzen (Potenzgesetze) werden auf der Seite ↩ 1.2 Potenzen behandelt.
| Begriff | Bedingung | Symmetrie des Graphen |
|---|---|---|
| gerade Funktion | \(f(-x) = f(x)\) | Achsensymmetrie bezüglich der \(y\)-Achse |
| ungerade Funktion | \(f(-x) = -f(x)\) | Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs \((0 \mid 0)\) |
Bei Potenzfunktionen entscheidet die Parität des Exponenten: gerades \(n\) → gerade Funktion, ungerades \(n\) → ungerade Funktion.
Die drei Darstellungen
Verändere den Koeffizienten \(a\), den Exponenten \(n\) und den Eingabewert \(x\) — Gleichung, Wertetabelle und Graph aktualisieren sich gleichzeitig.
✏️ Mini-Check — Definition und Darstellungen
Welche der folgenden Funktionen ist eine Potenzfunktion im Sinn der Definition?
- \(f(x) = 3 \cdot x^{-2}\)
- \(f(x) = 2^x\)
- \(f(x) = x^2 + 1\)
Lösung anzeigen
Gilt \(f(-x) = -f(x)\) für alle \(x\), so heisst die Funktion und ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Lösung anzeigen
Berechne \(f(-2)\) für \(f(x) = x^5\).
Lösung anzeigen
Warum hat \(f(x) = x^{-2}\) an der Stelle \(x = 0\) keinen Funktionswert, und was bedeutet das für den Graphen?
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Typen — Parabeln und Hyperbeln n-ter Ordnung
Der Graph einer Potenzfunktion mit \(n \in \mathbb{N}^* = \{1;\, 2;\, 3;\, \dots\}\) heisst Parabel n-ter Ordnung.
| Eigenschaften | \(y = x^{2k-1}\) (ungerade) | \(y = x^{2k}\) (gerade) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R}\) | \(D = \mathbb{R}\) |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}\) | \(W = \mathbb{R}_0^+\) |
| Gemeinsame Punkte | \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\), \((-1 \mid -1)\) | \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\), \((-1 \mid 1)\) |
| Nullstellen | \(x_0 = 0\) | \(x_0 = 0\) |
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion) | achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion) |
Der Punkt \(S = (0 \mid 0)\) heisst bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten (\(n \geq 3\)) Terrassenpunkt, bei geraden Exponenten Flachpunkt — die Kurve verläuft dort besonders flach.
Der Graph einer Potenzfunktion mit \(n \in \mathbb{Z}^- = \{-1;\, -2;\, -3;\, \dots\}\) heisst Hyperbel n-ter Ordnung. Der Funktionsterm kann als Bruch geschrieben werden:
\[ y = x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}, \qquad n \in \mathbb{N}^* \]| Eigenschaften | \(y = \dfrac{1}{x^{2n-1}}\) (ungerade) | \(y = \dfrac{1}{x^{2n}}\) (gerade) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) | \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) | \(W = \mathbb{R}^+\) |
| Gemeinsame Punkte | \((1 \mid 1)\), \((-1 \mid -1)\) | \((1 \mid 1)\), \((-1 \mid 1)\) |
| Nullstellen | — | — |
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion) | achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion) |
| Asymptoten | \(x = 0\); \(y = 0\) | \(x = 0\); \(y = 0\) |
Paritäts-Explorer — gerade oder ungerade?
Ob eine Potenzfunktion \(y = x^n\) achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist, entscheidet allein die Parität des Exponenten. Wähle \(n\) und einen Stützwert \(x_0\): das Widget spiegelt den Punkt und prüft, welche Spiegelung wieder auf der Kurve landet.
✏️ Mini-Check — Parabeln und Hyperbeln
Welche Punkte haben alle Potenzfunktionen \(y = x^{2n}\) mit geraden, natürlichen Exponenten gemeinsam?
- \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\), \((-1 \mid 1)\)
- \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\), \((-1 \mid -1)\)
- \((0 \mid 1)\), \((1 \mid 1)\)
Lösung anzeigen
Die Definitionslücke einer Hyperbel bei \(x_0 = 0\) heisst auch , die zugehörige senkrechte Gerade Polgerade.
Lösung anzeigen
Gib die Asymptoten der Hyperbel \(y = \dfrac{1}{x^3}\) an.
