3.2b Wurzelfunktionen
Wurzelfunktionen \(f(x) = \sqrt[n]{x}\) sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen: Sie beantworten die Frage „welche Zahl ergibt hoch \(n\) genau \(x\)?". Hier lernst du, wann eine Potenzfunktion umkehrbar ist, wie der Graph der Wurzelfunktion durch Spiegelung entsteht und wie sich Wurzelgleichungen grafisch lösen lassen.
- die Wurzelfunktionen als Umkehrfunktion der Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten berechnen, interpretieren und grafisch darstellen auch ohne Hilfsmittel
Die Potenzfunktionen als Grundlage werden in Teil 1 (s3-2a) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\) definieren und ihre Definitions- und Wertemenge angeben.
- Ich kann erklären, warum Potenzfunktionen mit geradem Exponenten nur auf \(\mathbb{R}_0^+\) umkehrbar sind — und die Umkehrung grafisch als Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\) deuten.
- Ich kann Graphen von Wurzelfunktionen skizzieren und die Wirkung der Parameter in \(a \cdot \sqrt[n]{x-u} + v\) beschreiben.
- Ich kann den maximalen Definitionsmenge eines Wurzelterms bestimmen.
- Ich kann Ordinatenabschnitt und Nullstellen von Wurzelfunktionen berechnen.
- Ich kann Wurzelgleichungen grafisch lösen und die Lösung algebraisch überprüfen.
Einstieg — das Fadenpendel
Die Schwingungsdauer \(T\) eines Fadenpendels hängt nur von der Fadenlänge \(l\) und der Erdbeschleunigung \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\) ab:
\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 2 \cdot \sqrt{l} \qquad (T \text{ in s},\ l \text{ in m}) \]Die Schwingungsdauer wächst mit der Wurzel der Länge — nicht proportional. Ein viermal so langes Pendel schwingt nur doppelt so langsam.
Der Zusammenhang \(l \mapsto T\) folgt einer Wurzelfunktion:
- Vervierfachung der Länge → nur Verdopplung der Schwingungsdauer (\(\sqrt{4} = 2\))
- Die Kurve steigt am Anfang steil und wird immer flacher — genau umgekehrt wie die Parabel
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Pendellänge wird verdoppelt. Was passiert mit der Schwingungsdauer \(T \approx 2\sqrt{l}\)?
- Sie wird verdoppelt.
- Sie wächst um den Faktor \(\sqrt{2} \approx 1.41\) — weniger als verdoppelt.
- Sie wird vervierfacht.
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Die Schwingungsdauer hängt von der der Fadenlänge ab — darum wächst \(T\) langsamer als \(l\).
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Berechne \(T\) für \(l = 0.25\) m mit der Näherung \(T \approx 2\sqrt{l}\).
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Welche Fadenlänge braucht ein Pendel mit Schwingungsdauer \(T = 1\) s? Löse die Formel nach \(l\) auf.
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Definition
Eine Funktion \(f : \mathbb{R}_0^+ \longrightarrow \mathbb{R}_0^+\) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, \qquad n \in \mathbb{N}^* \]heisst Wurzelfunktion mit Wurzelexponent \(n\).
Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion — und umgekehrt:
\[ f:\; y = x^n \;\Longrightarrow\; \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n} \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[n]{y} \;\Longrightarrow\; f^{-1}:\; y = \sqrt[n]{x} \]Grafisch entsteht der Graph von \(f^{-1}\) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\): Jeder Punkt \((a \mid b)\) wird zu \((b \mid a)\).
Wegen \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\) sind Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten der Form \(\tfrac{1}{n}\). Die Rechenregeln (Potenzgesetze) übertragen sich direkt — siehe ↩ 1.2 Potenzen.
Umkehrbarkeit — wann darf man spiegeln?
Nicht jede Potenzfunktion ist auf ihrem ganzen Definitionsmenge umkehrbar. Es kommt auf die Parität des Exponenten an:
- Gerader Exponent (z.B. \(y = x^2\)): Auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar — zu jedem \(y > 0\) gehören zwei \(x\)-Werte (\(\pm\)). Beschränkt man sich auf den rechten Ast (\(x \in \mathbb{R}_0^+\)), wird die Funktion umkehrbar: \(f^{-1}: y = \sqrt{x}\). (Der linke Ast hätte die Umkehrfunktion \(y = -\sqrt{x}\).)
