Eine Funktion \( f : \mathbb{R}_0^+ \longrightarrow \mathbb{R}_0^+ \) mit einer Gleichung der Form
\[ y = f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, \qquad n \in \mathbb{N}^* \]heisst Wurzelfunktion mit Wurzelexponent \(n\).
Wegen \( a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \) sind Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten der Form \( \tfrac{1}{n} \).
Der Graph von \( f^{-1} \) entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \( y = x \): Jeder Punkt \( (a \mid b) \) wird zu \( (b \mid a) \).
| Exponent | Umkehrbarkeit | Umkehrfunktion |
|---|---|---|
| gerade (z.B. \( x^2 \)) | nur nach Einschränkung auf \( \mathbb{R}_0^+ \) (rechter Ast) | \( y = \sqrt{x} \); linker Ast: \( y = -\sqrt{x} \) |
| ungerade (z.B. \( x^3 \)) | auf ganz \( \mathbb{R} \) umkehrbar | \( y = \sqrt[3]{x} \) |
Es ist sinnvoll, die Umkehrbarkeit aller Potenzfunktionen einheitlich auf \( D = \mathbb{R}_0^+ \) zu beschränken.
| Eigenschaften | \( y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n} \), \( n \in \mathbb{N}^* \) |
|---|---|
| Definitionsmenge | \( D = \mathbb{R}_0^+ \) |
| Wertemenge | \( W = \mathbb{R}_0^+ \) |
| Gemeinsame Punkte | \( (0 \mid 0) \) und \( (1 \mid 1) \) |
| Ordinatenabschnitt | \( y_0 = 0 \) |
| Nullstellen | \( x_0 = 0 \) |
| Symmetrie | — |
Zwischen \(0\) und \(1\) liegt die höhere Wurzel über der niedrigeren; rechts von \(1\) ist es umgekehrt. Alle Kurven steigen — je grösser \(x\), desto flacher.
Ausgangsfunktion \( y = \sqrt[n]{x} \), Bildfunktion \( y = a \cdot \sqrt[n]{x-u} + v \):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| \(u\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung; neuer Definitionsbereich \( D = [u;\, +\infty[ \) |
| \(v\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung |
| \(|a|\) | Streckung/Stauchung in \(y\)-Richtung |
| \(a < 0\) | Spiegelung an der \(x\)-Achse (Kurve fällt) |
Der Startpunkt der Kurve liegt bei \( (u \mid v) \).
Beide Seiten der Gleichung als Funktionsterme auffassen und die Graphen zeichnen. Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts liefert die Lösung (näherungsweise ablesen, algebraisch kontrollieren).
1. Wurzelwerte sind nie negativ: \( \sqrt{\dots} = c \) mit \( c < 0 \) hat keine Lösung. 2. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung — Scheinlösungen sind möglich. Nach dem Lösen immer die Probe in der Ausgangsgleichung machen.
Die Wurzelfunktion \( y = \sqrt[n]{x} \) ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion \( y = x^n \) auf \( \mathbb{R}_0^+ \) — ihr Graph ist deren Spiegelbild an der Winkelhalbierenden \( y = x \).