3.2b Wurzelfunktionen
Wurzelfunktionen \(f(x) = \sqrt[n]{x}\) sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen: Sie beantworten die Frage „welche Zahl ergibt hoch \(n\) genau \(x\)?". Hier lernst du, wann eine Potenzfunktion umkehrbar ist, wie der Graph der Wurzelfunktion durch Spiegelung entsteht und wie sich Wurzelgleichungen grafisch lösen lassen.
- die Wurzelfunktionen als Umkehrfunktion der Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten berechnen, interpretieren und grafisch darstellen auch ohne Hilfsmittel
Die Potenzfunktionen als Grundlage werden in Teil 1 (s3-2a) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\) definieren und ihre Definitions- und Wertemenge angeben.
- Ich kann erklären, warum Potenzfunktionen mit geradem Exponenten nur auf \(\mathbb{R}_0^+\) umkehrbar sind — und die Umkehrung grafisch als Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\) deuten.
- Ich kann Graphen von Wurzelfunktionen skizzieren und die Wirkung der Parameter in \(a \cdot \sqrt[n]{x-u} + v\) beschreiben.
- Ich kann die maximale Definitionsmenge eines Wurzelterms bestimmen.
- Ich kann Ordinatenabschnitt und Nullstellen von Wurzelfunktionen berechnen.
- Ich kann Wurzelgleichungen grafisch lösen und die Lösung algebraisch überprüfen.
Einstieg — das Fadenpendel
Die Schwingungsdauer \(T\) eines Fadenpendels hängt nur von der Fadenlänge \(l\) und der Erdbeschleunigung \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\) ab:
\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 2 \cdot \sqrt{l} \qquad (T \text{ in s},\ l \text{ in m}) \]Die Schwingungsdauer wächst mit der Wurzel der Länge — nicht proportional. Ein viermal so langes Pendel schwingt nur doppelt so langsam.
Der Zusammenhang \(l \mapsto T\) folgt einer Wurzelfunktion:
- Vervierfachung der Länge → nur Verdopplung der Schwingungsdauer (\(\sqrt{4} = 2\))
- Die Kurve steigt am Anfang steil und wird immer flacher — genau umgekehrt wie die Parabel
✏️ Mini-Check — Einstieg
Die Pendellänge wird verdoppelt. Was passiert mit der Schwingungsdauer \(T \approx 2\sqrt{l}\)?
- Sie wird verdoppelt.
- Sie wächst um den Faktor \(\sqrt{2} \approx 1.41\) — weniger als verdoppelt.
- Sie wird vervierfacht.
Lösung anzeigen
Die Schwingungsdauer hängt von der der Fadenlänge ab — darum wächst \(T\) langsamer als \(l\).
Lösung anzeigen
Berechne \(T\) für \(l = 0.25\) m mit der Näherung \(T \approx 2\sqrt{l}\).
Lösung anzeigen
Welche Fadenlänge braucht ein Pendel mit Schwingungsdauer \(T = 1\) s? Löse die Formel nach \(l\) auf.
Lösungsweg anzeigen
Definition
Eine Funktion \(f : \mathbb{R}_0^+ \longrightarrow \mathbb{R}_0^+\) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, \qquad n \in \mathbb{N}^* \]heisst Wurzelfunktion mit Wurzelexponent \(n\).
Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion — und umgekehrt:
\[ f:\; y = x^n \;\Longrightarrow\; \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n} \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[n]{y} \;\Longrightarrow\; f^{-1}:\; y = \sqrt[n]{x} \]Grafisch entsteht der Graph von \(f^{-1}\) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\): Jeder Punkt \((a \mid b)\) wird zu \((b \mid a)\).
Wegen \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\) sind Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten der Form \(\tfrac{1}{n}\). Die Rechenregeln (Potenzgesetze) übertragen sich direkt — siehe ↩ 1.2 Potenzen.
Umkehrbarkeit — wann darf man spiegeln?
Nicht jede Potenzfunktion ist auf ihrem ganzen Definitionsmenge umkehrbar. Es kommt auf die Parität des Exponenten an:
- Gerader Exponent (z.B. \(y = x^2\)): Auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar — zu jedem \(y > 0\) gehören zwei \(x\)-Werte (\(\pm\)). Beschränkt man sich auf den rechten Ast (\(x \in \mathbb{R}_0^+\)), wird die Funktion umkehrbar: \(f^{-1}: y = \sqrt{x}\). (Der linke Ast hätte die Umkehrfunktion \(y = -\sqrt{x}\).)