- Ungerader Exponent (z.B. \(y = x^3\)): Auf ganz \(\mathbb{R}\) umkehrbar, denn jede Höhe wird genau einmal erreicht: \(f^{-1}: y = \sqrt[3]{x}\) mit \(x \in \mathbb{R}\).
- Negativer Exponent (z.B. \(y = x^{-2}\), eine Hyperbel): Auf \(\mathbb{R}^+\) ist auch sie umkehrbar. Löst man \(y = x^{-n}\) nach \(x\) auf, entsteht wieder eine Potenzfunktion — mit negativem Stammbruch als Exponent: \(f^{-1}: y = x^{-1/n}\). Für \(y = x^{-2}\) also \(f^{-1}: y = x^{-1/2} = \tfrac{1}{\sqrt{x}}\).
Es ist sinnvoll, die Umkehrbarkeit aller Potenzfunktionen einheitlich auf \(D = \mathbb{R}_0^+\) zu beschränken.
Ungerade Wurzeln wie \(\sqrt[3]{\ }\) sind mathematisch auch für negative Radikanden erklärt: \(\sqrt[3]{-8} = -2\), denn \((-2)^3 = -8\). Gerade Wurzeln (\(\sqrt{\ }\), \(\sqrt[4]{\ }\)) dagegen nur für Radikand \(\geq 0\). Damit aber alle Wurzelfunktionen dieselbe Definitionsmenge haben und die Potenzschreibweise \(x^{1/n}\) einheitlich gilt, beschränkt man sie in diesem Kapitel durchgehend auf \(D = \mathbb{R}_0^+\).
✏️ Mini-Check — Umkehrfunktion
Wie lautet die Umkehrfunktion von \(f: y = x^3\) (auf \(\mathbb{R}_0^+\))?
- \(y = \dfrac{1}{x^3}\)
- \(y = \sqrt[3]{x}\)
- \(y = 3\sqrt{x}\)
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Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der \(y = x\).
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Berechne \(\sqrt[3]{125}\) und \(\sqrt[5]{32}\).
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Warum ist \(f: y = x^2\) auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar? Argumentiere mit einem konkreten Zahlenbeispiel.
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Eigenschaften der Wurzelfunktionen
Der Einfluss des Wurzelexponenten wird sichtbar, wenn man mehrere Wurzelkurven in ein Koordinatensystem zeichnet:
| Eigenschaften | \(y = f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\), \(n \in \mathbb{N}^*\) |
|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R}_0^+\) |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}_0^+\) |
| Gemeinsame Punkte | \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\) |
| Ordinatenabschnitt | \(y_0 = 0\) |
| Nullstellen | \(x_0 = 0\) |
| Symmetrie | — |
Achsen- oder Punktsymmetrie verlangt, dass mit \(x\) auch \(-x\) im Definitionsmenge liegt. \(D = \mathbb{R}_0^+\) ist aber nicht symmetrisch zum Ursprung — die Frage stellt sich gar nicht.
✏️ Mini-Check — Eigenschaften
Welche Definitionsmenge hat die Wurzelfunktion \(y = \sqrt[4]{x}\)?
- \(D = \mathbb{R}\)
- \(D = \mathbb{R}_0^+\)
- \(D = \mathbb{R}^+\)
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Alle Wurzelfunktionen \(y = \sqrt[n]{x}\) laufen durch die Punkte \((0 \mid 0)\) und .
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Welcher Wert ist grösser: \(\sqrt{0.5}\) oder \(\sqrt[5]{0.5}\)?
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Die Wurzelkurven wirken wie „gekippte" Parabeln. Erkläre diesen Eindruck mit der Umkehrbeziehung.
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Transformationen und Wurzelgleichungen
Die Parameter wirken wie bei den Potenzfunktionen: \(u\) verschiebt horizontal, \(v\) vertikal, \(|a|\) streckt in \(y\)-Richtung, negatives \(a\) spiegelt an der \(x\)-Achse. Neu ist die Wirkung auf den Definitionsmenge:
\[ x - u \geq 0 \;\Longrightarrow\; D = [u;\, +\infty[ \]Der „Startpunkt" der Kurve liegt bei \((u \mid v)\).
Gegeben ist \(f: y = 2 \cdot \sqrt[3]{x+1} - 4\).