Lösung anzeigen
Begründe, warum die Wertemenge von \(y = \dfrac{1}{x^2}\) nur aus positiven Zahlen besteht — und warum die \(0\) nicht dazugehört.
Lösungsweg anzeigen
Asymptoten und Transformationen
Eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion mit immer grösser werdender Entfernung vom Ursprung in \(x\)-Richtung immer mehr annähert — der Abstand zur Geraden geht gegen null. (Entscheidend ist nur dieses Grenzverhalten; unterwegs darf der Graph die Asymptote durchaus schneiden.)
Eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion mit immer grösser werdender Entfernung vom Ursprung des Koordinatensystems in \(y\)-Richtung immer mehr annähert, ohne sie zu schneiden. Die zugehörige Definitionslücke \(x_0\) heisst Polstelle (kurz: Pol), die senkrechte Gerade \(x = x_0\) Polgerade.
| Parameter | Wirkung auf den Graphen von \(y = x^n\) |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung um \(u\) in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung um \(v\) in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|a|\) | Streckung (\(|a| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|a| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(a < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Bei einer verschobenen Hyperbel wandern die Asymptoten mit: vertikale Asymptote \(x = u\), horizontale Asymptote \(y = v\).
Der Graph von \(f_1: y = \tfrac{1}{4} \cdot x^5\) wird um \(4\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben verschoben. Gesucht ist die Gleichung der Bildfunktion \(f_2\).
Lösung:
\[ f_2:\; y = \tfrac{1}{4} \cdot (x-4)^5 + 3 \]Bestimme die Nullstellen der Funktion \(f: y = (x-3)^4 - 16\).
Lösung: Wir setzen \(y = 0\) und lösen nach \(x\) auf:
\[ 0 = (x-3)^4 - 16 \;\Longrightarrow\; (x-3)^4 = 16 \;\Longrightarrow\; x - 3 = \pm\sqrt[4]{16} = \pm 2 \] \[ x_1 = 3 + 2 = 5, \qquad x_2 = 3 - 2 = 1 \]Beim Wurzelziehen mit geradem Exponenten entstehen zwei Lösungen (\(\pm\)).
Zeige, dass die Funktion \(f: y = \tfrac{1}{2} x^8 - 3\) gerade ist.
Lösung: Es muss \(f(-x) = f(x)\) gelten. Wir ersetzen \(x\) durch \(-x\):
\[ f(-x) = \tfrac{1}{2} (-x)^8 - 3 = \tfrac{1}{2} x^8 - 3 = f(x) \quad\checkmark \]\((-2)^4 = 16\), aber \(-2^4 = -(2^4) = -16\). Die Klammer entscheidet, ob das Minus mitpotenziert wird. Beim Symmetrienachweis \(f(-x)\) muss das ganze Argument in Klammern ersetzt werden: \(f(-x) = a \cdot (-x)^n\), nicht \(a \cdot (-x^n)\).
Die Hyperbel kommt der Asymptote beliebig nahe, erreicht sie aber nie: \(\tfrac{1}{x} = 0\) hat keine Lösung. Wer im Graphen die Kurve auf der Achse „aufliegen" lässt, zeichnet falsch — bei jeder noch so grossen Entfernung bleibt ein Abstand.
Immer zuerst nach der Potenz auflösen: \((x-u)^n = -\tfrac{v}{a}\). Dann die \(n\)-te Wurzel ziehen — bei geradem \(n\) gibt es zwei Lösungen (\(\pm\)), falls die rechte Seite positiv ist, und keine, falls sie negativ ist. Bei ungeradem \(n\) gibt es immer genau eine Lösung.
✏️ Mini-Check — Asymptoten und Transformationen
Wie geht der Graph von \(y = (x-4)^5\) aus dem Graphen von \(y = x^5\) hervor?
- Verschiebung um 4 nach links
- Verschiebung um 4 nach rechts
- Verschiebung um 4 nach oben
Lösung anzeigen
Die Hyperbel \(y = \dfrac{1}{(x+2)^3} - 3\) hat die Polgerade \(x = \) und die horizontale Asymptote \(y = -3\).
Lösung anzeigen
Bestimme die Nullstellen von \(y = (x-3)^4 - 16\).