- Ungerader Exponent (z.B. \(y = x^3\)): Auf ganz \(\mathbb{R}\) umkehrbar, denn jede Höhe wird genau einmal erreicht: \(f^{-1}: y = \sqrt[3]{x}\) mit \(x \in \mathbb{R}\).
- Negativer Exponent (z.B. \(y = x^{-2}\), eine Hyperbel): Auf \(\mathbb{R}^+\) ist auch sie umkehrbar. Löst man \(y = x^{-n}\) nach \(x\) auf, entsteht wieder eine Potenzfunktion — mit negativem Stammbruch als Exponent: \(f^{-1}: y = x^{-1/n}\). Für \(y = x^{-2}\) also \(f^{-1}: y = x^{-1/2} = \tfrac{1}{\sqrt{x}}\).
Es ist sinnvoll, die Umkehrbarkeit aller Potenzfunktionen einheitlich auf \(D = \mathbb{R}_0^+\) zu beschränken.
Ungerade Wurzeln wie \(\sqrt[3]{\ }\) sind mathematisch auch für negative Radikanden erklärt: \(\sqrt[3]{-8} = -2\), denn \((-2)^3 = -8\). Gerade Wurzeln (\(\sqrt{\ }\), \(\sqrt[4]{\ }\)) dagegen nur für Radikand \(\geq 0\). Damit aber alle Wurzelfunktionen dieselbe Definitionsmenge haben und die Potenzschreibweise \(x^{1/n}\) einheitlich gilt, beschränkt man sie in diesem Kapitel durchgehend auf \(D = \mathbb{R}_0^+\).
✏️ Mini-Check — Umkehrfunktion
Wie lautet die Umkehrfunktion von \(f: y = x^3\) (auf \(\mathbb{R}_0^+\))?
- \(y = \dfrac{1}{x^3}\)
- \(y = \sqrt[3]{x}\)
- \(y = 3\sqrt{x}\)
Lösung anzeigen
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der \(y = x\).
Lösung anzeigen
Berechne \(\sqrt[3]{125}\) und \(\sqrt[5]{32}\).
Lösung anzeigen
Warum ist \(f: y = x^2\) auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar? Argumentiere mit einem konkreten Zahlenbeispiel.
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Eigenschaften der Wurzelfunktionen
Der Einfluss des Wurzelexponenten wird sichtbar, wenn man mehrere Wurzelkurven in ein Koordinatensystem zeichnet:
| Eigenschaften | \(y = f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\), \(n \in \mathbb{N}^*\) |
|---|---|
| Definitionsmenge | \(D = \mathbb{R}_0^+\) |
| Wertemenge | \(W = \mathbb{R}_0^+\) |
| Gemeinsame Punkte | \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\) |
| Ordinatenabschnitt | \(y_0 = 0\) |
| Nullstellen | \(x_0 = 0\) |
| Symmetrie | — |
Achsen- oder Punktsymmetrie verlangt, dass mit \(x\) auch \(-x\) in der Definitionsmenge liegt. \(D = \mathbb{R}_0^+\) ist aber nicht symmetrisch zum Ursprung — die Frage stellt sich gar nicht.
✏️ Mini-Check — Eigenschaften
Welche Definitionsmenge hat die Wurzelfunktion \(y = \sqrt[4]{x}\)?
- \(D = \mathbb{R}\)
- \(D = \mathbb{R}_0^+\)
- \(D = \mathbb{R}^+\)
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Alle Wurzelfunktionen \(y = \sqrt[n]{x}\) laufen durch die Punkte \((0 \mid 0)\) und .
Lösung anzeigen
Welcher Wert ist grösser: \(\sqrt{0.5}\) oder \(\sqrt[5]{0.5}\)?
Lösung anzeigen
Die Wurzelkurven wirken wie „gekippte" Parabeln. Erkläre diesen Eindruck mit der Umkehrbeziehung.