Ordinatenabschnitt (\(x = 0\) einsetzen):
\[ y_0 = 2 \cdot \sqrt[3]{0+1} - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = -2 \]Nullstelle (\(y = 0\) setzen):
\[ 0 = 2 \cdot \sqrt[3]{x_0+1} - 4 \;\Longrightarrow\; \sqrt[3]{x_0+1} = 2 \;\Longrightarrow\; x_0 + 1 = 2^3 = 8 \;\Longrightarrow\; x_0 = 7 \]Gegeben sind \(f_1: y = \sqrt[3]{x}\) und \(f_2: y = 2 \cdot \sqrt[3]{x-1}\).
(a) Der Graph von \(f_2\) geht aus dem von \(f_1\) durch Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und Streckung um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung hervor.
(b) Das Argument unter der Wurzel muss grösser oder gleich null sein:
\[ x - 1 \geq 0 \;\Longrightarrow\; x \geq 1 \;\Longrightarrow\; D = [1;\, +\infty[ , \qquad W = \mathbb{R}_0^+ \]Beide Seiten einer Wurzelgleichung werden als Funktionsterme aufgefasst. Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts \(P\) der beiden Graphen liefert die Lösung — näherungsweise beim Ablesen, exakt nach algebraischer Kontrolle.
Die (gerade) Wurzel liefert per Definition Werte \(\geq 0\). Eine Gleichung wie \(\sqrt{3-x} = -1\) hat deshalb keine Lösung — egal, was beim formalen Quadrieren herauskommt. Erst denken, dann quadrieren: Ist die rechte Seite negativ, ist die Lösungsmenge leer.
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: Es können Scheinlösungen entstehen, die die Ausgangsgleichung nicht erfüllen. Nach dem algebraischen Lösen einer Wurzelgleichung gehört immer die Probe in der ursprünglichen Gleichung dazu.
Bestimme vor dem Lösen den Definitionsmenge: Radikand \(\geq 0\) setzen und auflösen. Lösungen ausserhalb von \(D\) sind automatisch ungültig — das entlarvt Scheinlösungen oft schon vor der Probe.
✏️ Mini-Check — Transformationen und Wurzelgleichungen
Welchen maximalen Definitionsmenge hat \(y = \sqrt{x-1}\)?
- \(D = [1;\, +\infty[\)
- \(D = \mathbb{R}_0^+\)
- \(D = ]1;\, +\infty[\)
Lösung anzeigen
Der Graph von \(y = \sqrt{x-u} + v\) „startet" im Punkt \((u \mid\) \()\).
Lösung anzeigen
Bestimme die Nullstelle von \(y = \sqrt{x-3} - 2\).
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Hat die Gleichung \(\sqrt{x+2} = -3\) eine Lösung? Begründe — ohne zu quadrieren.
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Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt. Achte auf Startpunkt und Öffnungsrichtung.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand. Bestimme jeweils zuerst den Startpunkt \((u \mid v)\) und den Definitionsmenge. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = \sqrt{x-2} + 1\)
- \(y = -2\sqrt{x} + 3\)
- \(y = \sqrt{x+3} - 2\)
- Blau: Startpunkt \((2 \mid 1)\), \(D = [2;\, +\infty[\), \(W = [1;\, +\infty[\).
- Grün: Startpunkt \((0 \mid 3)\), an der \(x\)-Achse gespiegelt und gestreckt; \(D = \mathbb{R}_0^+\), \(W = ]-\infty;\, 3]\).
- Violett: Startpunkt \((-3 \mid -2)\), \(D = [-3;\, +\infty[\), \(W = [-2;\, +\infty[\).
Bestimme Ordinatenabschnitt und Nullstelle von \(f(x) = 2\sqrt{x+4} - 6\).
Ordinatenabschnitt: \(y_0 = 2\sqrt{0+4} - 6 = 2 \cdot 2 - 6 = -2\).
Nullstelle: \(2\sqrt{x_0+4} = 6 \Rightarrow \sqrt{x_0+4} = 3 \Rightarrow x_0 + 4 = 9 \Rightarrow x_0 = 5\). Probe: \(2\sqrt{9} - 6 = 0\) ✓
Bestimme den maximalen Definitionsmenge von \(y = 3\sqrt{x-2}\).
\(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \Rightarrow D = [2;\, +\infty[\). Wertemenge: \(W = \mathbb{R}_0^+\) (positiver Streckfaktor).
Die Funktion \(f(x) = a \cdot \sqrt[n]{x}\) geht durch \(P = (1 \mid 2)\) und \(Q = (8 \mid 4)\). Bestimme \(a\) und \(n\).
