Eine Funktion \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = a \cdot x^n, \qquad n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\quad a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]heisst Potenzfunktion.
Spezialfälle des Exponenten: \(n = 0\) ergäbe die konstante Funktion \(y = 1\) — sie zählt nicht zu den Potenzfunktionen. \(n = 1\) ergibt die lineare Funktion \(y = x\) — sie zählt dazu.
| Begriff | Bedingung | Symmetrie des Graphen |
|---|---|---|
| gerade Funktion | \( f(-x) = f(x) \) | Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse |
| ungerade Funktion | \( f(-x) = -f(x) \) | Punktsymmetrie zum Ursprung |
Bei Potenzfunktionen entscheidet die Parität des Exponenten: gerades \(n\) → gerade Funktion, ungerades \(n\) → ungerade Funktion.
| Eigenschaften | \( y = x^{2n-1} \) (ungerade) | \( y = x^{2n} \) (gerade) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \( D = \mathbb{R} \) | \( D = \mathbb{R} \) |
| Wertemenge | \( W = \mathbb{R} \) | \( W = \mathbb{R}_0^+ \) |
| Gemeinsame Punkte | \( (0 \mid 0),\, (1 \mid 1),\, (-1 \mid -1) \) | \( (0 \mid 0),\, (1 \mid 1),\, (-1 \mid 1) \) |
| Nullstellen | \( x_0 = 0 \) | \( x_0 = 0 \) |
| Symmetrie | punktsymmetrisch (ungerade) | achsensymmetrisch (gerade) |
Der Punkt \( S = (0 \mid 0) \) heisst bei ungeraden Exponenten (\(n \geq 3\)) Terrassenpunkt, bei geraden Exponenten Flachpunkt.
Schreibweise als Bruch: \( y = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} \) mit \( n \in \mathbb{N}^* \).
| Eigenschaften | \( y = \dfrac{1}{x^{2n-1}} \) (ungerade) | \( y = \dfrac{1}{x^{2n}} \) (gerade) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) |
| Wertemenge | \( W = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | \( W = \mathbb{R}^+ \) |
| Gemeinsame Punkte | \( (1 \mid 1),\, (-1 \mid -1) \) | \( (1 \mid 1),\, (-1 \mid 1) \) |
| Nullstellen | — | — |
| Asymptoten | \( x = 0;\; y = 0 \) | \( x = 0;\; y = 0 \) |
Eine Gerade, an die sich der Graph mit wachsender Entfernung vom Ursprung in \(x\)-Richtung immer mehr annähert, ohne sie zu schneiden.
Eine Gerade, an die sich der Graph mit wachsender Entfernung vom Ursprung in \(y\)-Richtung immer mehr annähert, ohne sie zu schneiden. Die Definitionslücke \(x_0\) heisst Polstelle (Pol), die Gerade \( x = x_0 \) Polgerade.
Ausgangsfunktion \( y = x^n \), Bildfunktion \( y = a \cdot (x-u)^n + v \):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung (nach rechts für \(u > 0\)) |
| \(v\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung (nach oben für \(v > 0\)) |
| \(|a|\) | Streckung (\(|a| > 1\)) bzw. Stauchung (\(|a| < 1\)) in \(y\)-Richtung |
| \(a < 0\) | zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse |
Bei verschobenen Hyperbeln wandern die Asymptoten mit: Polgerade \( x = u \), horizontale Asymptote \( y = v \).
Der Exponent \(n\) bestimmt die Grundform (Parabel für \(n > 0\), Hyperbel für \(n < 0\)), seine Parität die Symmetrie. Die Parameter \(a\), \(u\), \(v\) strecken, spiegeln und verschieben die Grundform.