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Transformationen und Wurzelgleichungen
Die Parameter wirken wie bei den Potenzfunktionen: \(u\) verschiebt horizontal, \(v\) vertikal, \(|a|\) streckt in \(y\)-Richtung, negatives \(a\) spiegelt an der \(x\)-Achse. Neu ist die Wirkung auf die Definitionsmenge:
\[ x - u \geq 0 \;\Longrightarrow\; D = [u;\, +\infty[ \]Der „Startpunkt" der Kurve liegt bei \((u \mid v)\).
Gegeben ist \(f: y = 2 \cdot \sqrt[3]{x+1} - 4\).
Ordinatenabschnitt (\(x = 0\) einsetzen):
\[ y_0 = 2 \cdot \sqrt[3]{0+1} - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = -2 \]Nullstelle (\(y = 0\) setzen):
\[ 0 = 2 \cdot \sqrt[3]{x_0+1} - 4 \;\Longrightarrow\; \sqrt[3]{x_0+1} = 2 \;\Longrightarrow\; x_0 + 1 = 2^3 = 8 \;\Longrightarrow\; x_0 = 7 \]Gegeben sind \(f_1: y = \sqrt[3]{x}\) und \(f_2: y = 2 \cdot \sqrt[3]{x-1}\).
(a) Der Graph von \(f_2\) geht aus dem von \(f_1\) durch Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und Streckung um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung hervor.
(b) Das Argument unter der Wurzel muss grösser oder gleich null sein:
\[ x - 1 \geq 0 \;\Longrightarrow\; x \geq 1 \;\Longrightarrow\; D = [1;\, +\infty[ , \qquad W = \mathbb{R}_0^+ \]Beide Seiten einer Wurzelgleichung werden als Funktionsterme aufgefasst. Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts \(P\) der beiden Graphen liefert die Lösung — näherungsweise beim Ablesen, exakt nach algebraischer Kontrolle.
Die (gerade) Wurzel liefert per Definition Werte \(\geq 0\). Eine Gleichung wie \(\sqrt{3-x} = -1\) hat deshalb keine Lösung — egal, was beim formalen Quadrieren herauskommt. Erst denken, dann quadrieren: Ist die rechte Seite negativ, ist die Lösungsmenge leer.
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: Es können Scheinlösungen entstehen, die die Ausgangsgleichung nicht erfüllen. Nach dem algebraischen Lösen einer Wurzelgleichung gehört immer die Probe in der ursprünglichen Gleichung dazu.
Bestimme vor dem Lösen die Definitionsmenge: Radikand \(\geq 0\) setzen und auflösen. Lösungen ausserhalb von \(D\) sind automatisch ungültig — das entlarvt Scheinlösungen oft schon vor der Probe.
✏️ Mini-Check — Transformationen und Wurzelgleichungen
Welchen maximalen Definitionsmenge hat \(y = \sqrt{x-1}\)?
- \(D = [1;\, +\infty[\)
- \(D = \mathbb{R}_0^+\)
- \(D = ]1;\, +\infty[\)
Lösung anzeigen
Der Graph von \(y = \sqrt{x-u} + v\) „startet" im Punkt \((u \mid\) \()\).
Lösung anzeigen
Bestimme die Nullstelle von \(y = \sqrt{x-3} - 2\).
Lösung anzeigen
Hat die Gleichung \(\sqrt{x+2} = -3\) eine Lösung? Begründe — ohne zu quadrieren.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle einen Graphen und entscheide, welche Funktionsgleichung dazu passt. Achte auf Startpunkt und Öffnungsrichtung.
Welche Gleichung gehört zum angezeigten Graphen?
Skizziere die folgenden Graphen von Hand. Bestimme jeweils zuerst den Startpunkt \((u \mid v)\) und die Definitionsmenge. Vergleiche danach mit der Lösung.
- \(y = \sqrt{x-2} + 1\)
- \(y = -2\sqrt{x} + 3\)
- \(y = \sqrt{x+3} - 2\)
- Blau: Startpunkt \((2 \mid 1)\), \(D = [2;\, +\infty[\), \(W = [1;\, +\infty[\).
- Grün: Startpunkt \((0 \mid 3)\), an der \(x\)-Achse gespiegelt und gestreckt; \(D = \mathbb{R}_0^+\), \(W = ]{-\infty};\, 3]\).
- Violett: Startpunkt \((-3 \mid -2)\), \(D = [-3;\, +\infty[\), \(W = [-2;\, +\infty[\).
Bestimme Ordinatenabschnitt und Nullstelle von \(f(x) = 2\sqrt{x+4} - 6\).