Lösung anzeigen
Hat die Funktion \(y = (x-1)^6 + 2\) Nullstellen? Begründe ohne zu rechnen.
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Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand auf Häuschenpapier. Nutze die gemeinsamen Punkte und die Symmetrie. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = \tfrac{1}{2} x^4 - 2\)
- \(y = -(x+1)^3\)
- \(y = \dfrac{1}{x-2} + 1\) (mit Asymptoten!)
- Blau: gestauchte Parabel 4. Ordnung, um 2 nach unten verschoben; achsensymmetrisch, Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt[4]{4} = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1.41\).
- Grün: Parabel 3. Ordnung, um 1 nach links verschoben und an der \(x\)-Achse gespiegelt; Terrassenpunkt bei \((-1 \mid 0)\).
- Violett: Hyperbel 1. Ordnung mit Polgerade \(x = 2\) und horizontaler Asymptote \(y = 1\) (gestrichelt).
Bestimme die beiden Nullstellen von \(f(x) = (x+1)^4 - 81\).
Probe: \((2+1)^4 - 81 = 81 - 81 = 0\) ✓ und \((-4+1)^4 - 81 = 81 - 81 = 0\) ✓
Bestimme \(n\) so, dass die Potenzfunktion \(y = x^n\) durch den Punkt geht:
- \(3^n = 27 = 3^3 \Rightarrow n = 3\)
- \((-2)^n = -32\): Wegen des negativen Ergebnisses muss \(n\) ungerade sein; \((-2)^5 = -32 \Rightarrow n = 5\)
- \(2^n = 64 = 2^6 \Rightarrow n = 6\)
Die Potenzfunktion \(y = a \cdot x^n\) geht durch \(P = (1 \mid 2)\) und \(Q = (2 \mid 16)\). Bestimme \(a\) und \(n\).
Aus \(P\): \(a \cdot 1^n = 2 \Rightarrow a = 2\). Aus \(Q\): \(2 \cdot 2^n = 16 \Rightarrow 2^n = 8 \Rightarrow n = 3\).
Probe: \(y = 2 \cdot x^3\) liefert \(2 \cdot 2^3 = 16\) ✓
Bestimme Polgerade und horizontale Asymptote von \(y = -\dfrac{1}{x+2}\).
Definitionslücke bei \(x + 2 = 0\), also Polgerade \(x = -2\). Keine Verschiebung in \(y\)-Richtung, also horizontale Asymptote \(y = 0\). Das Minuszeichen spiegelt die Hyperbel nur an der \(x\)-Achse — die Asymptoten ändert es nicht.
Der Graph von \(y = \tfrac{1}{2} x^4\) wird um \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Gib die Gleichung der Bildfunktion an und bestimme ihre Nullstellen.
Nullstellen: \(\tfrac{1}{2}(x-3)^4 = 2 \Rightarrow (x-3)^4 = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm\sqrt[4]{4} = \pm\sqrt{2}\)
\[ x_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 4.41, \qquad x_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 1.59 \]Für ein ideales Gas bei konstanter Temperatur gilt \(p \cdot V = \text{const}\). Für eine eingeschlossene Gasmenge sei \(p \cdot V = 450\) (Druck \(p\) in kPa, Volumen \(V\) in dm³), also:
\[ p(V) = \frac{450}{V} \]- Berechne den Druck bei \(V = 3\ \text{dm}^3\).
- Bei welchem Volumen beträgt der Druck \(100\) kPa?
- Welcher Funktionstyp liegt vor? Was bedeuten die Asymptoten physikalisch?
- \(p(3) = \dfrac{450}{3} = 150\) kPa
- \(100 = \dfrac{450}{V} \Rightarrow V = \dfrac{450}{100} = 4.5\ \text{dm}^3\)
- \(p(V) = 450 \cdot V^{-1}\) ist eine Potenzfunktion mit \(n = -1\) — der Graph ist eine Hyperbel (nur der Ast im 1. Quadranten ist physikalisch sinnvoll, da \(V > 0\)). Asymptoten: Für \(V \to \infty\) geht \(p \to 0\) (riesiges Volumen → verschwindender Druck), für \(V \to 0\) wächst \(p\) über alle Grenzen (Zusammenpressen auf null Volumen ist unmöglich).
