Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik und Naturwissenschaft, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Alle Graphen mit beschrifteten Achsen (Grösse und Einheit) skizzieren.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Verkehrsphysik | Geschwindigkeit aus der Bremsspur | ●●○ |
| 2 | Uhrentechnik | Das Sekundenpendel | ●●○ |
| 3 | Ozeanografie | Wellen im Flachmeer | ●●● |
| 4 | Geometrie | Kreiskegel mit festem Volumen | ●●● |
| 5 | Mechanik | Fallzeit vom Turm | ●●● |
| 6 | Verfahrenstechnik | Kugelradius aus dem Volumen | ●●● |
Aus einer Bremsspur der Länge \(s\) lässt sich die Ausgangsgeschwindigkeit rekonstruieren: \( v(s) = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} \) mit der Bremsverzögerung \( a = 7.5\ \text{m/s}^2 \).
(a) Welcher Funktionstyp liegt vor? Skizziere \( v(s) \) für \( 0 \leq s \leq 60 \) m.
(b) Eine Bremsspur ist \( 40 \) m lang. Wie schnell fuhr das Fahrzeug (in m/s und km/h)?
(c) Wie ändert sich die rekonstruierte Geschwindigkeit, wenn die Spur viermal so lang ist?
Ein Sekundenpendel braucht für eine volle Schwingung genau \( T = 2 \) s. Es gilt \( T = 2\pi\sqrt{l/g} \) mit \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \).
(a) Löse die Formel nach \(l\) auf.
(b) Wie lang muss das Sekundenpendel sein?
(c) Warum nannte man das Resultat früher scherzhaft „das Urmeter der Uhrmacher"?
Für Oberflächenwellen gilt \( v = 1.25 \cdot \sqrt{x} \) (\(v\) in m/s, Wellenlänge \(x\) in m), solange \( x \leq 6h \) (Wassertiefe \(h\)).
(a) In einem Flachmeer beträgt die Wassertiefe \( 60 \) m. Bis zu welcher Wellenlänge gilt die Formel?
(b) Berechne die maximale Wellengeschwindigkeit in diesem Flachmeer.
(c) Skizziere den Graphen \( v(x) \) für \( 0 \leq x \leq 360 \) m mit beschrifteten Achsen.
Ein Kreiskegel soll das Volumen \( V = 380\ \text{m}^3 \) haben: \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \).
(a) Löse nach \(r\) auf: Gib die Funktionsgleichung \( r(h) \) an.
(b) Berechne den Radius für die Höhe \( h = 10 \) m und mache die Probe.
(c) Wie verhält sich \( r(h) \) für sehr grosse Höhen? Deute das Ergebnis geometrisch.
Für den freien Fall gilt \( s = \tfrac{1}{2} g t^2 \) mit \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \).
(a) Löse nach \(t\) auf: Gib die Fallzeit-Funktion \( t(s) \) an. Welcher Funktionstyp?
(b) Ein Gegenstand fällt von einem \( 50 \) m hohen Turm. Berechne die Fallzeit.
(c) Aus welcher „Verdopplung" folgt: Doppelte Höhe heisst nicht doppelte Fallzeit — um welchen Faktor verlängert sich die Fallzeit tatsächlich?
In der Verfahrenstechnik muss aus dem Volumen eines kugelförmigen Tropfens sein Radius bestimmt werden: \( V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \).
(a) Löse nach \(r\) auf: Gib \( r(V) \) an. Welche Wurzel tritt auf?
(b) Berechne den Radius einer Kugel mit \( V = 1000\ \text{cm}^3 \) (1 Liter).
(c) Das Volumen wird verachtfacht. Um welchen Faktor wächst der Radius?
(a) Wurzelfunktion \( v(s) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{s} \approx 3.87\sqrt{s} \) — steil am Anfang, zunehmend flacher.
(b) \( v = \sqrt{2 \cdot 7.5 \cdot 40} = \sqrt{600} \approx 24.5\ \text{m/s} \approx 88 \) km/h.
(c) \( \sqrt{4} = 2 \) — nur doppelt so schnell, nicht viermal.
(a) \( l = \dfrac{g \cdot T^2}{4\pi^2} \) — die Umkehrfunktion (quadratisch in \(T\)).
(b) \( l = \dfrac{9.81 \cdot 4}{4\pi^2} \approx 0.994 \) m — knapp ein Meter.
(c) Weil die Sekundenpendel-Länge fast exakt \(1\) m beträgt, diente das Pendel im 18. Jahrhundert als Kandidat für die Definition des Meters.
(a) \( x_{\max} = 6 \cdot 60 = 360 \) m.
(b) \( v(360) = 1.25 \cdot \sqrt{360} \approx 23.7 \) m/s (rund \(85\) km/h).
(c) Wurzelkurve durch den Ursprung; Achsen \( x \) [m] und \( v \) [m/s], aufgabenbezogene Skalierung.
(a) \( r^2 = \dfrac{3V}{\pi h} \Rightarrow r(h) = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 380}{\pi h}} = \sqrt{\dfrac{1140}{\pi h}} \).
(b) \( r(10) = \sqrt{1140 / (10\pi)} \approx 6.02 \) m. Probe: \( \tfrac{1}{3}\pi \cdot 6.02^2 \cdot 10 \approx 380\ \text{m}^3 \) ✓
(c) \( r \to 0 \): Je höher der Kegel bei festem Volumen, desto schlanker wird er — die Funktion fällt asymptotisch gegen null.
(a) \( t(s) = \sqrt{\dfrac{2s}{g}} \) — eine Wurzelfunktion (Umkehrung der quadratischen Fallfunktion).
(b) \( t = \sqrt{100/9.81} \approx 3.19 \) s.
(c) Faktor \( \sqrt{2} \approx 1.41 \): doppelte Höhe, aber nur \(41\,\%\) mehr Fallzeit.
(a) \( r(V) = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} \) — die dritte Wurzel (Kubikwurzel).
(b) \( r = \sqrt[3]{3000/(4\pi)} \approx 6.20 \) cm.
(c) \( \sqrt[3]{8} = 2 \) — achtfaches Volumen, doppelter Radius.