Ordinatenabschnitt: \(y_0 = 2\sqrt{0+4} - 6 = 2 \cdot 2 - 6 = -2\).
Nullstelle: \(2\sqrt{x_0+4} = 6 \Rightarrow \sqrt{x_0+4} = 3 \Rightarrow x_0 + 4 = 9 \Rightarrow x_0 = 5\). Probe: \(2\sqrt{9} - 6 = 0\) ✓
Bestimme die maximale Definitionsmenge von \(y = 3\sqrt{x-2}\).
\(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \Rightarrow D = [2;\, +\infty[\). Wertemenge: \(W = \mathbb{R}_0^+\) (positiver Streckfaktor).
Die Funktion \(f(x) = a \cdot \sqrt[n]{x}\) geht durch \(P = (1 \mid 2)\) und \(Q = (8 \mid 4)\). Bestimme \(a\) und \(n\).
Aus \(P\): \(a \cdot \sqrt[n]{1} = 2 \Rightarrow a = 2\). Aus \(Q\): \(2 \cdot \sqrt[n]{8} = 4 \Rightarrow \sqrt[n]{8} = 2 \Rightarrow 2^n = 8 \Rightarrow n = 3\).
Also \(f(x) = 2\sqrt[3]{x}\). Probe: \(2 \cdot \sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2 = 4\) ✓
- \(\sqrt{x+2} = 6\)
- \(\sqrt{2x-1} = 2\)
- \(2\sqrt{3-x} = -1\)
- Quadrieren: \(x + 2 = 36 \Rightarrow x = 34\). Probe: \(\sqrt{36} = 6\) ✓
- Quadrieren: \(2x - 1 = 4 \Rightarrow x = 2.5\). Probe: \(\sqrt{4} = 2\) ✓
- Keine Lösung: Die linke Seite ist \(\geq 0\), die rechte \(-1 < 0\). \(L = \{\,\}\) — grafisch: Die Wurzelkurve und die Gerade \(y = -1\) schneiden sich nie.
Für ein Fadenpendel gilt \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) mit \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\).
- Zeige, dass auf der Erde näherungsweise \(T \approx 2\sqrt{l}\) gilt.
- Berechne \(T\) für \(l = 1\) m.
- Bestimme die Umkehrfunktion \(l(T)\) und berechne die Pendellänge für \(T = 1\) s.
- Welche Schwingungsdauer hätte ein 1-m-Pendel auf dem Mond (\(g = 1.6\ \text{m/s}^2\))?
- \(T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot \sqrt{l} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{9.81}} \cdot \sqrt{l} \approx 2.006 \cdot \sqrt{l} \approx 2\sqrt{l}\). ✓
- \(T(1) = 2\pi\sqrt{1/9.81} \approx 2.01\) s.
- Quadrieren und auflösen: \(T^2 = 4\pi^2 \cdot \dfrac{l}{g} \Rightarrow l(T) = \dfrac{g \cdot T^2}{4\pi^2} \approx 0.248 \cdot T^2\). Für \(T = 1\) s: \(l \approx 0.25\) m — die Umkehrfunktion der Wurzelfunktion ist eine quadratische Funktion.
- \(T = 2\pi\sqrt{1/1.6} \approx 4.97\) s — auf dem Mond schwingt dasselbe Pendel rund 2.5-mal langsamer.
Die Geschwindigkeit von Oberflächenwellen hängt von der Wellenlänge \(x\) ab (nicht von der Wellenhöhe):
\[ v = 1.25 \cdot \sqrt{x} \qquad (v \text{ in m/s},\ x \text{ in m}) \]Die Formel gilt, solange die Wellenlänge höchstens das Sechsfache der Wassertiefe \(h\) beträgt.
- Berechne die Geschwindigkeit für Wellenlängen von \(20\) m und \(100\) m.
- Wie schnell können Wellen in einem Ozean der Tiefe \(4000\) m höchstens werden?
- Wie lange bräuchte eine solche Welle für eine Erdumrundung (\(40\,000\) km)?
- \(v(20) = 1.25\sqrt{20} \approx 5.59\) m/s und \(v(100) = 1.25\sqrt{100} = 12.5\) m/s.