Aus \(P\): \(a \cdot \sqrt[n]{1} = 2 \Rightarrow a = 2\). Aus \(Q\): \(2 \cdot \sqrt[n]{8} = 4 \Rightarrow \sqrt[n]{8} = 2 \Rightarrow 2^n = 8 \Rightarrow n = 3\).
Also \(f(x) = 2\sqrt[3]{x}\). Probe: \(2 \cdot \sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2 = 4\) ✓
- \(\sqrt{x+2} = 6\)
- \(\sqrt{2x-1} = 2\)
- \(2\sqrt{3-x} = -1\)
- Quadrieren: \(x + 2 = 36 \Rightarrow x = 34\). Probe: \(\sqrt{36} = 6\) ✓
- Quadrieren: \(2x - 1 = 4 \Rightarrow x = 2.5\). Probe: \(\sqrt{4} = 2\) ✓
- Keine Lösung: Die linke Seite ist \(\geq 0\), die rechte \(-1 < 0\). \(L = \{\,\}\) — grafisch: Die Wurzelkurve und die Gerade \(y = -1\) schneiden sich nie.
Für ein Fadenpendel gilt \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) mit \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\).
- Zeige, dass auf der Erde näherungsweise \(T \approx 2\sqrt{l}\) gilt.
- Berechne \(T\) für \(l = 1\) m.
- Bestimme die Umkehrfunktion \(l(T)\) und berechne die Pendellänge für \(T = 1\) s.
- Welche Schwingungsdauer hätte ein 1-m-Pendel auf dem Mond (\(g = 1.6\ \text{m/s}^2\))?
- \(T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot \sqrt{l} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{9.81}} \cdot \sqrt{l} \approx 2.006 \cdot \sqrt{l} \approx 2\sqrt{l}\). ✓
- \(T(1) = 2\pi\sqrt{1/9.81} \approx 2.01\) s.
- Quadrieren und auflösen: \(T^2 = 4\pi^2 \cdot \dfrac{l}{g} \Rightarrow l(T) = \dfrac{g \cdot T^2}{4\pi^2} \approx 0.248 \cdot T^2\). Für \(T = 1\) s: \(l \approx 0.25\) m — die Umkehrfunktion der Wurzelfunktion ist eine quadratische Funktion.
- \(T = 2\pi\sqrt{1/1.6} \approx 4.97\) s — auf dem Mond schwingt dasselbe Pendel rund 2.5-mal langsamer.
Die Geschwindigkeit von Oberflächenwellen hängt von der Wellenlänge \(x\) ab (nicht von der Wellenhöhe):
\[ v = 1.25 \cdot \sqrt{x} \qquad (v \text{ in m/s},\ x \text{ in m}) \]Die Formel gilt, solange die Wellenlänge höchstens das Sechsfache der Wassertiefe \(h\) beträgt.
- Berechne die Geschwindigkeit für Wellenlängen von \(20\) m und \(100\) m.
- Wie schnell können Wellen in einem Ozean der Tiefe \(4000\) m höchstens werden?
- Wie lange bräuchte eine solche Welle für eine Erdumrundung (\(40\,000\) km)?
- \(v(20) = 1.25\sqrt{20} \approx 5.59\) m/s und \(v(100) = 1.25\sqrt{100} = 12.5\) m/s.
- Maximale Wellenlänge: \(x_{\max} = 6 \cdot 4000 = 24\,000\) m. Also \(v_{\max} = 1.25 \cdot \sqrt{24\,000} \approx 193.6\) m/s — fast \(700\) km/h (Tsunami-Grössenordnung).
- \(t = \dfrac{40\,000\,000\ \text{m}}{193.6\ \text{m/s}} \approx 206\,600\ \text{s} \approx 57.4\) h — knapp zweieinhalb Tage.
Für die Fallhöhe gilt \(s(t) = \tfrac{1}{2} g t^2\) mit \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\); der Schall läuft mit \(v = 340\) m/s zurück.
- Löse \(s(t)\) nach \(t\) auf. Welcher Funktionstyp ergibt sich?
- Ein Stein fällt in einen \(100\) m tiefen Sodbrunnen. Nach welcher Zeit hört man den Aufprall (Fallzeit + Schall-Laufzeit)?
- In einem anderen Brunnen hört man den Aufprall nach \(1.8\) s. Wie tief ist der Brunnen (mit Berücksichtigung des Schalls)?