Ein Würfel hat die Kantenlänge \(2a\), eine Kugel den Radius \(a\).
- Gib die Funktionsgleichungen \(V_W(a)\) und \(V_K(a)\) an.
- Berechne \(V_W(1.5)\).
- Um welchen Faktor ist das Würfelvolumen stets grösser als das Kugelvolumen?
- Wie gross muss der Radius \(r\) einer Kugel sein, damit ihr Volumen gleich dem Volumen eines Würfels mit \(a = 1\) m ist?
- \(V_W(a) = (2a)^3 = 8a^3\) und \(V_K(a) = \tfrac{4}{3}\pi a^3 \approx 4.19\,a^3\) — beides Potenzfunktionen dritten Grades.
- \(V_W(1.5) = 8 \cdot 1.5^3 = 8 \cdot 3.375 = 27\ \text{m}^3\)
- \(\dfrac{V_W}{V_K} = \dfrac{8}{\tfrac{4}{3}\pi} = \dfrac{6}{\pi} \approx 1.91\) — unabhängig von \(a\), weil beide denselben Exponenten haben.
- Ansatz: \(\tfrac{4}{3}\pi r^3 = 8\ \text{m}^3 \Rightarrow r^3 = \dfrac{6}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{6/\pi} \approx 1.24\) m.
Der Gesamtwiderstand \(R\) zweier parallel geschalteter Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) ist
\[ R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \]Es sei \(R_2 = 2200\ \Omega\) fest, also \(R(R_1) = \dfrac{2200 \cdot R_1}{R_1 + 2200}\).
- Berechne \(R(2200)\).
- Wie gross muss \(R_1\) sein, damit der Gesamtwiderstand \(1500\ \Omega\) beträgt?
- Welchem Wert nähert sich \(R\) für sehr grosse \(R_1\)? Deute die horizontale Asymptote physikalisch.
- \(R(2200) = \dfrac{2200 \cdot 2200}{4400} = 1100\ \Omega\) — zwei gleiche Widerstände parallel halbieren den Widerstand.
- Über die Kehrwert-Form \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\): \(\dfrac{1}{R_1} = \dfrac{1}{1500} - \dfrac{1}{2200} = \dfrac{2200 - 1500}{1500 \cdot 2200} = \dfrac{700}{3.3 \cdot 10^6}\), also \(R_1 = \dfrac{3.3 \cdot 10^6}{700} \approx 4714\ \Omega \approx 4.71\ \text{k}\Omega\).
- Für \(R_1 \to \infty\) geht \(R \to 2200\ \Omega\) — horizontale Asymptote \(R = R_2\). Physikalisch: Ein riesiger Parallelwiderstand lässt fast keinen Strom durch; es bleibt praktisch nur der Zweig mit \(R_2\). Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
Eine zylindrische Getränkedose mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) fasst exakt \(355\ \text{cm}^3\). Der Hersteller sucht die Abmessungen mit minimalem Blechverbrauch (Oberfläche \(S\)).
- Zeige: Mit \(h = \dfrac{355}{\pi r^2}\) gilt \(S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{710}{r}\).
- Aus welchen zwei Potenzfunktionen setzt sich \(S(r)\) zusammen?
- Werte \(S(r)\) für \(r = 2, 3, 4, 5, 6\) cm aus und lies das Minimum näherungsweise ab.
- Vergleiche \(h\) und \(r\) an der optimalen Stelle.
- \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) (zwei Deckel + Mantel). Mit \(h = \dfrac{355}{\pi r^2}\): \(2\pi r \cdot \dfrac{355}{\pi r^2} = \dfrac{710}{r}\), also \(S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{710}{r}\). ✓
- \(g(r) = 2\pi \cdot r^2\) (Parabel, \(n = 2\)) und \(h(r) = 710 \cdot r^{-1}\) (Hyperbel, \(n = -1\)).
- \(S(2) \approx 380.1\), \(S(3) \approx 293.2\), \(S(4) \approx 278.0\), \(S(5) \approx 299.1\), \(S(6) \approx 344.5\) (alle in cm²). Das Minimum liegt bei etwa \(r \approx 3.8\) cm mit \(S_{\min} \approx 277.5\ \text{cm}^2\).