- Maximale Wellenlänge: \(x_{\max} = 6 \cdot 4000 = 24\,000\) m. Also \(v_{\max} = 1.25 \cdot \sqrt{24\,000} \approx 193.6\) m/s — fast \(700\) km/h (Tsunami-Grössenordnung).
- \(t = \dfrac{40\,000\,000\ \text{m}}{193.6\ \text{m/s}} \approx 206\,600\ \text{s} \approx 57.4\) h — knapp zweieinhalb Tage.
Für die Fallhöhe gilt \(s(t) = \tfrac{1}{2} g t^2\) mit \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\); der Schall läuft mit \(v = 340\) m/s zurück.
- Löse \(s(t)\) nach \(t\) auf. Welcher Funktionstyp ergibt sich?
- Ein Stein fällt in einen \(100\) m tiefen Sodbrunnen. Nach welcher Zeit hört man den Aufprall (Fallzeit + Schall-Laufzeit)?
- In einem anderen Brunnen hört man den Aufprall nach \(1.8\) s. Wie tief ist der Brunnen (mit Berücksichtigung des Schalls)?
- \(t(s) = \sqrt{\dfrac{2s}{g}}\) — die Umkehrfunktion der quadratischen Fallfunktion ist eine Wurzelfunktion.
- Fallzeit \(t_1 = \sqrt{200/9.81} \approx 4.52\) s, Schall \(t_2 = 100/340 \approx 0.29\) s, zusammen \(\approx 4.81\) s.
- Ansatz: \(t_1 + t_2 = 1.8\) mit \(s = \tfrac{1}{2} g t_1^2 = 4.905\,t_1^2\) und \(t_2 = \tfrac{s}{340} = \tfrac{4.905\,t_1^2}{340}\). Einsetzen: \(t_1 + \tfrac{4.905\,t_1^2}{340} = 1.8\); mal \(340\) ergibt die quadratische Gleichung \(4.905\,t_1^2 + 340\,t_1 - 612 = 0\) mit der positiven Lösung \(t_1 \approx 1.756\) s. Daraus \(s = \tfrac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.756^2 \approx 15.1\) m. (Ohne Schallkorrektur ergäben sich \(15.9\) m — der Schall macht knapp einen Meter aus.)
Der Leichtathletik-Weltverband vergibt Zehnkampf-Punkte nach Potenzformeln: für Laufdisziplinen \(P(l) = A \cdot (B - l)^C\), für Sprung- und Wurfdisziplinen \(P(l) = A \cdot (l - B)^C\) (Leistung \(l\) in s bzw. cm/m):
| Disziplin | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 100 m [s] | 25.4347 | 18 | 1.81 |
| Weitsprung [cm] | 0.14354 | 220 | 1.40 |
| Kugelstossen [m] | 51.39 | 1.5 | 1.05 |
- Schreibe den Exponenten \(C = 1.4\) des Weitsprungs als gemeinen Bruch.
- Bestimme die Umkehrzuordnung „Punkte \(\to\) Leistung": Löse \(P = A(l-B)^C\) nach \(l\) auf. Welche Rolle spielt dabei die Wurzel?
- Welche Leistung braucht es in jeder der drei Disziplinen für \(1000\) Punkte?
- \(1.4 = \dfrac{7}{5}\), also \((l-B)^{7/5} = \sqrt[5]{(l-B)^7}\).
- \(P = A(l-B)^C \Rightarrow (l-B)^C = \dfrac{P}{A} \Rightarrow l = B + \left(\dfrac{P}{A}\right)^{1/C}\). Der Exponent \(\tfrac{1}{C}\) ist eine Wurzel — die Umkehrung des Potenzierens, genau wie bei \(x^n \leftrightarrow \sqrt[n]{x}\). (Laufdisziplinen analog: \(l = B - (P/A)^{1/C}\).)
- 100 m: \(l = 18 - (1000/25.4347)^{1/1.81} \approx 10.40\) s.
Weitsprung: \(l = 220 + (1000/0.14354)^{1/1.4} \approx 776\) cm \(\approx 7.76\) m.
Kugelstossen: \(l = 1.5 + (1000/51.39)^{1/1.05} \approx 18.4\) m.
Alles Weltklasse-Leistungen — 1000 Punkte pro Disziplin entsprechen rund 10 000 Zehnkampf-Punkten.