- \(t(s) = \sqrt{\dfrac{2s}{g}}\) — die Umkehrfunktion der quadratischen Fallfunktion ist eine Wurzelfunktion.
- Fallzeit \(t_1 = \sqrt{200/9.81} \approx 4.52\) s, Schall \(t_2 = 100/340 \approx 0.29\) s, zusammen \(\approx 4.81\) s.
- Ansatz: \(t_1 + t_2 = 1.8\) mit \(s = \tfrac{1}{2} g t_1^2 = 4.905\,t_1^2\) und \(t_2 = \tfrac{s}{340} = \tfrac{4.905\,t_1^2}{340}\). Einsetzen: \(t_1 + \tfrac{4.905\,t_1^2}{340} = 1.8\); mal \(340\) ergibt die quadratische Gleichung \(4.905\,t_1^2 + 340\,t_1 - 612 = 0\) mit der positiven Lösung \(t_1 \approx 1.756\) s. Daraus \(s = \tfrac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.756^2 \approx 15.1\) m. (Ohne Schallkorrektur ergäben sich \(15.9\) m — der Schall macht knapp einen Meter aus.)
Der Leichtathletik-Weltverband vergibt Zehnkampf-Punkte nach Potenzformeln: für Laufdisziplinen \(P(l) = A \cdot (B - l)^C\), für Sprung- und Wurfdisziplinen \(P(l) = A \cdot (l - B)^C\) (Leistung \(l\) in s bzw. cm/m):
| Disziplin | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 100 m [s] | 25.4347 | 18 | 1.81 |
| Weitsprung [cm] | 0.14354 | 220 | 1.40 |
| Kugelstossen [m] | 51.39 | 1.5 | 1.05 |
- Schreibe den Exponenten \(C = 1.4\) des Weitsprungs als gemeinen Bruch.
- Bestimme die Umkehrzuordnung „Punkte \(\to\) Leistung": Löse \(P = A(l-B)^C\) nach \(l\) auf. Welche Rolle spielt dabei die Wurzel?
- Welche Leistung braucht es in jeder der drei Disziplinen für \(1000\) Punkte?
- \(1.4 = \dfrac{7}{5}\), also \((l-B)^{7/5} = \sqrt[5]{(l-B)^7}\).
- \(P = A(l-B)^C \Rightarrow (l-B)^C = \dfrac{P}{A} \Rightarrow l = B + \left(\dfrac{P}{A}\right)^{1/C}\). Der Exponent \(\tfrac{1}{C}\) ist eine Wurzel — die Umkehrung des Potenzierens, genau wie bei \(x^n \leftrightarrow \sqrt[n]{x}\). (Laufdisziplinen analog: \(l = B - (P/A)^{1/C}\).)
- 100 m: \(l = 18 - (1000/25.4347)^{1/1.81} \approx 10.40\) s.
Weitsprung: \(l = 220 + (1000/0.14354)^{1/1.4} \approx 776\) cm \(\approx 7.76\) m.
Kugelstossen: \(l = 1.5 + (1000/51.39)^{1/1.05} \approx 18.4\) m.
Alles Weltklasse-Leistungen — 1000 Punkte pro Disziplin entsprechen rund 10 000 Zehnkampf-Punkten.
Zusammenfassung
Die Wurzelfunktion \(y = \sqrt[n]{x}\) ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion \(y = x^n\) (auf \(\mathbb{R}_0^+\)): Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\). Potenzfunktionen mit geradem Exponenten müssen dazu auf \(\mathbb{R}_0^+\) eingeschränkt werden; bei ungeradem Exponenten wäre die Umkehrung auf ganz \(\mathbb{R}\) möglich.
| Grösse | Formel / Wert | Bedeutung |
|---|---|---|
| Wurzelfunktion | \(y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\) | Umkehrfunktion von \(y = x^n\) |
| \(D\) und \(W\) | \(D = W = \mathbb{R}_0^+\) | Radikand und Wurzelwert \(\geq 0\) |
| Gemeinsame Punkte | \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\) | für alle Wurzelexponenten \(n\) |
| Transformation | \(y = a\sqrt[n]{x-u} + v\) | Startpunkt \((u \mid v)\), \(D = [u;\, +\infty[\) |
| Wurzelgleichung | \(\sqrt[n]{\dots} = c\) | grafisch: Schnittpunkt mit \(y = c\) · algebraisch: hoch \(n\), dann Probe! |
Zusatzmaterial
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