12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Kreuze an und begründe kurz:
(a) \( f(x) = 3 \cdot x^4 \) (b) \( g(x) = 2^x \) (c) \( h(x) = \dfrac{5}{x^2} \) (d) \( k(x) = x^2 + x \)
Gerade oder ungerade? Gib jeweils die Symmetrie des Graphen an:
(a) \( y = x^6 \) (b) \( y = x^7 \) (c) \( y = \dfrac{2}{x^3} \) (d) \( y = \dfrac{1}{2 x^4} \)
Gib \(D\) und \(W\) an:
(a) \( y = x^4 \) (b) \( y = \dfrac{1}{x^2} \)
Durch welche drei Punkte verlaufen alle Parabeln mit geradem Exponenten \( y = x^{2n} \)?
Berechne ohne Taschenrechner:
(a) \( f(x) = 2 x^3 \): \( f(-2) = \,? \) (b) \( g(x) = x^{-2} \): \( g(0.5) = \,? \)
Der Graph von \( y = x^3 \) wird um \(2\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach oben verschoben. Gib die Gleichung der Bildfunktion an.
Bestimme Polgerade und horizontale Asymptote von \( y = \dfrac{2}{x-3} + 1 \).
Bestimme die Nullstelle von \( f(x) = (x-2)^3 + 8 \).
Die Potenzfunktion \( y = x^n \) geht durch \( P(2 \mid 32) \). Bestimme \(n\).
Die Potenzfunktion \( y = a \cdot x^n \) geht durch \( P(1 \mid 3) \) und \( Q(2 \mid 48) \). Bestimme \(a\) und \(n\).
Zeige rechnerisch, dass \( f(x) = \tfrac{1}{4} x^6 - 2 \) eine gerade Funktion ist.
\( f(x) = a \cdot x^n \) mit \( n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \). Für \( n > 0 \): Parabel n-ter Ordnung, für \( n < 0 \): Hyperbel n-ter Ordnung.
(a) ja (\( a = 3 \), \( n = 4 \)) · (b) nein — \(x\) steht im Exponenten (Exponentialfunktion) · (c) ja — \( h(x) = 5 \cdot x^{-2} \) · (d) nein — Summe zweier Potenzen, keine reine Potenzfunktion.
(a) gerade → achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse · (b) ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung · (c) ungerade (Exponent \(-3\)) → punktsymmetrisch · (d) gerade (Exponent \(-4\)) → achsensymmetrisch.
(a) \( D = \mathbb{R} \), \( W = \mathbb{R}_0^+ \) · (b) \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \), \( W = \mathbb{R}^+ \).
\( (0 \mid 0) \), \( (1 \mid 1) \) und \( (-1 \mid 1) \) — denn \( 0^{2n} = 0 \), \( (\pm 1)^{2n} = 1 \).
(a) \( f(-2) = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16 \) · (b) \( g(0.5) = 0.5^{-2} = \dfrac{1}{0.25} = 4 \).
Definitionslücke bei \( x = 3 \) → Polgerade \( x = 3 \); Verschiebung um \(+1\) in \(y\)-Richtung → horizontale Asymptote \( y = 1 \).
\( (x-2)^3 = -8 \;\Longrightarrow\; x - 2 = \sqrt[3]{-8} = -2 \;\Longrightarrow\; x_0 = 0 \). Probe: \( (0-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0 \) ✓
\( 2^n = 32 = 2^5 \;\Longrightarrow\; n = 5 \).
Aus \(P\): \( a \cdot 1^n = 3 \Rightarrow a = 3 \). Aus \(Q\): \( 3 \cdot 2^n = 48 \Rightarrow 2^n = 16 \Rightarrow n = 4 \). Also \( y = 3 x^4 \).
\( f(-x) = \tfrac{1}{4} (-x)^6 - 2 = \tfrac{1}{4} x^6 - 2 = f(x) \) — die Bedingung \( f(-x) = f(x) \) ist erfüllt, \(f\) ist gerade. ✓