Zusammenfassung
Die Wurzelfunktion \(y = \sqrt[n]{x}\) ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion \(y = x^n\) (auf \(\mathbb{R}_0^+\)): Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\). Potenzfunktionen mit geradem Exponenten müssen dazu auf \(\mathbb{R}_0^+\) eingeschränkt werden; bei ungeradem Exponenten wäre die Umkehrung auf ganz \(\mathbb{R}\) möglich.
| Grösse | Formel / Wert | Bedeutung |
|---|---|---|
| Wurzelfunktion | \(y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\) | Umkehrfunktion von \(y = x^n\) |
| \(D\) und \(W\) | \(D = W = \mathbb{R}_0^+\) | Radikand und Wurzelwert \(\geq 0\) |
| Gemeinsame Punkte | \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\) | für alle Wurzelexponenten \(n\) |
| Transformation | \(y = a\sqrt[n]{x-u} + v\) | Startpunkt \((u \mid v)\), \(D = [u;\, +\infty[\) |
| Wurzelgleichung | \(\sqrt[n]{\dots} = c\) | grafisch: Schnittpunkt mit \(y = c\) · algebraisch: hoch \(n\), dann Probe! |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Fadenpendel: vierfache Länge, doppelte Dauer
- 0:00Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels hängt von der Wurzel der Fadenlänge ab. Was passiert, wenn der Faden viermal so lang wird?
- 0:09Ein Meter Faden: Das Pendel braucht rund zwei Komma null eins Sekunden für eine Schwingung.
- 0:17Vier Meter, also die vierfache Länge: Die Dauer ist vier Komma null eins Sekunden, genau doppelt so lang wie bei einem Meter. Denn die Wurzel aus vier ist zwei.
- 0:27Neun Meter, die neunfache Länge: sechs Komma null zwei Sekunden, die dreifache Dauer. Von einem auf vier Meter und von vier auf neun Meter kommen je rund zwei Sekunden dazu. Die Kurve wird flacher.
- 0:40Merke: Die k-fache Länge gibt die Wurzel aus k als Faktor für die Dauer. Die Wurzelkurve steigt am Anfang steil und wird dann immer flacher.
Spiegeln an y = x: die Koordinaten tauschen
- 0:00Die Wurzelkurve ist das Spiegelbild der Potenzkurve an der Winkelhalbierenden. Wie hängt ein Punkt mit seinem Spiegelpunkt zusammen?
- 0:09Der Punkt P liegt bei a gleich eins Komma zwei auf der Parabel, auf der Höhe eins Komma vier vier. Sein Spiegelpunkt P Strich auf der Wurzelkurve hat dieselben Zahlen, nur vertauscht.
- 0:21Bei n gleich drei genauso: eins Komma zwei hoch drei ist ungefähr eins Komma sieben drei. P Strich liegt auf der Kubikwurzelkurve, wieder mit vertauschten Koordinaten.
- 0:31Bei a gleich eins liegen P und P Strich aufeinander, auf der Winkelhalbierenden. Dort schneiden sich die beiden Kurven, ebenso im Ursprung.
- 0:40Merke: Spiegeln an der Winkelhalbierenden vertauscht x und y. Aus P von a und a hoch n wird P Strich von a hoch n und a. Die Kurven treffen sich in null null und eins eins.
Wurzelkurven vergleichen: wer liegt wo oben?
- 0:00Hier liegen drei Wurzelkurven übereinander: Quadratwurzel, dritte und fünfte Wurzel. Welche liegt wo oben?
- 0:09Die Quadratwurzel beginnt im Ursprung und geht durch den Punkt eins eins. Das gilt für jede Wurzel: Die Wurzel aus null ist null, die Wurzel aus eins ist eins.
- 0:19Die fünfte Wurzel steigt am Anfang sehr steil: Bei x gleich null Komma fünf ist sie schon null Komma acht sieben. Danach wird sie sehr flach, bei vier erst eins Komma drei zwei.
- 0:29Alle drei zusammen: Zwischen null und eins liegt die fünfte Wurzel oben, die Quadratwurzel unten. Rechts von eins kehrt sich die Reihenfolge um.
- 0:39Merke: Alle Wurzelkurven gehen durch null null und eins eins. Zwischen null und eins liegt die Kurve mit dem grössten n oben, rechts von eins unten. Je grösser n, desto steiler der Start und desto flacher der weitere Verlauf.