- An der optimalen Stelle \(r \approx 3.84\) cm ist \(h = \dfrac{355}{\pi r^2} \approx 7.67\) cm — es gilt exakt \(h = 2r\): Die optimale Dose ist genau so hoch wie breit. (Reale Dosen sind schlanker — aus Gründen der Handhabung, nicht der Blechersparnis.)
Zusammenfassung
Der Exponent \(n\) bestimmt die Grundform (Parabel für \(n > 0\), Hyperbel für \(n < 0\)), seine Parität die Symmetrie (gerade → Achsensymmetrie, ungerade → Punktsymmetrie). Die Parameter in \(a \cdot (x-u)^n + v\) strecken, spiegeln und verschieben diese Grundform — bei Hyperbeln wandern die Asymptoten zu \(x = u\) und \(y = v\) mit.
| Typ | \(x^{2n}\) | \(x^{2n-1}\) | \(x^{-2n}\) | \(x^{-(2n-1)}\) |
|---|---|---|---|---|
| Graph | Parabel | Parabel | Hyperbel | Hyperbel |
| \(D\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| \(W\) | \(\mathbb{R}_0^+\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}^+\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| Symmetrie | Achse | Punkt | Achse | Punkt |
| Nullstelle | \(x_0 = 0\) | \(x_0 = 0\) | — | — |
| Asymptoten | — | — | \(x = 0\), \(y = 0\) | \(x = 0\), \(y = 0\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Ballon: doppelte Zeit, achtfaches Volumen
- 0:00Ein Ballon wird aufgeblasen, sein Volumen ist null Komma zwei sechs acht mal t hoch drei. Was passiert mit dem Volumen, wenn sich die Zeit verdoppelt?
- 0:09Nach zwei Komma fünf Sekunden sind es erst rund vier Komma zwei Kubikdezimeter. Die Kurve verläuft hier noch flach.
- 0:17Nach fünf Sekunden, also doppelt so lange, sind es drei und dreissig Komma fünf Kubikdezimeter. Das ist das Achtfache, denn zwei hoch drei ist acht.
- 0:27Nach sieben Komma fünf Sekunden sind es hundertdreizehn Kubikdezimeter. In jeweils zwei Komma fünf Sekunden kommen erst vier, dann neun und zwanzig, dann fast achtzig Kubikdezimeter dazu.
- 0:39Merke: Doppelte Zeit heisst achtfaches Volumen. Die Kurve wird immer steiler, die Änderungsrate wächst mit. Bei hundertfünfzig Kubikdezimetern, nach etwa acht Komma zwei Sekunden, platzt der Ballon.
Drei Darstellungen: Symmetrie und Definitionslücke
- 0:00In der Animation stellst du den Exponenten n und die Stelle x ein. Wir lassen a gleich eins und wechseln nur den Exponenten.
- 0:09Mit n gleich vier ist f von minus eins gleich eins, genau wie f von eins. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- 0:19Mit n gleich drei ist f von minus eins gleich minus eins, die Gegenzahl von f von eins. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
- 0:28Mit n gleich minus vier müsste man bei x gleich null durch null teilen. Die Tabelle meldet eine Definitionslücke, und der Graph zerfällt in zwei Äste.
- 0:38Merke: Bei geradem Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch, bei ungeradem punktsymmetrisch. Ist der Exponent negativ, fehlt die Stelle null, und der Graph hat zwei Äste.
Parabeln und Hyperbeln: alle durch (1|1)
- 0:00Die Animation zeigt eine Potenzfunktion nach der anderen, mit ihren gemeinsamen Punkten. Wir vergleichen x hoch zwei mit x hoch vier und schauen dann eine Hyperbel an.
- 0:10Die Normalparabel geht durch null null, durch eins eins und durch minus eins eins. Bei null Komma fünf ist sie null Komma zwei fünf hoch, bei eins Komma fünf zwei Komma zwei fünf.
- 0:21x hoch vier geht durch dieselben drei Punkte. Dazwischen liegt sie tiefer, null Komma null sechs zwei fünf statt null Komma zwei fünf. Ausserhalb liegt sie höher, rund fünf statt zwei Komma zwei fünf.
- 0:34Auch die Hyperbel eins durch x hoch zwei geht durch eins eins. Ihre Äste kommen den Achsen immer näher, erreichen sie aber nie: Der Bruch wird nie null, und bei x gleich null ist er nicht definiert.