Wurzelkurve verschieben: der Startpunkt (u | v)
- 0:00Im Transformations-Labor verschiebst, streckst und spiegelst du die Wurzelkurve. Wo beginnt sie, und was ändert sich an der Definitionsmenge?
- 0:09Mit u gleich zwei und v gleich minus eins startet die Kurve im Punkt zwei, minus eins. Dort ist die Wurzel null. u schiebt nach rechts, v nach unten.
- 0:19Jetzt a gleich minus eins: Die Kurve klappt nach unten. Gespiegelt wird an der Waagrechten durch den Startpunkt, der Startpunkt bleibt.
- 0:29Mit a gleich zwei wird die Kurve in y-Richtung auf das Doppelte gestreckt. Sie startet bei minus zwei, minus drei. Links von minus zwei ist das Band rot: dort ist x plus zwei negativ.
- 0:41Merke: Die Wurzelkurve startet im Punkt u, v. Der Betrag von a streckt, ein negatives a klappt sie nach unten. Bei der Quadratwurzel muss x minus u mindestens null sein, die Definitionsmenge beginnt bei u.
Wurzelgleichung als Schnittpunkt mit y = c
- 0:00Eine Wurzelgleichung lässt sich als Schnittpunkt lesen: links die Wurzelkurve, rechts die waagrechte Gerade y gleich c.
- 0:09Die Gerade auf der Höhe eins schneidet die Kurve bei x gleich minus eins. Gerechnet: eins hoch drei minus zwei gibt minus eins.
- 0:19Auf der Höhe eins Komma fünf liegt der Schnittpunkt bei ungefähr eins Komma drei acht. Genau ist es eins Komma fünf hoch drei minus zwei, also eins Komma drei sieben fünf.
- 0:30Auf der Höhe zwei: zwei hoch drei ist acht, minus zwei gibt sechs. Die Probe stimmt: Die dritte Wurzel aus acht ist zwei.
- 0:39Merke: Die Lösung ist die x-Koordinate des Schnittpunkts. Beim Auflösen macht hoch drei die dritte Wurzel rückgängig, so wird aus c die Lösung c hoch drei minus zwei.
Graph erkennen: erst den Startpunkt
- 0:00In Aufgabe A1 ordnest du Graphen ihren Gleichungen zu. Das Vorgehen: erst den Startpunkt, dann die Richtung, zuletzt die Art der Wurzel.
- 0:09Graph zwei beginnt im Punkt zwei eins. Dort ist die Wurzel null, also u gleich zwei und v gleich eins. Kontrolle: Bei x gleich drei ist y gleich zwei.
- 0:20Graph drei beginnt bei null drei und fällt. Der Faktor vor der Wurzel ist also negativ. Bei x gleich eins liegt er zwei tiefer, darum a gleich minus zwei.
- 0:30Graph eins und Graph vier starten beide im Ursprung und steigen. Graph eins trifft den Gitterpunkt vier zwei, das ist die Quadratwurzel. Graph vier bleibt rechts von eins darunter, das ist die Kubikwurzel. Links von eins ist es umgekehrt.
- 0:44Merke: Zuerst den Startpunkt ablesen, dort ist die Wurzel null. Dann prüfen, ob die Kurve steigt oder fällt. Die Kubikwurzel liegt links von eins über der Quadratwurzel, rechts von eins darunter.
Wurzelfunktionen: die halbe Parabel
- 0:00Die Wurzelfunktion ist die Umkehrung des Quadrierens — aber nur zur Hälfte. Und genau das ist ihr interessanter Punkt.
- 0:08Zuerst die Definitionsmenge: Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Also ist die Funktion erst ab null definiert, und ihre Werte sind ebenfalls nie negativ.
- 0:18Und warum nur die halbe Parabel? Spiegelt man y gleich x Quadrat an der Winkelhalbierenden, entsteht eine liegende Parabel — und die ist keine Funktion, weil zu einem x zwei y gehören.
- 0:29Der Verlauf: Sie steigt überall, aber immer langsamer. Von null auf eins steigt sie um eins, von vier auf neun nur noch um eins — bei fünffachem Abstand.
- 0:39Zum Mitnehmen: ab null definiert, nie negativ, immer steigend und immer flacher. Und sie ist die Umkehrung von x Quadrat auf dem nichtnegativen Ast.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.