- 0:44Merke: Alle diese Graphen laufen durch eins eins. Zwischen minus eins und eins liegt x hoch vier unter x hoch zwei, ausserhalb darüber. Die Äste der Hyperbeln nähern sich den Achsen, ohne sie zu berühren.
Symmetrie-Check: das Vorzeichen von (−1)ⁿ
- 0:00Die Animation nimmt einen Punkt P auf der Kurve und berechnet den Kurvenpunkt Q an der Stelle minus x null. Wo liegt Q im Vergleich zu P?
- 0:09Mit n gleich zwei und x null gleich eins Komma zwei haben P und Q denselben Wert, eins Komma vier vier. Q ist das Spiegelbild von P an der y-Achse.
- 0:20Mit n gleich drei ist der Wert bei minus eins Komma zwei die Gegenzahl, minus eins Komma sieben zwei acht. Q liegt P gegenüber, gespiegelt am Ursprung.
- 0:30Die Regel gilt auch für negative Exponenten. Mit n gleich minus zwei haben P und Q wieder denselben Wert, rund null Komma sechs neun. Die Spiegelachse ist die y-Achse.
- 0:42Merke: Minus eins hoch n ist plus eins, wenn n gerade ist, und minus eins, wenn n ungerade ist. Gerade Exponenten geben Achsensymmetrie zur y-Achse, ungerade Punktsymmetrie zum Ursprung.
Verschobene Hyperbel: die Asymptoten wandern mit
- 0:00Eine Hyperbel wird verschoben: um u in x-Richtung und um v in y-Richtung. Die gestrichelten Asymptoten zeigen, wohin.
- 0:09Mit u gleich zwei rückt die senkrechte Polgerade nach x gleich zwei. Die waagrechte Asymptote bleibt die x-Achse.
- 0:19Mit v gleich eins steigt die waagrechte Asymptote auf y gleich eins. Die Polgerade bleibt bei zwei. Ein Ast liegt rechts oben, der andere links unten.
- 0:29Bei der Ordnung zwei ist der Nenner ein Quadrat und damit immer positiv. Darum liegen beide Äste oberhalb der Asymptote y gleich eins.
- 0:38Merke: Die Polgerade liegt bei x gleich u, die waagrechte Asymptote bei y gleich v. Bei ungerader Ordnung liegen die Äste gegenüber, bei gerader Ordnung beide oberhalb von y gleich v.
Graph erkennen: erst Pol, dann Symmetrie
- 0:00In Aufgabe A1 ordnest du vier Graphen ihrer Gleichung zu. Zwei Fragen genügen: Geht der Graph durch den Ursprung oder hat er dort einen Pol? Und ist er achsen- oder punktsymmetrisch?
- 0:11Graph eins geht durch den Ursprung, also ist der Exponent positiv. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, also ungerade. Das passt nur zu x hoch drei.
- 0:21Graph vier hat bei x gleich null einen Pol, also ist der Exponent negativ. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also gerade. Das ist eins durch x hoch zwei.
- 0:31Merke: Das Vorzeichen des Exponenten entscheidet, ob der Graph durch den Ursprung geht oder dort einen Pol hat. Die Parität entscheidet über die Symmetrie. Durch eins eins laufen alle vier, dort lässt sich nichts unterscheiden.
Potenzfunktionen: der Exponent formt den Graphen
- 0:00Eine Potenzfunktion hat die Variable in der Basis und eine feste Zahl im Exponenten. Wie ihr Graph aussieht, entscheidet allein dieser Exponent.
- 0:09Bei geradem Exponenten ist der Graph symmetrisch zur y-Achse, und er wird nie negativ. X Quadrat und x hoch vier sehen ähnlich aus — hoch vier ist in der Mitte flacher und aussen steiler.
- 0:21Bei ungeradem Exponenten ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung: Links unten, rechts oben. X hoch drei nimmt jeden reellen Wert an.
- 0:30Bei negativem Exponenten steht x im Nenner. Eins durch x ist die Hyperbel: Null ist verboten, und die Achsen werden nie erreicht, nur angenähert.
- 0:40Zum Mitnehmen: Das Vorzeichen des Exponenten entscheidet, ob x im Zähler oder im Nenner steht. Gerade oder ungerade entscheidet über die Symmetrie.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.